Construire une fonction exponentielle
Nous savons calculer \(2^{n}\) quand \(n\) est un entier. Tu as appris de plus que \(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\). Mais que vaudrait \(2^{x}\) pour un \(x\) réel quelconque, par exemple \(2^{\sqrt{2}}\) ? Construisons le sens de \(a^{x}\) pas à pas, à partir d’une situation qui décroît.
Une situation de décroissance exponentielle : la batterie
Activité 1.4 — la batterie qui se décharge
Une batterie conserve \(80 \%\) de sa charge chaque heure. Notons \(Q(t)\) la fraction de charge restante après \(t\) heures. Au départ, la batterie est pleine : \(Q(0) = 1\) (c’est-à-dire \(100 \%\)). Pour passer d’une heure à la suivante, on multiplie par \(0{,}8\) :
\[ Q(t + 1) = \class{rep}{0{,}8 \cdot Q(t)}. \]
- Complète (charge en fraction, avec \(1 = 100 \%\)) :
| \(t\) (h) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(Q(t)\) | \(1\) | \(0{,}8\) | \(0{,}64\) | \(0{,}512\) | \(0{,}4096\) | \(0{,}32768\) |
- Écris une formule donnant \(Q(t)\) directement, pour \(t\) entier : \(Q(t) =\) \(0{,}8^{t}\)
La formule \(Q(t) = 0{,}8^{t}\) vérifie la relation de croissance exponentielle:
\[ Q(t + s) = Q(t) \cdot Q(s). \]
Vérifie-le sur le tableau : \(Q(2) = 0{,}64 = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = Q(1) \cdot Q(1)\).
La formule \(Q(t) = 0{,}8^{t}\) a un sens clair pour \(t\) entier. Mais une batterie ne se décharge pas par sauts : après une demi-heure, il y a bien une charge ! Quel sens donner à \(Q(\frac{1}{2}) = 0{,}8^{\frac{1}{2}}\), c’est-à-dire à un exposant fractionnaire ? Avant de répondre, remettons en mémoire ce que nous savons déjà des exposants.
Activité 1.5 — réactiver les règles des exposants
Les règles des exposants entiers, vues les années précédentes, seront notre seul point d’appui. Complète, avec \(a > 0\) :
\(a^{0} =\) \(1\)
\(a^{1} =\) \(a\)
\(a^{-n} =\) \(\frac{1}{a^{n}}\)
\(a^{m + p} =\) \(a^{m} \cdot a^{p}\)
\((a^{m})^{p} =\) \(a^{m p}\)
Tu connais aussi deux notations d’exposants fractionnaires : la racine carrée \(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\) (car \((\sqrt{a})^{2} = a\)) et la racine cubique \(a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}\).
Des exposants entiers vers les exposants fractionnaires. On dispose de deux choses : la relation \(Q(t + s) = Q(t) \cdot Q(s)\) et la valeur \(Q(1) = 0{,}8\). Elles suffisent à fabriquer les exposants fractionnaires.
Activité 1.6 — construire les exposants fractionnaires
- Applique la relation \(Q(t + s) = Q(t) \cdot Q(s)\) avec \(t = s = \frac{1}{2}\) :
\[ Q(1) = Q(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = Q(\frac{1}{2}) \cdot Q(\frac{1}{2}) = \class{rep}{Q(\frac{1}{2})^{2}}. \]
Donc \(Q(\frac{1}{2})^{2} = Q(1) = 0{,}8\), d’où \(Q(\frac{1}{2}) = \class{rep}{\sqrt{0{,}8}}\).
Il n’y a pas de choix : \(0{,}8^{\frac{1}{2}}\) doit valoir \(\sqrt{0{,}8}\), sinon la relation \(Q(t+s) = Q(t) \cdot Q(s)\) serait fausse. La notation « exposant \(\frac{1}{2}\) » ne tombe pas du ciel — c’est la seule notation cohérente.
- De même, \(Q(1) = Q(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = Q(\frac{1}{3})^{3}\), d’où
\[ Q(\frac{1}{3}) = \class{rep}{\sqrt[3]{0{,}8}}, \quad \text{et en général} \quad Q(\frac{1}{n}) = \class{rep}{\sqrt[n]{0{,}8}}. \]
- Enfin, pour un exposant \(\frac{m}{n}\) quelconque, \(Q(\frac{m}{n}) = (Q(\frac{1}{n}))^{m} = \class{rep}{\sqrt[n]{0{,}8^{m}}}\).
De proche en proche, la relation \(Q(t+s) = Q(t) \cdot Q(s)\) nous a permis de donner un sens à \(0{,}8^{t}\) pour tout exposant rationnel.
Ainsi, on arrive à combler les trous de la suite \(0{,}8^{n}\), en calculant ce qui se passe aux demi-heures, aux quarts d’heure, aux minutes…. On fabrique ainsi une fonction qui est définie pour tout \(t \geq 0\): \(Q(t)=0{,}8^{t}\).
La charge \(Q(t) = 0{,}8^{t}\) : une courbe qui décroît, sans jamais atteindre \(0\).
Remarque au passage : cette courbe est strictement décroissante, comme la suite \(0{,}8^{0}, 0{,}8^{1}, 0{,}8^{2}, \ldots\) dont elle est issue.
De \(\mathbb{R}^{> 0}\) à \(\mathbb{R}\) : la courbe qui se dessine
La fonction représentant la décharge de la batterie n’existe que pour \(t \geq 0\), dans notre construction. Nous allons voir, sur un autre exemple, comment prolonger aux exposants négatifs. Reprenons la même construction sur une situation qui croît, et poussons-la jusqu’à donner un sens à \(2^{x}\) pour tout réel \(x\) — les négatifs compris. Place \(1\) € à un taux annuel de \(100 \%\) : le capital double chaque année, donc après \(n\) ans on a \(C_{n} = 2^{n}\). Nous allons partir de cette suite pour la compléter.
Comme pour la batterie, on peut envisager l’évolution par demi-années (pas \(\frac{1}{2}\), ce qui ajoute les points \(2^{\frac{n}{2}}\)), puis par quarts (\(2^{\frac{n}{4}}\)), huitièmes, etc. À chaque raffinement, de nouveaux points d’exposants fractionnaires viennent se glisser entre les précédents. Observe comme les trous se referment :
pas \(= 1\)
pas \(= 1/2\)
pas \(= 1/4\)
pas \(= 1/8\)
pas \(= 1/16\)
pas \(= 1/32\)
Les points \((x, 2^{x})\) pour \(x = 0, p, 2p, 3p, \ldots\) : fais diminuer le pas \(p\).
Au pas \(\frac{1}{32}\), on ne distingue presque plus d’espace entre les points : c’est une courbe qui apparaît. On retrouve ainsi \(f(x) = 2^{x}\), construite uniquement à partir d’exposants fractionnaires — des opérations que tu connais déjà.
Et avant l’année \(0\) ? Rien n’empêche de reculer dans le temps : \(2^{-1} = \frac{1}{2}\), \(2^{-2} = \frac{1}{4}\), … En effet: calculer \(2^{-1}\) permet de répondre à la question: quel capital aurais-je dû mettre un an à l’avance pour avoir 1 euro? La formule \(2^{x}\) a donc un sens pour les \(x\) négatifs aussi. Voici sa courbe complète :
Activité 1.7 — estimer la pente de la tangente en \(0\)
Maintenant que la courbe s’étend de part et d’autre de \(0\), on peut l’aborder avec nos outils de 5e. On peut par exemple constater qu’il est possible de tracer des tangentes. Autrement dit, la fonction \(2^{x}\) sera dérivable. Considérons la tangente au point d’abscisse \(0\) (la droite en pointillés). Estime sa pente en lisant le quadrillage : la tangente part de \((0, 1)\) et, une unité vers la droite (en \(x = 1\)), atteint environ \(y \approx \class{rep}{1{,}7}\). Sa pente vaut donc à peu près
\[ \text{pente} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx \frac{\class{rep}{1{,}7} - 1}{1} \approx \class{rep}{0{,}7}. \]
Retiens ce fait : la courbe de \(2^{x}\) possède une tangente en \(0\), de pente voisine de \(0{,}7\).
Bilan des activités
Nous avons rencontré plusieurs phénomènes de croissance exponentielle — le secret, les intérêts composés, la batterie — et cherché à prolonger \(a^{x}\) des exposants entiers aux exposants réels. De tout cela, deux propriétés se dégagent, et ce sont exactement celles que nous voulons conserver.
- La relation \(f(x + y) = f(x) \cdot f(y)\) (§ 1.1.3) : c’est la caractéristique même de la croissance exponentielle. On y tient parce qu’elle prolonge les règles de calcul des exposants entiers (\(a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}\)) — sans elle, l’écriture \(a^{x}\) perdrait son sens.
- La stricte monotonie : tous nos phénomènes étaient soit strictement croissants (le secret, les intérêts), soit strictement décroissants (la batterie). On dira que ce sont des fonctions strictement monotones.
Définition 1.2 — fonction strictement monotone
Une fonction \(f\) est strictement monotone sur son domaine si elle est, soit strictement croissante, soit strictement décroissante.
Ces deux propriétés suffisent pour définir une fonction exponentielle.