Résoudre les équations exponentielles aᶠ⁽ˣ⁾ = b

Le chapitre 1 peut enfin être refermé. Pour résoudre \(a^{f(x)} = b\) (avec \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(b \in \mathbb{R}^{> 0}\)), on applique \(\log_{a}\) aux deux membres ; par réciprocité \(\log_{a} (a^{f(x)}) = f(x)\), donc

\[ a^{f(x)} = b \quad \Longleftrightarrow \quad f(x) = \log_{a} (b). \]

Exemple 2.8 — et enfin, \(e^{x} = 3\)

\(e^{x} = 3 \Longleftrightarrow x = \ln(3) \approx 1{,}099\). L’équation restée sans réponse au chapitre 1 est résolue.

Exemple 2.9 — quatre résolutions

a) \(e^{1 - 3 x} = 3 \Longleftrightarrow 1 - 3 x = \ln 3 \Longleftrightarrow x = \frac{1 - \ln 3}{3}\).

b) \(2 \cdot 10^{5 x} = 12 \Longleftrightarrow 10^{5 x} = 6 \Longleftrightarrow 5 x = \log 6\), d’où \(x = \frac{\log 6}{5}\).

c) \(5 = 2^{x + 5} \Longleftrightarrow x + 5 = \log_{2} (5)\), d’où \(x = \log_{2} (5) - 5\).

d) \(2^{x - 1} = -8\) : impossible, car \(2^{x-1} > 0\). \(S = \emptyset\).

✎ Exercice 2.18 A5 ★★☆

Résous les équations suivantes.

  1. \(3^{2 x} = 7\)
  2. \(\frac{1}{3} \cdot 2^{x + 2} = 7\)
  1. \(e^{x / 8} = 3^{2}\)
  2. \(2^{x + 1} = 3\)
  1. \(6 e^{2 x} - 1 = 0\)
  2. \(5^{3 x - 9} = 8\)

Relis les exemples 2.8 et 2.9 : isoler la puissance, puis prendre le logarithme.

As-tu isolé la puissance \(a^{f(x)}\) seule dans un membre ?

\(a^{f(x)} = b \Longleftrightarrow f(x) = \log_{a} (b) = \frac{\ln b}{\ln a}\) (pour \(b > 0\)).

  1. \(3^{2 x} = 7 \Longleftrightarrow 2 x = \log_{3} 7 = \frac{\ln 7}{\ln 3} \Longleftrightarrow x = \frac{\ln 7}{2 \ln 3} \approx 0{,}886\).
  2. \(\frac{1}{3} \cdot 2^{x + 2} = 7 \Longleftrightarrow 2^{x + 2} = 21 \Longleftrightarrow x + 2 = \frac{\ln 21}{\ln 2} \Longleftrightarrow x = \frac{\ln 21}{\ln 2} - 2 \approx 2{,}392\).
  3. \(e^{x / 8} = 9 \Longleftrightarrow \frac{x}{8} = \ln 9 \Longleftrightarrow x = 8 \ln 9 \approx 17{,}578\).
  4. \(2^{x + 1} = 3 \Longleftrightarrow x + 1 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \Longleftrightarrow x = \frac{\ln 3}{\ln 2} - 1 \approx 0{,}585\).
  5. \(6 e^{2 x} - 1 = 0 \Longleftrightarrow e^{2 x} = \frac{1}{6} \Longleftrightarrow 2 x = \ln(\frac{1}{6}) \Longleftrightarrow x = -\frac{\ln 6}{2} \approx -0{,}896\).
  6. \(5^{3 x - 9} = 8 \Longleftrightarrow 3 x - 9 = \frac{\ln 8}{\ln 5} \Longleftrightarrow x = 3 + \frac{\ln 8}{3 \ln 5} \approx 3{,}431\).
  • En 2), prendre le logarithme avant d’isoler \(2^{x + 2}\) : \(\ln(\frac{1}{3} \cdot 2^{x + 2}) \neq \frac{1}{3} \ln 2^{x + 2}\).
  • En 6), écrire \(x = \frac{\ln 8}{\ln 5} + 9\) : il faut encore diviser par \(3\).

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