Propriétés et caractéristiques graphiques
Pour connaître l’allure des fonctions exponentielles, le mieux est d’en tracer quelques-unes.
Activité 1.8 — quatre exponentielles
Complète le tableau de valeurs, puis place les points dans le repère et relie-les.
| \(x\) | \(f_{1}(x) = 2^{x}\) | \(f_{2}(x) = 3^{x}\) | \(f_{3}(x) = (\frac{1}{2})^{x}\) | \(f_{4}(x) = (\frac{1}{3})^{x}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-2\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{9}\) | \(4\) | \(9\) |
| \(-1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(2\) | \(3\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(2\) | \(4\) | \(9\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{9}\) |
Que vaut \(a^{0}\) pour toutes ces fonctions ? \(1\) — quel point commun en déduis-tu ? toutes passent par \((0, 1)\)
Que vaut \(a^{1}\) ? \(a\) — donc chaque courbe passe aussi par le point \((1, a)\).
Avant d’énoncer la fiche d’identité, voyons sur un exemple comment lire un tel graphique.
Exemple 1.1 — lire une exponentielle
Soit \(f(x) = 3^{x}\). Sans calculatrice :
- Domaine et image : \(f\) est définie pour tout réel, donc \(\operatorname{dom} f = \mathbb{R}\) ; ses valeurs sont toujours strictement positives, donc \(\operatorname{im} f = \mathbb{R}^{> 0}\).
- Points sûrs : \(f(0) = 3^{0} = 1\) (point \((0, 1)\)) et \(f(1) = 3^{1} = 3\) (point \((1, 3)\)).
- Sens de variation : la base \(3 > 1\), donc \(f\) est strictement croissante.
- Comportement aux bords : quand \(x \to -\infty\), \(3^{x} \to 0\) (la courbe s’approche de l’axe \(x\) sans le toucher : asymptote horizontale \(y = 0\)) ; quand \(x \to +\infty\), \(3^{x} \to +\infty\).
Voici les deux allures possibles, selon que la base est plus grande ou plus petite que \(1\) :
base \(a > 1\) : strictement croissante
base \(0 < a < 1\) : strictement décroissante
Propriété 1.2 — caractéristiques de \(f(x) = a^{x}\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(f(x) = a^{x}\).
\(\operatorname{dom} f =\) \(\mathbb{R}\)
\(\operatorname{im} f =\) \(\mathbb{R}^{> 0}\)
racine(s) : aucune
\(G_{f} \cap \text{axe } y\) : \((0, 1)\)
\(G_{f} \cap \text{axe } x\) : aucun point
points sûrs : \((0, 1)\) et \((1, a)\)
concavité : tournée vers le haut
asymptote : horizontale \(y = 0\)
si \(a > 1\)
- \(f\) est strictement croissante
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\) \(+\infty\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =\) \(0\)
- \(\text{AH}_{-\infty}\) : \(y = 0\)
si \(0 < a < 1\)
- \(f\) est strictement décroissante
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\) \(0\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =\) \(+\infty\)
- \(\text{AH}_{+\infty} :\) \(y = 0\)
Les graphiques précédents laissent deviner une symétrie. Rappelle-toi une transformation vue en 4e : pour n’importe quelle fonction \(f\), le graphe de \(f(-x)\) s’obtient à partir de celui de \(f(x)\) par une symétrie d’axe \(y\) (l’axe des ordonnées). Or, passer de la base \(a\) à la base \(\frac{1}{a}\) revient justement à remplacer \(x\) par \(-x\) :
\[ \frac{1}{a^{x}} = a^{-x} = (\frac{1}{a})^{x}. \]
Propriété 1.3 — symétrie d’axe \(y\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Comme \((\frac{1}{a})^{x} = a^{-x}\), le graphique de \(f(x) = (\frac{1}{a})^{x}\) est le symétrique de celui de \(g(x) = a^{x}\) par rapport à l’axe \(y\).
\(2^{x}\) et \((\frac{1}{2})^{x} = 2^{-x}\) : deux courbes symétriques par rapport à l’axe \(y\).
✎ Exercice 1.3
Compare graphiquement les fonctions \(f(x) = 2^{x}\) et \(g(x) = x^{2}\). En combien de points leurs graphes se coupent-ils ? Laquelle finit par « écraser » l’autre quand \(x \to +\infty\) ? Cite la propriété de croissance qui le justifie.
Relis l’activité « quatre exponentielles » et la définition de la croissance exponentielle : on multiplie au lieu d’ajouter.
Pour quelles valeurs entières de \(x\) a-t-on \(2^{x} = x^{2}\) ? Et que se passe-t-il pour \(x\) négatif ?
Dresse un tableau de valeurs de \(x = -2\) à \(x = 6\) pour les deux fonctions, puis trace les deux courbes (calculatrice graphique).
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^{x}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) | \(32\) | \(64\) |
| \(x^{2}\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) |
- Les graphes se coupent en \(x = 2\) et \(x = 4\) (\(2^{2} = 2^{2}\) et \(2^{4} = 4^{2} = 16\)), et une troisième fois entre \(-1\) et \(0\) (\(2^{x} - x^{2}\) passe de \(-1/2\) à \(1\)), vers \(x \approx -0{,}77\). Il y a donc trois points d’intersection.
- Au-delà de \(x = 4\), \(2^{x} > x^{2}\) et l’écart grandit : c’est \(2^{x}\) qui « écrase » \(x^{2}\). En effet, quand \(x\) augmente de \(1\), \(2^{x}\) est multiplié par \(2\) (croissance exponentielle), alors que \(x^{2}\) est multiplié par \((\frac{x + 1}{x})^{2}\), qui se rapproche de \(1\).
- Oublier le point d’intersection pour \(x\) négatif : le tableau ne le montre pas si on ne prend que des \(x\) positifs.
- Conclure trop tôt : entre \(2\) et \(4\), c’est \(x^{2}\) qui est au-dessus.