Le nombre e et l’exponentielle népérienne
Les exponentielles sont dérivables partout
Rappelle-toi ce que tu as observé sur la courbe de \(2^{x}\) (§ 1.2.2) : elle a une tangente en 0, et tu as même estimé la pente de cette tangente en \(0\) (environ \(0{,}7\)). Cela signifie que \(2^{x}\) est dérivable en 0. Formulons cela proprement. Être dérivable en \(0\) signifie que le nombre
\[ f'(0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} \]
existe ; c’est précisément la pente de la tangente au point \((0, 1)\).
Résultat admis. Pour toute base \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), le nombre \(f'(0)\) existe : la fonction exponentielle est dérivable en \(0\) (c’est la tangente que tu as vue pour \(2^{x}\)). La démonstration de ce résultat dépasse les outils dont nous disposons à ce stade ; nous l’admettons.
Ce résultat admis a une conséquence remarquable, que l’on peut démontrer entièrement.
Propriété 1.5 — dérivée d’une exponentielle
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). La fonction \(f(x) = a^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) tout entier, et
\[ f'(x) = f'(0) \cdot a^{x}. \]
Autrement dit, la dérivée d’une exponentielle est un multiple d’elle-même.
Démonstration 1.1
Fixons \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(f(x) = a^{x}\). Pour tous \(x, h\), on utilise la propriété \(a^{x + h} = a^{x} \cdot a^{h}\) :
\[ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h} = \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h} = a^{x} \cdot \frac{a^{h} - 1}{h}. \]
Dès lors:
\[ f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} a^{x} \cdot \frac{a^{h} - 1}{h} = a^{x} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = a^{x} \cdot f'(0), \]
car \(\lim\limits_{h \to 0} (a^{h} - 1) / h = f'(0)\) existe (résultat admis ci-dessus). La fonction \(f\) est donc dérivable partout, et \(f'(x) = f'(0) \cdot a^{x}\).
Cette propriété est remarquable : la dérivabilité en un seul point (ici \(0\)), combinée à la relation \(f(x+h) = f(x) f(h)\), entraîne la dérivabilité partout.
Le nombre \(e\)
Nous cherchons une base \(a\) telle que \(f(x) = a^{x}\) vérifie \(f'(0) = 1\), c’est-à-dire
\[ f'(0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = 1. \]
Cela signifie que \((a^{h} - 1) / h\) est proche de \(1\) quand \(h\) est proche de \(0\). Transformons cette condition :
\[ \frac{a^{h} - 1}{h} \approx 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a^{h} - 1 \approx h \quad \Longleftrightarrow \quad a^{h} \approx 1 + h \quad \Longleftrightarrow \quad a \approx (1 + h)^{1 / h}. \]
On estime donc la base cherchée en prenant des valeurs de \(h\) de plus en plus petites.
Activité 1.10 — estimer la base idéale
Complète à la calculatrice (arrondis à \(10^{-4}\)) :
| \(h\) | \((1 + h)^{1 / h}\) |
|---|---|
| \(0{,}1\) | \(2{,}5937\) |
| \(0{,}01\) | \(2{,}7048\) |
| \(0{,}001\) | \(2{,}7169\) |
| \(0{,}0001\) | \(2{,}7181\) |
| \(0{,}00001\) | \(2{,}7183\) |
La suite des valeurs se stabilise autour de \(2{,}718 \ldots\).
Définition 1.5 — le nombre \(e\)
Le nombre d’Euler, noté \(e\), est défini par
\[ e = \lim\limits_{h \to 0} (1 + h)^{1 / h} = 2{,}718 \, 281 \, 828 \ldots \]
Remarque 1.4
C’est une constante fondamentale des mathématiques. Comme \(\pi\), elle est irrationnelle (son écriture décimale est infinie et non périodique) ; elle est même transcendante.
L’exponentielle népérienne
Définition 1.6 — exponentielle népérienne
L’exponentielle népérienne est la fonction exponentielle de base \(e\) ; on la note \(\operatorname{exp}(x) = e^{x}\).
C’est la représentante choisie de toutes les exponentielles. Par construction de \(e\), sa pente en \(0\) vaut \(1\), donc \(f'(0) = 1\), et la Propriété 1.5 (dérivée d’une exponentielle) donne une identité spectaculaire : cette fonction est égale à sa propre dérivée,
\[ (e^{x})' = e^{x}. \]
✎ Exercice 1.18
À partir du graphique de l’exponentielle népérienne \(f(x) = e^{x}\) (déjà tracée), construis celui de \(g(x) = \frac{1}{e^{x}} = e^{-x}\) en utilisant la symétrie d’axe \(y\).
Relis la propriété de symétrie d’axe \(y\).
Si le point \((x, y)\) est sur le graphe de \(e^{x}\), quel point est sur le graphe de \(e^{-x}\) ?
Le point \((1, e)\) devient \((-1, e)\) ; le point \((0, 1)\) reste en place.
Comme \(g(x) = e^{-x} = f(-x)\), le point \((x, y)\) appartient au graphe de \(f\) si et seulement si \((-x, y)\) appartient au graphe de \(g\) : le graphe de \(g\) est le symétrique de celui de \(f\) par rapport à l’axe \(y\) (propriété 1.2).
Il passe par \((0, 1)\) et par \((-1, e) \approx (-1 ; 2{,}72)\) ; il est strictement décroissant et se rapproche de l’axe des \(x\) quand \(x\) devient grand.
- Tracer le symétrique par rapport à l’axe des \(x\) (on obtiendrait \(-e^{x}\), sous l’axe).