Croissance exponentielle
Une rumeur qui se propage
Activité 1.1 — la propagation d’un secret
Une élève des Ursulines, Laura, connaît un secret le jour \(0\). Le jour \(1\), elle le confie à Diego. Ensuite, chaque jour, chaque personne déjà au courant le confie à une nouvelle personne : le nombre de personnes au courant double d’un jour à l’autre. Notons \(p_{n}\) le nombre de personnes qui connaissent le secret le jour \(n\).
- Complète le tableau (au jour \(0\), seule Laura sait : \(p_{0} = 1\)) :
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p_{n}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) | \(32\) | \(64\) | \(128\) | \(256\) |
Pour passer d’un jour au suivant, tu multiplies toujours par le même nombre. Ce nombre est \(2\). On dit que la suite \((p_{n})\) est géométrique.
Écris une formule qui donne \(p_{n}\) directement en fonction de \(n\) : \(p_{n} =\) \(2^{n}\)
Grâce à cette formule, on répond sans tout calculer : il suffit de chercher le plus petit \(n\) tel que \(p_{n} = 2^{n}\) dépasse la population. Complète (à la calculatrice) :
| Population | Plus petite puissance qui dépasse | Jour |
|---|---|---|
| École (\(\approx 1 \, 800\)) | \(2^{11} = 2 \, 048\) | \(11\) |
| Mons (\(\approx 96 \, 000\)) | \(2^{17} = 131 \, 072\) | \(17\) |
| Hainaut (\(\approx 1{,}34\) M) | \(2^{21} \approx 2{,}1\) M | \(21\) |
| Belgique (\(\approx 11{,}6\) M) | \(2^{24} \approx 16{,}8\) M | \(24\) |
| Terre (\(\approx 8\) milliards) | \(2^{33} \approx 8{,}6\) G | \(33\) |
Remplace le mot « secret » par « virus » et tu comprends pourquoi un confinement, en empêchant chaque personne d’en contaminer d’autres, freine une épidémie : il suffit d’un peu plus d’un mois pour que la Terre entière soit atteinte. Cette suite grandit de plus en plus vite : c’est le comportement typique de la croissance exponentielle.
Représentons les premiers termes dans un repère :
La propagation : chaque terme est le double du précédent.
Faire fructifier un capital : intérêts simples et composés
Tu déposes \(1000\) € sur un compte d’épargne à un taux annuel de \(10 \%\). Il existe deux façons de faire croître cet argent ; elles vont opposer deux comportements très différents.
Activité 1.2 — intérêts simples et intérêts composés
Intérêts simples — l’intérêt est calculé une seule fois, sur le montant de départ : \(10 \%\) de \(1000\) € \(= 100\) € par an. On ajoute donc toujours la même somme. Complète :
| année | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| € | \(1000\) | \(1100\) | \(1200\) | \(1300\) | \(1400\) | \(1500\) |
Formule : \(C_{n} =\) \(1000 + 100 n\)
Intérêts composés — l’intérêt est recalculé chaque année, sur le capital de l’année précédente. Cherchons d’abord un raccourci : augmenter une somme \(C\) de \(10 \%\), c’est calculer \(C + \frac{10}{100} \cdot C = C \cdot (1 + \class{rep}{0{,}1}) = \class{rep}{1{,}1} \cdot C\). Autrement dit, augmenter de \(10 \%\) revient à multiplier par \(1{,}1\). Utilise ce raccourci (montants arrondis à l’euro) :
| année | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| € | \(1000\) | \(1100\) | \(1210\) | \(1331\) | \(1464\) | \(1611\) |
Formule : \(C_{n} =\) \(1000 \cdot 1{,}1^{n}\)
- Qu’est-ce qui distingue les deux façons de passer d’une année à la suivante ?
Aux intérêts simples, on ajoute toujours \(+100\) (différence constante). Aux intérêts composés, on multiplie toujours par \(1{,}1\) (rapport constant).
Représentons les deux capitaux :
Intérêts simples : points alignés.
Intérêts composés : la courbe s’incurve vers le haut.
Ces deux situations opposent les deux comportements fondamentaux :
Différence constante. On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (\(+100\)). Croissance régulière, « comme une droite » : c’est une croissance affine.
Rapport constant. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre (\(\times 1{,}1\)). Croissance qui s’emballe : c’est une croissance exponentielle.
Traduire un pourcentage en coefficient multiplicateur. Ce raccourci est essentiel pour tout le chapitre. Complète :
| Variation | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| augmentation de \(20 \%\) | \(\times 1{,}20\) |
| augmentation de \(5 \%\) | \(\times 1{,}05\) |
| diminution de \(15 \%\) | \(\times 0{,}85\) |
| diminution de \(3 \%\) | \(\times 0{,}97\) |
L’invariant d’une croissance exponentielle
Nos situations — le secret, les intérêts composés, bientôt la batterie — ont toutes le même moteur : d’un pas au suivant, on multiplie par un nombre fixe. Cherchons la propriété qui capture ce comportement, celle qu’on gardera plus tard comme définition.
Qu’est-ce qu’un invariant ? En mathématiques, un invariant est une quantité ou une relation qui reste la même quand une autre grandeur change.
Reprenons le secret, où \(p_{n} = 2^{n}\). Regardons ce qui se passe quand on avance de \(m\) jours à partir du jour \(n\).
Activité 1.3 — le rapport ne dépend que de l’écart
On travaille avec \(p_{n} = 2^{n}\). Complète le tableau des rapports \(p_{n+m} / p_{n}\) pour différents jours de départ \(n\) et différents écarts \(m\) :
| départ \(n = 1\) | départ \(n = 3\) | départ \(n = 5\) | ce rapport… | |
|---|---|---|---|---|
| écart \(m = 1\) : \(p_{n+1} / p_{n}\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(= 2^{1}\) |
| écart \(m = 2\) : \(p_{n+2} / p_{n}\) | \(4\) | \(4\) | \(4\) | \(= 2^{2}\) |
| écart \(m = 3\) : \(p_{n+3} / p_{n}\) | \(8\) | \(8\) | \(8\) | \(= 2^{3}\) |
Pour un écart \(m\) fixé, le rapport \(p_{n+m} / p_{n}\) dépend-il du jour de départ \(n\) ? Non, il ne dépend que de l’écart \(m\).
Quelle valeur prend ce rapport ? \(p_{n+m} / p_{n} =\) \(2^{m}\), autrement dit \(p_{n+m} = p_{n} \cdot \class{rep}{2^{m} = p_{m}}\).
Voilà l’invariant : le rapport entre deux valeurs ne dépend que de l’écart entre les positions, jamais de l’endroit où l’on part. Pour une fonction \(f\) à croissance exponentielle, on l’écrit
\[ f(x + y) = f(x) \cdot f(y). \]
Cette relation dit qu’une telle fonction transforme une somme en un produit : la somme \(x + y\) des positions devient le produit \(f(x) \cdot f(y)\) des valeurs. Ce n’est rien d’autre que la règle des exposants \(a^{x+x'} = a^{x} \cdot a^{x'}\) — que tu connais pour les entiers. Une fonction exponentielle sera une fonction qui va garder cette propriété des exposants entiers.
Définition 1.1 — croissance exponentielle
Une fonction \(f\) a une croissance exponentielle lorsqu’elle vérifie:
\[ \forall x,x' \in \mathbb{R}, f(x + x') = f(x) \cdot f(x'). \]
Autrement dit : elle transforme une somme en un produit.
Remarque 1.1
Autre façon de le dire : quand les positions avancent par pas égaux (suite arithmétique), les valeurs sont multipliées par un facteur constant (suite géométrique).