Équations logarithmiques

Une équation logarithmique a son inconnue dans l’argument d’un logarithme.

Ici, un principe commande tout le reste : une écriture \(\log_{a} (\ldots)\) n’a de sens que si son argument est strictement positif. Avant même de résoudre, il faut donc savoir sur quel domaine on a le droit de raisonner — ce sont les conditions d’existence (CE).

Exemple 2.6 — quand ignorer le domaine fabrique une fausse solution

Résoudre \(\log(2) + \log(x) = \log(x - 2)\).

  • Domaine. Il faut \(x > 0\) et \(x - 2 > 0\), donc \(x > 2\).
  • Résolution. À gauche, \(\log(2) + \log(x) = \log(2 x)\). L’équation devient \(\log(2 x) = \log(x - 2)\). Sur le domaine (où \(2x > 0\) et \(x - 2 > 0\)), l’égalité de deux logarithmes équivaut à l’égalité de leurs arguments (le \(\log\) y est injectif) : \(2 x = x - 2\), d’où \(x = -2\).
  • Confrontation. \(-2\) n’appartient pas au domaine \(x > 2\) : la valeur est rejetée.
  • Conclusion. \(S = \emptyset\).

Exemple 2.7 — un cas avec solution

Résoudre \(\log(4 x) = -2\).

Domaine : \(x > 0\).

On traduit : \(4 x = 10^{-2} = 0{,}01\), donc \(x = 0{,}0025\) (\(> 0\), donc on accepte cette solution).

\(S = \{ 0{,}0025 \}\).

✎ Exercice 2.15 C7 · A6 ★★☆

Résous \(\log(2 x - 1) = 3\) en justifiant chaque étape par la relation de réciprocité. Précise : (1) la condition d’existence ; (2) le passage à la forme exponentielle ; (3) la confrontation à la condition d’existence.

(1) CE : il faut \(2 x - 1 > 0\), soit \(x > 1/2\) ; le raisonnement n’est licite que là. (2) Sur ce domaine, \(10^{x}\) et \(\log\) sont réciproques, donc appliquer \(10^{x}\) aux deux membres est une équivalence (les deux fonctions se défont l’une l’autre) : \(\log(2 x - 1) = 3 \Longleftrightarrow 2 x - 1 = 10^{3}\). D’où \(2 x - 1 = 1000\), puis \(x = 500{,}5\). (3) \(500{,}5 > 1/2\) : la valeur respecte la CE. Conclusion : \(S = \{ 500{,}5 \}\).

Pour quelles valeurs de \(x\) l’expression \(\log(2 x - 1)\) existe-t-elle ? Quelle fonction « défait » \(\log\) ?

Sur le domaine, \(\log(2 x - 1) = 3 \Longleftrightarrow 2 x - 1 = 10^{3}\).

  1. Condition d’existence : \(2 x - 1 > 0\), soit \(x > \frac{1}{2}\).

  2. Pour \(x > \frac{1}{2}\), les fonctions \(\log\) et \(10^{x}\) sont réciproques, donc \(\log(2 x - 1) = 3 \Longleftrightarrow 2 x - 1 = 10^{3} \Longleftrightarrow 2 x = 1001 \Longleftrightarrow x = 500{,}5\).

  3. \(500{,}5 > \frac{1}{2}\) : la valeur respecte la condition d’existence.

\(S = \{500{,}5\}\).

  • Écrire \(2 x - 1 = 3\) : on « enlève » le logarithme en appliquant \(10^{x}\), pas en le supprimant.
  • Oublier de vérifier la solution obtenue avec la condition d’existence.

✎ Exercice 2.16 A6 · C7 ★★★

Pour rédoudre \(2 \log(x) = \log(x + 2)\), on passe par \(\log(x^{2}) = \log(x + 2)\), d’où \(x^{2} = x + 2\). On obtient alors deux valeurs pour \(x\), lesquelles?. Une seule respecte les conditions d’existence : laquelle, et pourquoi ?

\(x^{2} = x + 2 ⟹ x = 2\) ou \(x = -1\). CE : \(x > 0\), donc on garde \(x = 2\) et on rejette \(x = -1\). Le passage \(2 \log(x) = \log(x^{2})\) n’est valable que pour \(x > 0\) : \(\log(x)\) exige \(x > 0\), alors que \(\log(x^{2})\) existe pour tout \(x \neq 0\) — la réécriture a élargi le domaine, ce n’est donc pas une équivalence sur tout \(\mathbb{R}\).

Pour quelles valeurs de \(x\) l’équation de départ a-t-elle un sens ? Et l’équation \(\log(x^{2}) = \log(x + 2)\) ?

Résous \(x^{2} - x - 2 = 0\), puis confronte les solutions à la condition \(x > 0\).

Condition d’existence de l’équation de départ : \(x > 0\) (pour \(\log x\)) et \(x + 2 > 0\), donc \(x > 0\).

Pour \(x > 0\) : \(2 \log x = \log(x + 2) \Longleftrightarrow \log(x^{2}) = \log(x + 2) \Longleftrightarrow x^{2} = x + 2 \Longleftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Longleftrightarrow (x - 2)(x + 1) = 0\). On obtient \(x = 2\) ou \(x = -1\).

Seule \(x = 2\) respecte la condition \(x > 0\) ; \(x = -1\) est rejetée, car \(\log(-1)\) n’existe pas. En effet, \(2 \log x = \log(x^{2})\) n’est vrai que pour \(x > 0\) : \(\log(x^{2})\) existe pour tout \(x \neq 0\), la réécriture a élargi le domaine.

\(S = \{2\}\).

  • Garder \(x = -1\) parce qu’il vérifie \(x^{2} = x + 2\) : il ne vérifie pas l’équation de départ.

✎ Exercice 2.17 A6 ★★☆

Résous les équations suivantes (pose d’abord les conditions d’existence).

  1. \(\log(x - 2) = 4\)
  2. \(\log(x + 3) = \log(x) - \log(12)\)
  3. \(\log(4 x - 3) - \log(2 x - 4) = \log(25)\)
  4. \(2 \ln(3 x + 1) = 0\)
  1. \(\log(3 x - 2) + \log(8 x) = \log(8)\)
  2. \(\log(4 x) = -2\)
  3. \(\log(4 x - 3) + \log(4) = \log(2 x - 4)\)
  4. \(\log(x + 3) = \log(x) - \log(12)\)

Relis les exemples 2.6 et 2.7, et les propriétés du produit et du quotient.

Quelles conditions pour que chaque logarithme existe ? Peux-tu ramener l’équation à la forme \(\log A = \log B\) ou \(\log A = c\) ?

\(\log A = \log B \Longleftrightarrow A = B\) (injectivité) et \(\log A = c \Longleftrightarrow A = 10^{c}\) ; vérifie chaque solution avec la condition d’existence.

  1. CE : \(x > 2\). \(\log(x - 2) = 4 \Longleftrightarrow x - 2 = 10^{4} \Longleftrightarrow x = 10 \, 002\), qui respecte la CE. \(S = \{10 \, 002\}\).
  2. CE : \(x > 0\). \(\log(x + 3) = \log(x / 12) \Longleftrightarrow x + 3 = x / 12 \Longleftrightarrow 12 x + 36 = x \Longleftrightarrow x = -\frac{36}{11}\), qui ne respecte pas la CE. \(S = \emptyset\).
  3. CE : \(x > \frac{3}{4}\) et \(x > 2\), donc \(x > 2\). \(\log(\frac{4 x - 3}{2 x - 4}) = \log 25 \Longleftrightarrow 4 x - 3 = 25 (2 x - 4) \Longleftrightarrow 46 x = 97 \Longleftrightarrow x = \frac{97}{46} \approx 2{,}11\), qui respecte la CE. \(S = \{\frac{97}{46}\}\).
  4. CE : \(x > -\frac{1}{3}\). \(2 \ln(3 x + 1) = 0 \Longleftrightarrow \ln(3 x + 1) = 0 \Longleftrightarrow 3 x + 1 = e^{0} = 1 \Longleftrightarrow x = 0\), qui respecte la CE. \(S = \{0\}\).
  5. CE : \(x > \frac{2}{3}\). \(\log(8 x (3 x - 2)) = \log 8 \Longleftrightarrow 24 x^{2} - 16 x = 8 \Longleftrightarrow 3 x^{2} - 2 x - 1 = 0 \Longleftrightarrow x = 1\) ou \(x = -\frac{1}{3}\). Seule \(x = 1\) respecte la CE. \(S = \{1\}\).
  6. CE : \(x > 0\). \(\log(4 x) = -2 \Longleftrightarrow 4 x = 10^{-2} \Longleftrightarrow x = 0{,}0025\). \(S = \{0{,}0025\}\).
  7. CE : \(x > \frac{3}{4}\) et \(x > 2\), donc \(x > 2\). \(\log(4 (4 x - 3)) = \log(2 x - 4) \Longleftrightarrow 16 x - 12 = 2 x - 4 \Longleftrightarrow x = \frac{4}{7}\), qui ne respecte pas la CE. \(S = \emptyset\).
  8. Même équation que la 2) : \(S = \emptyset\).
  • Oublier la condition d’existence : en 2), 5) et 7), des valeurs obtenues sont à rejeter.
  • En 3), écrire \(\log(4 x - 3) - \log(2 x - 4) = \log(2 x + 1)\) : une différence de logarithmes est le logarithme d’un quotient.

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