Résoudre des équations exponentielles simples

Une équation exponentielle est une équation dont l’inconnue figure dans un (ou plusieurs) exposant(s). Pour la résoudre, on ramène les deux membres à une même base.

Le principe de résolution découle directement de la stricte monotonie de la définition (§ 1.2.3) : une fonction strictement monotone ne prend jamais deux fois la même valeur. On obtient donc gratuitement la règle suivante.

Propriété 1.6 — égaler les exposants

Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors pour tous réels \(u, v\),

\[ a^{u} = a^{v} \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

En particulier, pour deux fonctions \(f\) et \(g\), \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\).

Remarque 1.5

Sans la stricte monotonie, ce serait faux : avec la base \(a = 1\), par exemple, \(1^{u} = 1^{v} = 1\) pour tous \(u, v\), et l’on ne pourrait pas « remonter » aux exposants. C’est bien la stricte monotonie qui rend la manœuvre légitime.

Méthode. Pour résoudre \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) :

  1. ramener les deux membres à une même base, si nécessaire ;
  2. résoudre l’équation \(f(x) = g(x)\) obtenue en égalant les exposants ;
  3. écrire l’ensemble des solutions.

Exemple 1.4 — deux résolutions modèles

(a) Résoudre \(e^{3 x + 1} - \frac{1}{e^{2}} = 0\).

  1. On récrit : \(e^{3 x + 1} = e^{-2}\).
  2. On égale les exposants (stricte monotonie) : \(3 x + 1 = -2\), donc \(x = -1\).
  3. \(S = \{ -1 \}\).

(b) Résoudre \((\frac{5}{3})^{2 x - 2} = \frac{3}{5}\).

  1. On récrit : \((\frac{5}{3})^{2 x - 2} = (\frac{5}{3})^{-1}\).
  2. On égale les exposants : \(2 x - 2 = -1\), donc \(x = \frac{1}{2}\).
  3. \(S = \{ \frac{1}{2} \}\).

Avant de t’exercer, voici un cas où la mise sous même base demande un peu de travail.

Exemple 1.5 — ramener à une même base

Résoudre \(9^{x + 1} = \sqrt[3]{3}\). On exprime tout en base \(3\) : \(9 = 3^{2}\) et \(\sqrt[3]{3} = 3^{1 / 3}\). L’équation devient

\[ (3^{2})^{x + 1} = 3^{1 / 3} \quad \Longleftrightarrow \quad 3^{2 x + 2} = 3^{1 / 3}. \]

Comme \(a^{u} = a^{v} \Longleftrightarrow u = v\), on a \(2 x + 2 = \frac{1}{3}\), d’où \(2 x = -\frac{5}{3}\) et \(x = -\frac{5}{6}\). Donc \(S = \{ -\frac{5}{6} \}\).

✎ Exercice 1.19 A5 ★★☆

Résous les équations suivantes. À l’étape clé, nomme la propriété qui autorise à égaler les exposants.

  1. \(5^{x} = 1\)
  2. \(3^{x - 3} = 9\)
  3. \(10^{x + 2} = 0{,}0001\)
  4. \(2^{x} = \sqrt[3]{4}\)
  5. \((\frac{2}{3})^{x} = \frac{3}{2}\)
  1. \(e^{2 x} = e\)
  2. \(e^{2 x^{2}} \cdot e^{-3 x} = 1\)
  3. \(e^{4 x^{2}} = \frac{1}{e^{3}}\)
  4. \(3^{2 x - 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
  5. \(\sqrt[5]{3} = \frac{1}{3^{2 x + 1}}\)

Peux-tu écrire les deux membres comme des puissances d’une même base ? Pense à \(1 = a^{0}\), \(\sqrt{a} = a^{1/2}\), \(1 / a = a^{-1}\).

Par exemple, \(3^{x - 3} = 9 = 3^{2}\), donc \(x - 3 = 2\).

Dans chaque cas, on écrit les deux membres comme puissances d’une même base, puis on égale les exposants : \(a^{u} = a^{v} \Longleftrightarrow u = v\) car \(a^{x}\) est strictement monotone (propriété 1.5).

  1. \(5^{x} = 5^{0} \Longleftrightarrow x = 0\). \(S = \{0\}\).
  2. \(3^{x - 3} = 3^{2} \Longleftrightarrow x - 3 = 2 \Longleftrightarrow x = 5\). \(S = \{5\}\).
  3. \(10^{x + 2} = 10^{-4} \Longleftrightarrow x + 2 = -4 \Longleftrightarrow x = -6\). \(S = \{-6\}\).
  4. \(2^{x} = 4^{1/3} = 2^{2/3} \Longleftrightarrow x = \frac{2}{3}\). \(S = \{\frac{2}{3}\}\).
  5. \((\frac{2}{3})^{x} = (\frac{2}{3})^{-1} \Longleftrightarrow x = -1\). \(S = \{-1\}\).
  6. \(e^{2 x} = e^{1} \Longleftrightarrow 2 x = 1 \Longleftrightarrow x = \frac{1}{2}\). \(S = \{\frac{1}{2}\}\).
  7. \(e^{2 x^{2} - 3 x} = e^{0} \Longleftrightarrow 2 x^{2} - 3 x = 0 \Longleftrightarrow x (2 x - 3) = 0 \Longleftrightarrow x = 0\) ou \(x = \frac{3}{2}\). \(S = \{0 ; \frac{3}{2}\}\).
  8. \(e^{4 x^{2}} = e^{-3} \Longleftrightarrow 4 x^{2} = -3\), impossible car \(4 x^{2} \geq 0\). \(S = \emptyset\).
  9. \(3^{2 x - 3} = 3^{-1/2} \Longleftrightarrow 2 x - 3 = -\frac{1}{2} \Longleftrightarrow x = \frac{5}{4}\). \(S = \{\frac{5}{4}\}\).
  10. \(3^{1/5} = 3^{-(2 x + 1)} \Longleftrightarrow \frac{1}{5} = -2 x - 1 \Longleftrightarrow x = -\frac{3}{5}\). \(S = \{-\frac{3}{5}\}\).
  • Égaler les exposants alors que les bases sont différentes (\(3^{x - 3} = 9\) ne donne pas \(x - 3 = 9\)).
  • En 7), additionner les exposants sans oublier le signe : \(e^{2 x^{2}} \cdot e^{-3 x} = e^{2 x^{2} - 3 x}\).
  • En 8), écrire \(x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) : un carré n’est jamais négatif.

✎ Exercice 1.20 C7 ★★☆

Voici la résolution de l’équation \(4^{x + 1} = 8\). Justifie chaque étape en nommant la règle ou la propriété utilisée.

\[ 4^{x + 1} = 8 \quad \Longleftrightarrow \quad (2^{2})^{x + 1} = 2^{3} \quad \text{étape 1 :} \text{…………} \\ \Longleftrightarrow \quad 2^{2 x + 2} = 2^{3} \quad \text{étape 2 :} \text{…………} \\ \Longleftrightarrow \quad 2 x + 2 = 3 \quad \text{étape 3 :} \text{…………} \\ \Longleftrightarrow \quad x = \frac{1}{2} \quad \text{étape 4 :} \text{…………} \]

Étape 1 : réécriture des deux membres en base \(2\) (\(4 = 2^{2}\), \(8 = 2^{3}\)). Étape 2 : règle des exposants \((a^{m})^{p} = a^{m p}\). Étape 3 : stricte monotonie de l’exponentielle (\(a^{u} = a^{v} \Longleftrightarrow u = v\)) — on égale les exposants. Étape 4 : équation du premier degré. Donc \(S = \{ \frac{1}{2} \}\).

À chaque ligne, qu’est-ce qui a changé par rapport à la ligne précédente ?

Étape 1 : on a remplacé \(4\) et \(8\) par des puissances de \(2\).

  • Étape 1 : on écrit les deux membres en base \(2\) : \(4 = 2^{2}\) et \(8 = 2^{3}\).
  • Étape 2 : règle de la puissance d’une puissance, \((a^{m})^{p} = a^{m p}\) : \((2^{2})^{x + 1} = 2^{2 x + 2}\).
  • Étape 3 : la fonction \(2^{x}\) est strictement croissante, donc \(2^{u} = 2^{v} \Longleftrightarrow u = v\) (propriété 1.5) : on égale les exposants.
  • Étape 4 : on résout l’équation du premier degré \(2 x + 2 = 3\).

Donc \(S = \{\frac{1}{2}\}\).

  • Justifier l’étape 3 par « on enlève les bases » : c’est la stricte monotonie de l’exponentielle qui autorise ce passage.

✎ Exercice 1.21 A5 ★★☆

Résous l’équation \(12 \cdot e^{x} + 5 = 41\). Que constates-tu ?

En isolant : \(12 e^{x} = 36\), donc \(e^{x} = 3\). Mais aucune de nos méthodes ne permet d’écrire \(3\) comme une puissance de \(e\) d’exposant connu : on est bloqué. Il nous manque un outil pour « descendre » l’inconnue de l’exposant — ce sera le logarithme, au chapitre suivant.

Relis la propriété « égaler les exposants » : que faut-il pouvoir faire avec le second membre ?

Après avoir isolé \(e^{x}\), peux-tu écrire le second membre comme une puissance de \(e\) ?

\(12 e^{x} + 5 = 41 \Longleftrightarrow 12 e^{x} = 36 \Longleftrightarrow e^{x} = 3\).

\(12 e^{x} + 5 = 41 \Longleftrightarrow 12 e^{x} = 36 \Longleftrightarrow e^{x} = 3\).

On ne sait pas écrire \(3\) sous la forme \(e^{c}\) avec un exposant \(c\) connu : la propriété 1.5 ne permet pas de conclure. Graphiquement, la courbe de \(e^{x}\) atteint la hauteur \(3\) (pour \(x\) entre \(1\) et \(1{,}1\) environ), donc l’équation a une solution, mais il manque un outil pour l’exprimer : ce sera le logarithme (chapitre 2).

  • Écrire \(x = 3\) : c’est \(e^{x}\) qui vaut \(3\), pas \(x\).
  • Conclure qu’il n’y a pas de solution : la solution existe, on ne sait pas encore l’écrire.

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