L’essentiel
Définitions et propriétés du cours, pour s’y retrouver
Cette page rassemble les énoncés du cours, sans les activités qui leur donnent du sens, sans les justifications, les exemples ni les méthodes vues en classe. Connaître ces énoncés ne suffit pas : l’essentiel, c’est de savoir les utiliser, et cela s’apprend avec les exemples et les exercices.
Sers-t’en pour retrouver un énoncé ou vérifier que tu peux le redire sans regarder, puis retourne au cours (lien « dans le cours » sous chaque encadré) et aux exercices.
Chapitre 1 — Fonctions exponentielles
Croissance exponentielle
Définition 1.1 — croissance exponentielle
Une fonction \(f\) a une croissance exponentielle lorsqu’elle vérifie:
\[ \forall x,x' \in \mathbb{R}, f(x + x') = f(x) \cdot f(x'). \]
Autrement dit : elle transforme une somme en un produit.
Construire une fonction exponentielle
Définition 1.2 — fonction strictement monotone
Une fonction \(f\) est strictement monotone sur son domaine si elle est, soit strictement croissante, soit strictement décroissante.
Définition de la fonction exponentielle
Définition 1.3 — fonction exponentielle de base \(a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). La fonction exponentielle de base \(a\) est l’unique fonction \(f\) qui vérifie les deux conditions suivantes :
- \(\forall x,x' \in \mathbb{R}, f(x+x')=f(x)f(x')\). Autrement dit \(f\) prolonge les puissances rationnelles de base \(a\) ;
- \(f\) est strictement monotone.
Son expression analytique est notée \(f(x) = a^{x}\).
Propriété 1.1 — règles de calcul
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors, pour tous réels \(m, p\) :
\(a^{0} = 1\)
\(a^{m + p} = a^{m} \cdot a^{p}\)
\(a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}\)
\((a^{m})^{p} = a^{m p}\)
\(\frac{a^{m}}{a^{p}} = a^{m - p}\)
Propriétés et caractéristiques graphiques
Propriété 1.2 — caractéristiques de \(f(x) = a^{x}\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(f(x) = a^{x}\).
\(\operatorname{dom} f =\) \(\mathbb{R}\)
\(\operatorname{im} f =\) \(\mathbb{R}^{> 0}\)
racine(s) : aucune
\(G_{f} \cap \text{axe } y\) : \((0, 1)\)
\(G_{f} \cap \text{axe } x\) : aucun point
points sûrs : \((0, 1)\) et \((1, a)\)
concavité : tournée vers le haut
asymptote : horizontale \(y = 0\)
si \(a > 1\)
- \(f\) est strictement croissante
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\) \(+\infty\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =\) \(0\)
- \(\text{AH}_{-\infty}\) : \(y = 0\)
si \(0 < a < 1\)
- \(f\) est strictement décroissante
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\) \(0\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =\) \(+\infty\)
- \(\text{AH}_{+\infty} :\) \(y = 0\)
Propriété 1.3 — symétrie d’axe \(y\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Comme \((\frac{1}{a})^{x} = a^{-x}\), le graphique de \(f(x) = (\frac{1}{a})^{x}\) est le symétrique de celui de \(g(x) = a^{x}\) par rapport à l’axe \(y\).
Multiples d’une fonction exponentielle
Définition 1.4 — multiple d’une exponentielle
Un multiple d’une fonction exponentielle est une fonction d’expression
\[ f(x) = k \cdot a^{x}, \quad a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}, \quad k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. \]
Des graphes tous semblables : vers un représentant privilégié
Propriété 1.4 — changement de base
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Il existe un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x\),
\[ a^{x} = 2^{k x}. \]
On peut d’ailleurs remplacer \(2\) par n’importe quelle autre base de \(\mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\).
Le nombre \(e\) et l’exponentielle népérienne
Propriété 1.5 — dérivée d’une exponentielle
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). La fonction \(f(x) = a^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) tout entier, et
\[ f'(x) = f'(0) \cdot a^{x}. \]
Autrement dit, la dérivée d’une exponentielle est un multiple d’elle-même.
Définition 1.5 — le nombre \(e\)
Le nombre d’Euler, noté \(e\), est défini par
\[ e = \lim\limits_{h \to 0} (1 + h)^{1 / h} = 2{,}718 \, 281 \, 828 \ldots \]
Définition 1.6 — exponentielle népérienne
L’exponentielle népérienne est la fonction exponentielle de base \(e\) ; on la note \(\operatorname{exp}(x) = e^{x}\).
Résoudre des équations exponentielles simples
Propriété 1.6 — égaler les exposants
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors pour tous réels \(u, v\),
\[ a^{u} = a^{v} \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]
En particulier, pour deux fonctions \(f\) et \(g\), \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\).
Chapitre 2 — Fonctions logarithmiques
Du problème \(e^{x} = 3\) au logarithme
Propriété 2.1 — les deux compositions et leur domaine
Les identités suivantes sont vraies:
- \(\ln(e^{x}) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\);
- \(e^{\ln(x)} = x\) pour \(x \in \mathbb{R}^{>0}\).
Définition du logarithme de base \(a\)
Définition 2.1 — logarithme de base \(a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Le logarithme de base \(a\), noté \(\log_{a}\), est la fonction réciproque de l’exponentielle de base \(a\) : pour tout \(x \in \mathbb{R}^{>0}\) et pour tout \(y \in \mathbb{R}\),
\[ \log_{a} (x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad a^{y} = x. \]
Son domaine est \(\mathbb{R}^{> 0}\) : on ne prend le logarithme que d’un nombre strictement positif.
Propriété 2.2 — réciprocité et valeurs remarquables
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors :
- \(\log_{a} (a^{x}) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et \(a^{\log_{a} (x)} = x\) pour tout \(x > 0\) ;
- \(\log_{a} (1) = 0\) (car \(a^{0} = 1\)) ; \(\log_{a} (a) = 1\) (car \(a^{1} = a\)).
Propriétés graphiques, par déduction
Propriété 2.3 — caractéristiques de \(f(x) = \log_{a} (x)\)
Déduites ci-dessus, on les rassemble. Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\).
\(\operatorname{dom} f = \mathbb{R}^{> 0}\), \(\operatorname{im} f = \mathbb{R}\)
racine : \(x = 1\) ; \(G_{f} \cap \text{axe } x = (1, 0)\)
\(G_{f} \cap \text{axe } y = \emptyset\)
points sûrs : \((1, 0)\) et \((a, 1)\)
asymptote verticale \(x = 0\) ; pas d’asymptote horizontale
pas d’ordonnée à l’origine (\(0 \notin \operatorname{dom} f\)) ; pas de point d’inflexion
si \(a > 1\) : strictement croissante, concave ; \(\lim\limits_{x \to 0} = -\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} = +\infty\).
si \(0 < a < 1\) : strictement décroissante, convexe ; \(\lim\limits_{x \to 0} = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} = -\infty\).
Propriété 2.4 — symétrie d’axe \(x\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Comme \((\frac{1}{a})^{y} = x \Longleftrightarrow a^{-y} = x\), on a
\[ \log_{1/a} (x) = - \log_{a} (x). \]
Le graphique de \(\log_{1/a}\) est donc le symétrique de celui de \(\log_{a}\) par rapport à l’axe \(x\).
Propriétés algébriques, à découvrir
Propriété 2.5 — logarithme d’un produit
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y \in \mathbb{R}^{> 0}\). Alors
\[ \log_{a} (x y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y). \]
(Établie à l’activité ci-dessus.) Le logarithme transforme un produit en une somme — exact miroir de l’exponentielle, qui transforme une somme en un produit.
Propriété 2.6 — logarithme d’un quotient
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y \in \mathbb{R}^{> 0}\). Alors
\[ \log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y). \]
Propriété 2.7 — logarithme d’une puissance
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), \(x \in \mathbb{R}^{> 0}\) et \(p \in \mathbb{R}\). Alors
\[ \log_{a} (x^{p}) = p \cdot \log_{a} (x). \]
Propriété 2.8 — changement de base
Soit \(a, b \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x \in \mathbb{R}^{> 0}\). Alors
\[ \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}. \]
En particulier, avec la calculatrice : \(\log_{a} (x) = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}\).
Chapitre 3 — Dérivées et limites
Dériver l’exponentielle
Propriété 3.1 — dérivée de l’exponentielle népérienne
La fonction \(e^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et égale à sa propre dérivée :
\[ (e^{x})' = e^{x}. \]
C’est la seule fonction (à un facteur multiplicatif près) qui possède cette propriété.
Propriété 3.2 — dérivée d’une exponentielle composée
Si \(u\) est dérivable, alors
\[ (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}. \]
On dérive l’exposant et on recopie l’exponentielle.
Propriété 3.3 — dérivée d’une exponentielle de base \(a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors \(a^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et
\[ (a^{x})' = a^{x} \cdot \ln a, \quad \text{et plus généralement} \quad (a^{u(x)})' = u'(x) \cdot a^{u(x)} \cdot \ln a. \]
La constante \(\ln a\) mesure exactement la pente \(f'(0)\) laissée en suspens au chapitre 1.
Dériver le logarithme
Propriété 3.4 — dérivée du logarithme népérien
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{> 0}\) et
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x}. \]
Propriété 3.5 — logarithme composé, et base quelconque
Si \(u\) est dérivable et strictement positive,
\[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}. \]
Pour une base \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), le changement de base \(\log_{a} (x) = \frac{\ln x}{\ln a}\) donne aussitôt
\[ (\log_{a} (x))' = \frac{1}{x \ln a}. \]
Limites de base
Propriété 3.6 — limites de référence
Exponentielle, \(a > 1\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} a^{x} = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} a^{x} = 0\). Logarithme, \(a > 1\) : \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = -\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \log_{a} x = +\infty\).
Exponentielle, \(0 < a < 1\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} a^{x} = 0\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} a^{x} = +\infty\). Logarithme, \(0 < a < 1\) : \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \log_{a} x = -\infty\).
Croissance comparée et théorème de l’Hospital
Propriété 3.7 — théorème de l’Hospital
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables et \(a \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\). On suppose que \(f / g\) présente en \(a\) une forme indéterminée, c’est-à-dire :
- soit \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0\) et \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0\) (forme \(\frac{0}{0}\)) ;
- soit \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm \infty\) (forme \(\frac{\infty}{\infty}\)).
On suppose de plus que \(g'\) ne s’annule qu’en un nombre fini de points au voisinage de \(a\) — de sorte que le quotient \(f' / g'\) ait bien un sens près de \(a\). Alors, à condition que la limite de droite existe,
\[ \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \]
Chapitre 4 — Échelles logarithmiques
Repère semi-logarithmique : la signature de l’exponentielle
Propriété 4.1 — semi-log : droite \(\Longleftrightarrow\) exponentielle
Soit \(y = C \cdot a^{x}\) avec \(C > 0\) et \(a > 0\). En prenant le logarithme décimal des deux membres :
\[ \log y = \log(C \cdot a^{x}) = \log C + \log(a^{x}) = \underbrace{(\log a)}_{\text{pente}} \cdot x + \underbrace{(\log C)}_{\text{ord. à l'origine}}. \]
La quantité \(\log y\) est donc une fonction affine de \(x\). Sur un repère semi-logarithmique (où l’axe vertical porte \(\log y\)), le graphique de \(y = C \cdot a^{x}\) est une droite :
- sa pente vaut \(\log a\) (on en déduit la base \(a = 10^{\text{pente}}\)) ;
- son ordonnée à l’origine vaut \(\log C\) (on en déduit \(C = 10^{\text{ord.}}\)).
Réciproquement, si des données s’alignent sur un repère semi-log, elles suivent un modèle exponentiel.
Repère log-log : la signature d’une puissance
Propriété 4.2 — log-log : droite \(\Longleftrightarrow\) puissance
Soit \(y = C \cdot x^{p}\) avec \(C > 0\) et \(x > 0\). En prenant le logarithme décimal des deux membres :
\[ \log y = \log(C \cdot x^{p}) = \log C + p \log x. \]
En posant \(Y = \log y\) et \(X = \log x\) (les positions sur les deux axes), on obtient
\[ Y = \underbrace{p}_{\text{pente}} \cdot X + \underbrace{(\log C)}_{\text{ord. à l'origine}} : \]
une relation affine entre \(\log x\) et \(\log y\). Sur un repère log-log, le graphique de \(y = C \cdot x^{p}\) est donc une droite :
- sa pente vaut l’exposant \(p\) lui-même ;
- son ordonnée à l’origine (position à \(x = 1\), car \(\log 1 = 0\)) vaut \(\log C\).
Réciproquement, des données alignées sur un repère log-log suivent une loi de puissance.