Dériver l’exponentielle
La brique de base : \((e^{x})' = e^{x}\)
Le nombre \(e\) a été défini au chapitre 1 comme la base pour laquelle la tangente à la courbe au point \((0, 1)\) a pour pente exactement \(1\). C’est précisément ce qui rend l’exponentielle népérienne si commode à dériver.
Activité 3.1 — lire la pente en \((0{,}1)\)
Sur la courbe de \(e^{x}\) ci-dessous, la tangente en \((0, 1)\) a été tracée. Lis son coefficient directeur en utilisant le triangle de pente (avance de \(1\) vers la droite, puis mesure la montée).
Pente lue au point \((0, 1)\) : \(f'(0) = \class{rep}{1}\).
C’est la définition même de \(e\) : la base telle que \(f'(0) = 1\). Pour toute autre base, cette pente vaut autre chose — on le précisera au § suivant.
Au chapitre 1, on a établi que la dérivée d’une exponentielle est proportionnelle à elle-même : \((a^{x})' = f'(0) \cdot a^{x}\). Pour la base \(e\), comme \(f'(0) = 1\), cette proportion vaut \(1\).
Propriété 3.1 — dérivée de l’exponentielle népérienne
La fonction \(e^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et égale à sa propre dérivée :
\[ (e^{x})' = e^{x}. \]
C’est la seule fonction (à un facteur multiplicatif près) qui possède cette propriété.
Fais glisser \(a\) : compare la pente de la tangente et la valeur \(e^{a}\) ; « graphe de f′ » trace la courbe des pentes.
Composer : \((e^{u(x)})'\)
En pratique, l’exposant est rarement \(x\) tout seul : c’est une expression \(u(x)\). La règle de composition (dérivée d’une fonction composée, vue en 5e) s’applique alors directement, puisque la dérivée « extérieure » de \(e^{u}\) est \(e^{u}\) elle-même.
Propriété 3.2 — dérivée d’une exponentielle composée
Si \(u\) est dérivable, alors
\[ (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}. \]
On dérive l’exposant et on recopie l’exponentielle.
Exemple 3.1 — trois dérivées composées
\((e^{3 x})' = 3 e^{3 x}\)
(\(u = 3x\), \(u' = 3\))
\((e^{x^{2}})' = 2 x \cdot e^{x^{2}}\)
(\(u = x^{2}\), \(u' = 2x\))
\((e^{-x})' = - e^{-x}\)
(\(u = -x\), \(u' = -1\))
Une base quelconque : \((a^{x})' = a^{x} \ln a\)
Que vaut la fameuse pente \(f'(0)\) pour une base \(a\) autre que \(e\) ? La réponse, promise au chapitre 1, se lit en ramenant \(a^{x}\) à l’exponentielle népérienne.
Activité 3.2 — ramener \(a^{x}\) à la base \(e\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\).
(1) Réécrire. Par réciprocité, \(a = e^{\ln a}\). Donc, avec la propriété de la puissance,
\[ a^{x} = (e^{\ln a})^{x} = \class{rep}{e^{x \ln a}}. \]
(2) Dériver cette exponentielle composée (exposant \(u = x \ln a\), où \(\ln a\) est une constante, donc \(u' = \ln a\)) :
\[ (a^{x})' = (e^{x \ln a})' = \class{rep}{\ln a \cdot e^{x \ln a}} = a^{x} \ln a. \]
(3) Conclure sur la pente. En \(x = 0\) : \(f'(0) = a^{0} \ln a = \class{rep}{\ln a}\). La pente à l’origine d’une exponentielle de base \(a\) est donc \(\ln a\) — et elle vaut bien \(1\) pour \(a = e\), puisque \(\ln e = 1\).
Propriété 3.3 — dérivée d’une exponentielle de base \(a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors \(a^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et
\[ (a^{x})' = a^{x} \cdot \ln a, \quad \text{et plus généralement} \quad (a^{u(x)})' = u'(x) \cdot a^{u(x)} \cdot \ln a. \]
La constante \(\ln a\) mesure exactement la pente \(f'(0)\) laissée en suspens au chapitre 1.
Remarque 3.1
Ceci explique pourquoi \(e\) est la base « naturelle » du calcul différentiel : c’est la seule pour laquelle le facteur \(\ln a\) disparaît (car \(\ln e = 1\)). Travailler avec \(e^{x}\) évite de traîner cette constante dans tous les calculs.
Avant les séries denses, un exemple qui combine les règles connues (produit, quotient) avec les briques nouvelles.
Exemple 3.2 — combiner les règles
a) \((x e^{x})' = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (1 + x) e^{x}\)
(règle du produit)
b)
\[ (\frac{e^{x}}{x})' = \frac{e^{x} \cdot x - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} \]
(règle du quotient)
✎ Exercice 3.1
Dérive les fonctions suivantes (exponentielles simples et composées).
- \(3^{x}\)
- \(10^{x}\)
- \(e^{-x}\)
- \(\frac{1}{e^{4 x}}\)
- \(e^{x^{2}}\)
- \(e^{2 x - 2}\)
- \(e^{1 / x}\)
- \(3^{4 x - 3}\)
- \(2^{1 / x}\)
- \(4^{x / 3}\)
- \(2 e^{x}\)
- \(\frac{1}{e^{x}} + e^{x}\)
- \(\frac{1}{e^{3 x}} + e^{4 x}\)
- \(x e^{x}\)
- \(x^{2} e^{4 x}\)
- \(\frac{e^{x}}{x}\)
- \(\frac{e^{x}}{x^{3}}\)
- \(\frac{2}{e^{2 x}}\)
Relis les propriétés 3.1 (\((e^{x})' = e^{x}\)), 3.2 (exponentielle composée) et 3.3 (base \(a\)), puis l’exemple « combiner les règles ».
Pour chaque fonction : quelle est la base ? Qu’y a-t-il dans l’exposant ? Faut-il aussi la règle du produit ou du quotient ?
\((e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}\) et \((a^{u(x)})' = u'(x) \cdot a^{u(x)} \cdot \ln a\). Écris d’abord \(1 / e^{4 x} = e^{-4 x}\).
- \((3^{x})' = 3^{x} \ln 3\).
- \((10^{x})' = 10^{x} \ln 10\).
- \((e^{-x})' = -e^{-x}\).
- \(1 / e^{4 x} = e^{-4 x}\), de dérivée \(-4 e^{-4 x}\).
- \((e^{x^{2}})' = 2 x e^{x^{2}}\).
- \((e^{2 x - 2})' = 2 e^{2 x - 2}\).
- \((e^{1/x})' = -\frac{1}{x^{2}} e^{1/x}\).
- \((3^{4 x - 3})' = 4 \ln 3 \cdot 3^{4 x - 3}\).
- \((2^{1/x})' = -\frac{\ln 2}{x^{2}} \cdot 2^{1/x}\).
- \((4^{x/3})' = \frac{\ln 4}{3} \cdot 4^{x/3}\).
- \((2 e^{x})' = 2 e^{x}\).
- \(1 / e^{x} + e^{x} = e^{-x} + e^{x}\), de dérivée \(-e^{-x} + e^{x}\).
- \(e^{-3 x} + e^{4 x}\), de dérivée \(-3 e^{-3 x} + 4 e^{4 x}\).
- \((x e^{x})' = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}\) (produit).
- \((x^{2} e^{4 x})' = 2 x e^{4 x} + 4 x^{2} e^{4 x} = 2 x (1 + 2 x) e^{4 x}\) (produit).
- \((\frac{e^{x}}{x})' = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} = \frac{(x - 1) e^{x}}{x^{2}}\) (quotient).
- \((\frac{e^{x}}{x^{3}})' = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}} = \frac{(x - 3) e^{x}}{x^{4}}\) (quotient).
- \(2 / e^{2 x} = 2 e^{-2 x}\), de dérivée \(-4 e^{-2 x}\).
- Dériver \(3^{x}\) en \(x \cdot 3^{x - 1}\) : c’est la règle des puissances \(x^{n}\), pas celle des exponentielles.
- Oublier le facteur \(u'(x)\) dans \((e^{u(x)})'\).
- Oublier \(\ln a\) pour une base autre que \(e\).