S’autoévaluer

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Croissance exponentielle

Construire une fonction exponentielle

Définition de la fonction exponentielle

Propriétés et caractéristiques graphiques

Multiples d’une fonction exponentielle

Des graphes tous semblables : vers un représentant privilégié

Le nombre \(e\) et l’exponentielle népérienne

Résoudre des équations exponentielles simples

Exercices supplémentaires

Du problème \(e^{x} = 3\) au logarithme

Définition du logarithme de base \(a\)

Propriétés graphiques, par déduction

Propriétés algébriques, à découvrir

Utiliser les propriétés

Équations logarithmiques

Résoudre les équations exponentielles \(a^{f(x)} = b\)

Modéliser avec les logarithmes

Dériver l’exponentielle

Dériver le logarithme

Limites de base

Croissance comparée et théorème de l’Hospital

Construire une échelle logarithmique

Repère semi-logarithmique : la signature de l’exponentielle

Repère log-log : la signature d’une puissance

Choisir le bon repère et extraire l’information

Pour aller plus loin : les échelles logarithmiques en sciences

Lire les caractéristiques de la fonction exponentielle / logarithme au départ de son graphique.

Reconnaître, parmi un ensemble d’expressions analytiques de fonctions données, celle d’une fonction exponentielle.

Décrire la signification des paramètres d’une fonction exponentielle du type \(f(t) = C \cdot a^{k t}\).

Déterminer la base d’une fonction exponentielle à partir de son expression analytique, d’un graphique, d’un tableau de nombres ou d’une condition.

Vérifier qu’une croissance est exponentielle à partir d’un tableau de nombres.

Démontrer des propriétés des fonctions logarithmes.

Justifier les étapes de résolution d’une équation exponentielle du type \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) ou d’une équation logarithme du type \(\log_{a} (x) = C\) en utilisant la relation de réciprocité.

Déterminer l’image d’un réel par une fonction exponentielle ou logarithme en base quelconque avec la calculatrice.

Relier le graphique d’une transformée simple d’une fonction exponentielle ou logarithme à son expression analytique.

Relier l’expression analytique d’une fonction exponentielle de type \(f(t) = C \cdot a^{k t}\) à son graphique.

Écrire l’expression analytique d’une fonction exponentielle à partir de son graphique.

Résoudre une équation exponentielle du type \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) ou s’y ramenant (en utilisant les propriétés).

Résoudre une équation logarithme du type \(\log_{a} (x) = C\) ou s’y ramenant (en utilisant les propriétés).

Calculer des limites, des dérivées et des primitives de fonctions exponentielles et logarithmes.

Extraire des informations d’un graphique en coordonnées logarithmique ou semi-logarithmique.

Reconnaître, parmi tous ceux déjà rencontrés, le modèle adéquat à la situation.

Modéliser une croissance exponentielle décrite dans une situation contextualisée.

Résoudre un problème à l’aide d’une fonction exponentielle dont l’expression analytique est donnée ou non.

Chapitre 1 : Fonctions exponentielles

Douze questions tirées au hasard sur tout le chapitre 1 : croissance exponentielle, définition, graphiques, modèles, nombre \(e\), équations.

Chapitre 2 : Fonctions logarithmes

Douze questions tirées au hasard sur tout le chapitre 2 : définition, graphiques, propriétés algébriques, équations, modèles.

Chapitre 3 : Dérivées et limites

Dix questions tirées au hasard : dériver \(e^{x}\), \(a^{x}\), \(\ln\), \(\log_{a}\) ; limites de base ; théorème de l’Hospital.

Chapitre 4 : Échelles logarithmiques

Huit questions tirées au hasard : lire une échelle logarithmique, repères semi-log et log-log, choisir le bon repère.

Équations exponentielles et logarithmiques

Résoudre, justifier, rédiger : conditions d’existence, même base, logarithme pour libérer l’exposant.

Modéliser et résoudre des problèmes

Reconnaître le bon modèle, le construire à partir d’une situation et s’en servir.

Les bases, pour démarrer

Dix questions de niveau ★ sur tout le cours.

Pour des valeurs de \(x\) régulièrement espacées (\(0\), \(1\), \(2\), \(3\)), on a relevé \(y = 5\), \(10\), \(20\), \(40\). Que peut-on dire ?

C’est une croissance exponentielle : le quotient de deux valeurs consécutives vaut toujours \(2\).

Oui : \(\frac{10}{5} = \frac{20}{10} = \frac{40}{20} = 2\). Pour des pas de \(x\) égaux, un quotient constant caractérise une croissance exponentielle (remarque 1.1).

C’est une croissance affine : on ajoute toujours le même nombre.

Calcule les différences : \(+5\), \(+10\), \(+20\). Elles ne sont pas constantes. Ce sont les quotients qui le sont.

On ne peut rien dire sans connaître l’expression de la fonction.

Le tableau suffit : avec des pas de \(x\) égaux, on teste si le quotient de deux valeurs consécutives est constant.

C’est une croissance exponentielle de base \(5\).

\(5\) est la valeur de départ (\(y\) pour \(x = 0\)). La base est le facteur par lequel on multiplie à chaque pas : \(\frac{10}{5} = 2\).

Pour \(x = 1\), \(2\), \(3\), \(4\), on a \(y = 2\), \(8\), \(18\), \(32\). Cette croissance est-elle exponentielle ?

Non : les quotients \(4\), \(\frac{9}{4}\) et \(\frac{16}{9}\) ne sont pas égaux.

Exact. Ce sont les valeurs de \(2 x^{2}\) : une fonction du second degré, pas une exponentielle.

Oui : \(y\) augmente de plus en plus vite.

« De plus en plus vite » ne suffit pas : \(x^{2}\) aussi. Le critère est un quotient constant pour des pas de \(x\) égaux.

Oui, de base \(4\) : \(\frac{8}{2} = 4\).

Un seul quotient ne suffit pas : \(\frac{18}{8} = \frac{9}{4} \neq 4\). Il faut vérifier tous les quotients.

Non : les différences \(6\), \(10\) et \(14\) ne sont pas égales.

La conclusion est juste mais la raison ne l’est pas : des différences non constantes excluent une croissance affine, pas une croissance exponentielle. Il faut calculer les quotients.

Une fonction \(f\) a une croissance exponentielle. On sait que \(f(2) = 9\) et \(f(3) = 27\). Que vaut \(f(5)\) ?

\(243\)

Oui : \(f(2 + 3) = f(2) \cdot f(3) = 9 \cdot 27 = 243\) (définition 1.1 : une croissance exponentielle transforme une somme en produit).

\(36\)

Tu as additionné les images : \(f(2) + f(3) = 36\). C’est le comportement d’une fonction linéaire. Une croissance exponentielle transforme une somme en produit.

\(f(7)\) ne peut pas être calculé.

La définition 1.1 le permet : \(f(x + x') = f(x) \cdot f(x')\), avec \(x = 2\) et \(x' = 3\).

\(729\)

Tu as calculé \(27^{2} = f(3) \cdot f(3) = f(6)\). Utilise \(5 = 2 + 3\) : \(f(5) = f(2) \cdot f(3)\).

On place \(1000\) € à intérêts composés au taux annuel de \(3 \%\). Exprime le capital \(C_{n}\) après \(n\) années, puis calcule-le après \(10\) ans.

Chaque année, le capital est multiplié par \(1 + 0{,}03 = 1{,}03\). En partant de \(1000\) € : \(C_{n} = 1000 \cdot 1{,}03^{n}\).

Après \(10\) ans : \(C_{10} = 1000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 1343{,}92\) €.

J’ai traduit « \(+3 \%\) par an » par une multiplication par \(1{,}03\).

J’ai écrit \(C_{n} = 1000 \cdot 1{,}03^{n}\) (et non \(1000 + 30 n\)).

J’ai trouvé environ \(1343{,}92\) €.

Que vaut \(8^{2/3}\) ?

\(4\)

Oui : \(8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^{2} = 2^{2} = 4\).

\(5{,}33\)

Tu as calculé \(8 \cdot \frac{2}{3}\). Un exposant \(\frac{2}{3}\) n’est pas un facteur : \(8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^{2}\).

\(16\)

Tu as calculé \(8 \cdot 2\). Le dénominateur \(3\) indique la racine cubique : \(\sqrt[3]{8} = 2\), puis \(2^{2} = 4\).

\(0{,}25\)

C’est \(8^{-2/3} = \frac{1}{4}\). Ici l’exposant est positif.

Que vaut \(2^{-3}\) ?

\(\frac{1}{8}\)

Oui : \(2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}\).

\(-8\)

Un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif : \(2^{-3} = 1 / 2^{3}\). Une puissance de base positive est toujours positive.

\(-6\)

Tu as calculé \(2 \cdot (-3)\) : l’exposant n’est pas un facteur.

\(\frac{1}{6}\)

\(2^{3} = 8\), pas \(6\) : \(2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}\).

La charge d’une batterie est multipliée par \(0{,}64\) toutes les heures. Par quel nombre est-elle multipliée toutes les demi-heures ?

\(0{,}8\)

Oui : deux demi-heures font une heure, donc le facteur \(c\) par demi-heure vérifie \(c^{2} = 0{,}64\), soit \(c = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).

\(0{,}32\)

Tu as divisé par \(2\). Deux multiplications successives par \(c\) font une multiplication par \(c^{2}\) : il faut \(c^{2} = 0{,}64\).

\(0{,}82\)

Tu as retiré la moitié de la perte (\(36 \% / 2 = 18 \%\)). Les pourcentages ne se partagent pas : \(0{,}82^{2} \approx 0{,}67 \neq 0{,}64\).

\(0{,}4096\)

C’est \(0{,}64^{2}\) : le facteur sur deux heures. Pour une demi-heure, on prend la racine carrée.

Laquelle de ces fonctions est une fonction exponentielle ?

\(f(x) = 0{,}7^{x}\)

Oui : de la forme \(a^{x}\) avec \(a = 0{,}7 \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) (définition 1.3).

\(f(x) = x^{0{,}7}\)

Ici c’est la base qui varie et l’exposant est fixe : c’est une fonction puissance.

\(f(x) = (-2)^{x}\)

La base doit être strictement positive : \((-2)^{1/2} = \sqrt{-2}\) n’existe pas.

\(f(x) = 1^{x}\)

La base \(1\) est exclue : \(1^{x} = 1\) pour tout \(x\), la fonction est constante.

Simplifie \(3^{4} \cdot 3^{5}\).

\(3^{9}\)

Oui : \(a^{m} \cdot a^{p} = a^{m + p}\) (propriété 1.1).

\(3^{20}\)

Tu as multiplié les exposants. Dans un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.

\(9^{9}\)

La base ne change pas : on garde \(3\) et on additionne les exposants.

\(9^{20}\)

Deux erreurs : la base reste \(3\) et on additionne les exposants : \(3^{4 + 5} = 3^{9}\).

Écris sous la forme d’une seule puissance de \(a\) : \((a^{2 x})^{3} \cdot \frac{a^{-x}}{a^{4 x}}\).

\((a^{2 x})^{3} = a^{6 x}\) ; puis \(a^{6 x} \cdot a^{-x} = a^{5 x}\) ; enfin \(\frac{a^{5 x}}{a^{4 x}} = a^{x}\).

J’ai écrit \((a^{2 x})^{3} = a^{6 x}\) (on multiplie les exposants).

J’ai additionné puis soustrait les exposants : \(6 x - x - 4 x\).

J’ai trouvé \(a^{x}\).

La fonction \(f(x) = 0{,}6^{x}\) est :

strictement décroissante, et passe par \((0, 1)\).

Oui : la base \(0{,}6\) est comprise entre \(0\) et \(1\), donc \(f\) est décroissante ; et \(f(0) = 0{,}6^{0} = 1\).

strictement croissante, car \(0{,}6 > 0\).

Une base positive ne suffit pas : c’est la position de la base par rapport à \(1\) qui fixe le sens de variation. Ici \(0{,}6 < 1\).

strictement décroissante, et passe par \((0, 0{,}6)\).

\(f(0) = 0{,}6^{0} = 1\) : toute exponentielle \(a^{x}\) passe par \((0, 1)\). Le point \((1, 0{,}6)\) est sur la courbe.

décroissante, puis négative pour \(x\) grand.

\(a^{x} > 0\) pour tout \(x\) : la courbe s’approche de l’axe \(x\) (asymptote \(y = 0\)) sans jamais le traverser.

Quelle est l’image de la fonction \(f(x) = 5^{x}\) ?

\(\mathbb{R}^{> 0}\)

Oui : \(5^{x}\) prend toutes les valeurs strictement positives, et seulement celles-là (exemple 1.1).

\(\mathbb{R}\)

C’est le domaine de \(f\) (\(x\) peut être n’importe quel réel). Mais \(5^{x}\) n’est jamais négatif ni nul.

\(\mathbb{R}^{\geq 0}\)

\(5^{x}\) ne vaut jamais \(0\) : la courbe s’approche de l’axe \(x\) sans le toucher.

\([1 ; +\infty[\)

Pour \(x < 0\), \(5^{x} < 1\) : par exemple \(5^{-1} = 0{,}2\).

Le graphique de \(g(x) = (\frac{1}{3})^{x}\) s’obtient à partir de celui de \(f(x) = 3^{x}\) par :

une symétrie d’axe \(y\).

Oui : \((\frac{1}{3})^{x} = 3^{-x} = f(-x)\) (propriété 1.3).

une symétrie d’axe \(x\).

La symétrie d’axe \(x\) donnerait \(-3^{x}\), sous l’axe. \((\frac{1}{3})^{x}\) reste positif.

une symétrie par rapport à la droite \(y = x\).

Cette symétrie donne la réciproque, \(\log_{3} x\) (chapitre 2). Ici, \((\frac{1}{3})^{x} = 3^{-x}\) : on change \(x\) en \(-x\).

une translation vers le bas.

Les deux courbes passent par \((0, 1)\) : il n’y a pas de translation. On change \(x\) en \(-x\).

Un multiple d’une exponentielle \(f(x) = k \cdot a^{x}\) passe par \((0, 3)\) et \((1, 12)\). Que vaut \(f(x)\) ?

\(f(x) = 3 \cdot 4^{x}\)

Oui : \(k = f(0) = 3\) et \(a = f(1) / f(0) = \frac{12}{3} = 4\) (remarque 1.2).

\(f(x) = 3 \cdot 12^{x}\)

\(12\) est \(f(1) = k \cdot a\), pas la base : \(a = \frac{12}{3} = 4\).

\(f(x) = 12 \cdot 3^{x}\)

Tu as inversé : \(k = f(0) = 3\) est l’ordonnée à l’origine.

\(f(x) = 3 \cdot 9^{x}\)

Tu as calculé la différence \(12 - 3 = 9\). La base est un quotient : \(\frac{12}{3} = 4\).

Une quantité est modélisée par \(Q(t) = 50 \cdot 1{,}2^{t / 4}\) (\(t\) en années). Que signifie cette écriture ?

La quantité vaut \(50\) au départ et est multipliée par \(1{,}2\) tous les \(4\) ans.

Oui : \(Q(0) = 50\), et quand \(t\) augmente de \(4\), l’exposant \(t/4\) augmente de \(1\).

La quantité est multipliée par \(1{,}2\) chaque année.

Quand \(t\) augmente de \(1\), l’exposant \(t / 4\) n’augmente que de \(\frac{1}{4}\) : le facteur \(1{,}2\) s’applique tous les \(4\) ans.

La quantité augmente de \(1{,}2 \%\) tous les \(4\) ans.

Multiplier par \(1{,}2\), c’est augmenter de \(20 \%\), pas de \(1{,}2 \%\).

La quantité est multipliée par \(1{,}2 / 4 = 0{,}3\) chaque année.

Le \(4\) est dans l’exposant : il ne divise pas la base. Le facteur annuel vaut \(1{,}2^{1/4} \approx 1{,}047\).

Le graphique de \(g(x) = 2^{x + 3}\) s’obtient à partir de celui de \(f(x) = 2^{x}\) par :

une translation de \(3\) unités vers la gauche.

Oui : on remplace \(x\) par \(x + 3\), la courbe se déplace de \(3\) vers la gauche. On a aussi \(g(x) = 8 \cdot 2^{x}\) : c’est un étirement vertical de facteur \(8\).

une translation de \(3\) unités vers la droite.

Remplacer \(x\) par \(x + 3\) déplace vers la gauche : \(g(-3) = 2^{0} = 1 = f(0)\), le point \((0, 1)\) arrive en \((-3, 1)\).

une translation de \(3\) unités vers le haut.

La translation vers le haut serait \(2^{x} + 3\) : on ajouterait \(3\) au résultat, pas à \(x\).

un étirement vertical de facteur \(3\).

\(2^{x + 3} = 2^{3} \cdot 2^{x} = 8 \cdot 2^{x}\) : le facteur vaut \(8\), pas \(3\).

Détermine l’expression analytique de la fonction représentée.

La courbe passe par \((0, 2)\) et \((1, 3)\). Donc \(k = f(0) = 2\) et \(a = f(1) / f(0) = \frac{3}{2} = 1{,}5\). \(f(x) = 2 \cdot 1{,}5^{x}\).

J’ai lu \(k = f(0) = 2\).

J’ai calculé la base comme un quotient : \(a = \frac{3}{2}\).

J’ai écrit \(f(x) = 2 \cdot 1{,}5^{x}\).

Le prix d’un abonnement augmente de \(5\) € chaque année. Quel modèle convient ?

Une croissance affine.

Oui : on ajoute le même montant chaque année.

Une croissance exponentielle.

Il faudrait multiplier par un même nombre chaque année (par exemple \(+5 \%\)). Ici on ajoute \(5\) €.

Une décroissance exponentielle.

Le prix augmente ; et on ajoute un montant fixe.

Une décroissance affine.

Le prix augmente : la croissance est affine, pas une décroissance.

Une ville de \(20 \, 000\) habitants perd \(2 \%\) de sa population chaque année. Quelle expression donne sa population après \(t\) années ?

\(P(t) = 20 \, 000 \cdot 0{,}98^{t}\)

Oui : perdre \(2 \%\), c’est multiplier par \(1 - 0{,}02 = 0{,}98\) chaque année.

\(P(t) = 20 \, 000 \cdot 0{,}02^{t}\)

\(0{,}02\) est la part perdue ; la part conservée est \(0{,}98\).

\(P(t) = 20 \, 000 - 400 t\)

Ce modèle retire toujours \(400\) habitants. Or les \(2 \%\) portent sur la population de l’année précédente, qui diminue.

\(P(t) = 20 \, 000 \cdot 1{,}02^{-t}\)

Proche, mais pas égal : \(1 / 1{,}02 \approx 0{,}9804 \neq 0{,}98\). Une baisse de \(2 \%\) correspond au facteur \(0{,}98\).

Une colonie de \(400\) bactéries double toutes les \(3\) heures. Donne l’expression \(N(t)\) du nombre de bactéries après \(t\) heures, puis calcule \(N(10)\).

La colonie est multipliée par \(2\) toutes les \(3\) heures ; après \(t\) heures, elle a doublé \(\frac{t}{3}\) fois : \(N(t) = 400 \cdot 2^{t/3}\).

\(N(10) = 400 \cdot 2^{10/3} \approx 4 \, 032\) bactéries.

J’ai mis \(t/3\) dans l’exposant (le doublement a lieu toutes les \(3\) heures).

J’ai écrit \(N(t) = 400 \cdot 2^{t/3}\).

J’ai trouvé environ \(4 \, 032\) bactéries.

On sait que \(a^{x} = 2^{k x}\) pour tout \(x\). Si \(a = 8\), que vaut \(k\) ?

\(3\)

Oui : \(8^{x} = (2^{3})^{x} = 2^{3 x}\) (propriété 1.4).

\(4\)

Tu as divisé \(8\) par \(2\). Il faut écrire \(8\) comme une puissance de \(2\) : \(8 = 2^{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

Tu as inversé : \(2^{x/3} = \sqrt[3]{2}^{x}\), qui n’est pas \(8^{x}\).

\(6\)

\(2^{6} = 64\), pas \(8\). \(8 = 2^{3}\).

Quelle propriété caractérise la base \(e\) parmi toutes les exponentielles \(a^{x}\) ?

La pente de la tangente à \(e^{x}\) au point \((0, 1)\) vaut \(1\).

Oui : pour toute base, \((a^{x})' = f'(0) \cdot a^{x}\) ; la base \(e\) est celle pour laquelle \(f'(0) = 1\), donc \((e^{x})' = e^{x}\).

C’est la seule exponentielle qui passe par \((0, 1)\).

Toutes les exponentielles \(a^{x}\) passent par \((0, 1)\), car \(a^{0} = 1\).

C’est la seule exponentielle croissante.

Toute base \(a > 1\) donne une exponentielle croissante (\(2^{x}\), \(10^{x}\)…).

\(e\) est un nombre entier proche de \(3\).

\(e \approx 2{,}718\) n’est pas entier ; il est même irrationnel (remarque 1.4).

À la calculatrice, \(e^{2}\) vaut environ :

\(7{,}389\)

Oui : touche \(e^{x}\), puis \(2\).

\(5{,}437\)

Tu as calculé \(2 \cdot e\). \(e^{2} = e \cdot e\).

\(0{,}693\)

C’est \(\ln 2\) : la touche du logarithme, pas celle de l’exponentielle.

\(100\)

C’est \(10^{2}\) : la touche \(10^{x}\) au lieu de \(e^{x}\).

Résous \(3^{x - 1} = 27\).

\(S = \{4\}\)

Oui : \(27 = 3^{3}\), donc \(3^{x - 1} = 3^{3} \Longleftrightarrow x - 1 = 3 \Longleftrightarrow x = 4\).

\(S = \{28\}\)

Tu as égalé l’exposant à \(27\). Il faut d’abord écrire \(27\) en base \(3\) : \(27 = 3^{3}\).

\(S = \{10\}\)

Tu as divisé \(27\) par \(3\) puis ajouté \(1\). Écris \(27 = 3^{3}\) et égale les exposants.

\(S = \{3\}\)

\(x - 1 = 3\) donne \(x = 4\) : il reste à isoler \(x\).

Résous \(e^{x^{2}} = \frac{1}{e}\).

\(S = \emptyset\)

Oui : \(1/e = e^{-1}\), donc \(x^{2} = -1\), impossible : un carré n’est jamais négatif.

\(S = \{-1 ; 1\}\)

Tu as résolu \(x^{2} = 1\). Mais \(1 / e = e^{-1}\) : l’équation devient \(x^{2} = -1\).

\(S = \{-1\}\)

\(x = -1\) donne \(e^{(-1)^{2}} = e^{1} = e\), pas \(1 / e\).

\(S = \{0\}\)

\(e^{0} = 1\), pas \(1 / e\).

Dans une résolution, on passe de \(5^{2 x} = 5^{x + 3}\) à \(2 x = x + 3\). Quelle propriété le justifie ?

La fonction \(5^{x}\) est strictement croissante, donc \(5^{u} = 5^{v} \Longleftrightarrow u = v\).

Oui : c’est la propriété 1.6. Sans stricte monotonie, deux exposants différents pourraient donner la même valeur.

On simplifie par \(5\) de chaque côté.

On ne « simplifie » pas une base comme un facteur : \(5^{2 x}\) n’est pas \(5 \cdot 2 x\). C’est la stricte monotonie qui permet d’égaler les exposants.

La règle \(a^{m + p} = a^{m} \cdot a^{p}\).

Cette règle transforme une puissance, elle ne permet pas de passer à l’égalité des exposants.

On prend la racine cinquième des deux membres.

\(\sqrt[5]{5^{2 x}} = 5^{2 x / 5}\) : on n’obtient pas \(2 x = x + 3\).

Résous \(4^{x + 1} = \sqrt[3]{2}\) en justifiant chaque étape.

On écrit les deux membres en base \(2\) : \(4^{x + 1} = (2^{2})^{x + 1} = 2^{2 x + 2}\) et \(\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}\).

L’équation devient \(2^{2 x + 2} = 2^{1/3}\). Comme \(2^{x}\) est strictement croissante, \(2^{u} = 2^{v} \Longleftrightarrow u = v\) : \(2 x + 2 = \frac{1}{3} \Longleftrightarrow 2 x = -\frac{5}{3} \Longleftrightarrow x = -\frac{5}{6}\).

\(S = \{-\frac{5}{6}\}\).

J’ai écrit \(4 = 2^{2}\) et \(\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}\).

J’ai appliqué \((a^{m})^{p} = a^{m p}\) : \(2^{2 x + 2}\).

J’ai cité la stricte monotonie pour égaler les exposants.

J’ai trouvé \(x = -\frac{5}{6}\).

Le point \((2 ; 7{,}39)\) est sur le graphique de \(e^{x}\). Quel point est sur le graphique de \(\ln x\) ?

\((7{,}39 ; 2)\)

Oui : \(\ln\) est la réciproque de \(e^{x}\), on échange les coordonnées (symétrie par rapport à la droite \(y = x\)).

\((2 ; -7{,}39)\)

C’est le symétrique par rapport à l’axe \(x\). La réciproque échange \(x\) et \(y\).

\((-2 ; 7{,}39)\)

C’est le symétrique par rapport à l’axe \(y\) (graphique de \(e^{-x}\)). La réciproque échange \(x\) et \(y\).

\((2 ; 1 / 7{,}39)\)

\(\ln\) n’est pas l’inverse \(1 / e^{x}\) : elle « défait » \(e^{x}\), donc échange les rôles de \(x\) et \(y\).

Que vaut \(e^{\ln 5}\) ?

\(5\)

Oui : \(e^{\ln x} = x\) pour \(x > 0\) (propriété 2.1) : \(\ln\) et \(e^{x}\) se défont l’une l’autre.

\(\ln 5\)

\(e^{x}\) « défait » \(\ln\) : il ne reste que \(5\).

\(e^{5}\)

Tu as oublié le logarithme dans l’exposant : \(e^{\ln 5} = 5\).

\(1\)

\(e^{\ln 5} = 1\) supposerait \(\ln 5 = 0\) ; or \(\ln 5 \approx 1{,}61\).

Que vaut \(\log_{2} (\frac{1}{8})\) ?

\(-3\)

Oui : \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) ; calculer un logarithme, c’est chercher un exposant (exemple 2.1).

\(3\)

\(2^{3} = 8\), pas \(\frac{1}{8}\) : il faut un exposant négatif.

\(\frac{1}{3}\)

\(2^{1/3} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\), pas \(\frac{1}{8}\).

\(-4\)

Tu as divisé \(8\) par \(2\). On cherche \(y\) tel que \(2^{y} = \frac{1}{8}\) : \(y = -3\).

Pour quels réels \(x\) le nombre \(\log(x)\) existe-t-il ?

Pour \(x > 0\).

Oui : \(\log(x) = y \Longleftrightarrow 10^{y} = x\), et \(10^{y}\) est toujours strictement positif (définition 2.1).

Pour tout réel \(x\).

C’est le domaine de \(10^{x}\). Pour \(\log\), il faudrait \(10^{y} = -1\) pour \(x = -1\) : impossible.

Pour \(x \geq 0\).

\(\log(0)\) n’existe pas : aucun exposant \(y\) ne donne \(10^{y} = 0\).

Pour \(x > 1\).

\(\log(0{,}1) = -1\) existe : entre \(0\) et \(1\), le logarithme est négatif, mais il existe.

Pour toute base \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), que vaut \(\log_{a} (1)\) ?

\(0\)

Oui : \(a^{0} = 1\), donc \(\log_{a} (1) = 0\) (propriété 2.2). Toutes les courbes de logarithme passent par \((1, 0)\).

\(1\)

C’est \(\log_{a} (a)\) qui vaut \(1\). Pour \(\log_{a} (1)\), on cherche l’exposant qui donne \(1\) : \(0\).

\(a\)

On cherche un exposant : \(a^{?} = 1\). La réponse est \(0\).

Cela dépend de \(a\).

\(a^{0} = 1\) quelle que soit la base : \(\log_{a} (1) = 0\) pour toute base.

À la calculatrice, \(\log_{3} (20)\) vaut environ :

\(2{,}727\)

Oui : \(\log_{3} (20) = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2{,}996}{1{,}099}\) (changement de base). Vérification : \(3^{2{,}727} \approx 20\).

\(0{,}367\)

Tu as calculé \(\frac{\ln 3}{\ln 20}\) : le quotient est inversé.

\(1{,}301\)

Tu as calculé \(\log 20\), le logarithme en base \(10\). Pour la base \(3\), il faut encore diviser : \(\frac{\log 20}{\log 3}\) ou \(\frac{\ln 20}{\ln 3}\).

\(6{,}667\)

Tu as divisé \(20\) par \(3\). Un logarithme est un exposant : \(3^{?} = 20\).

La courbe d’un logarithme \(\log_{a}\) passe par le point \((4, 1)\). Que vaut la base \(a\) ?

\(4\)

Oui : \(\log_{a} (a) = 1\), donc le point d’ordonnée \(1\) a pour abscisse la base.

\(\frac{1}{4}\)

\(\log_{1/4} (4) = -1\), pas \(1\). Le point \((a, 1)\) donne directement la base.

\(e\)

C’est la courbe de \(\ln\) qui passe par \((e, 1)\). Ici \(\log_{a} (4) = 1 \Longleftrightarrow a^{1} = 4\).

On ne peut pas le savoir sans le point \((1, 0)\).

Toutes les courbes passent par \((1, 0)\) : ce point ne distingue pas les bases. C’est le point d’ordonnée \(1\) qui donne la base.

La fonction \(f(x) = \log_{0{,}5} (x)\) est :

strictement décroissante sur \(\mathbb{R}^{> 0}\).

Oui : la base \(0{,}5\) est comprise entre \(0\) et \(1\). Voir les caractéristiques de \(\log_{a}\) ; c’est aussi la symétrique de \(\log_{2}\) par rapport à l’axe \(x\) (propriété 2.4).

strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{> 0}\).

C’est le cas si la base est supérieure à \(1\). Ici \(0{,}5 < 1\).

strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Le domaine d’un logarithme est \(\mathbb{R}^{> 0}\), pas \(\mathbb{R}\).

négative pour tout \(x\).

\(\log_{0{,}5} (0{,}25) = 2 > 0\) : elle est positive entre \(0\) et \(1\), négative au-delà de \(1\).

Le graphique de \(g(x) = \ln(x - 2)\) s’obtient à partir de celui de \(\ln x\) par :

une translation de \(2\) unités vers la droite ; son asymptote verticale est \(x = 2\).

Oui : on remplace \(x\) par \(x - 2\). Le point \((1, 0)\) arrive en \((3, 0)\).

une translation de \(2\) unités vers le bas.

La translation vers le bas serait \(\ln(x) - 2\) : on retirerait \(2\) au résultat, pas à \(x\).

une translation de \(2\) unités vers la gauche.

Remplacer \(x\) par \(x - 2\) déplace vers la droite : \(g(3) = \ln 1 = 0\).

une translation de \(2\) unités vers la droite ; son asymptote verticale reste \(x = 0\).

L’asymptote se déplace avec la courbe : \(x - 2 > 0\) exige \(x > 2\), l’asymptote est \(x = 2\).

À partir du graphique de \(f(x) = \log_{3} (x)\), quelle transformation donne celui de \(g(x) = \log_{1/3} (x)\) ? Et celui de \(h(x) = 3^{x}\) ?

\(\log_{1/3} (x) = - \log_{3} (x)\) : le graphique de \(g\) est le symétrique de celui de \(f\) par rapport à l’axe \(x\).

\(3^{x}\) est la réciproque de \(\log_{3}\) : le graphique de \(h\) est le symétrique de celui de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\).

J’ai répondu « symétrie d’axe \(x\) » pour \(g\).

J’ai répondu « symétrie d’axe \(y = x\) » (réciproque) pour \(h\).

Pour \(x, y > 0\), laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

\(\log(x y) = \log x + \log y\)

Oui : le logarithme transforme un produit en somme (propriété 2.5).

\(\log(x + y) = \log x + \log y\)

Faux : avec \(x = y = 10\), \(\log 20 \approx 1{,}30\) mais \(\log 10 + \log 10 = 2\). Il n’y a pas de règle pour le logarithme d’une somme.

\(\log(x y) = \log x \cdot \log y\)

Faux : avec \(x = y = 10\), \(\log 100 = 2\) mais \(1 \cdot 1 = 1\). Le produit devient une somme.

\(\log(x^{2}) = (\log x)^{2}\)

Faux : avec \(x = 10\), \(\log 100 = 2\) mais \((\log 10)^{2} = 1\). L’exposant passe devant : \(\log(x^{2}) = 2 \log x\).

Démontre que, pour \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y > 0\) : \(\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)\).

Posons \(u = \log_{a} (\frac{x}{y})\) et \(v = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)\).

Par réciprocité, \(a^{u} = \frac{x}{y}\). Par les règles des exposants et la réciprocité, \(a^{v} = \frac{a^{\log_{a} (x)}}{a^{\log_{a} (y)}} = \frac{x}{y}\).

Donc \(a^{u} = a^{v}\). Comme \(a^{x}\) est strictement monotone, \(u = v\) : \(\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)\).

J’ai calculé \(a\) exposant chaque membre.

J’ai utilisé \(a^{m - p} = \frac{a^{m}}{a^{p}}\) et \(a^{\log_{a} (x)} = x\).

J’ai conclu par la stricte monotonie (injectivité) de \(a^{x}\).

Laquelle de ces écritures est égale à \(\log_{5} (7)\) ?

\(\frac{\ln 7}{\ln 5}\)

Oui : changement de base, \(\log_{a} (x) = \frac{\ln x}{\ln a}\) (propriété 2.8).

\(\frac{\ln 5}{\ln 7}\)

Le quotient est inversé : c’est \(\log_{7} (5)\).

\(\ln(\frac{7}{5})\)

\(\ln(7/5) = \ln 7 - \ln 5\) : une différence, pas un quotient de logarithmes.

\(\frac{\ln 7}{5}\)

On divise par \(\ln 5\), pas par \(5\) : \(\log_{5} (7) = \frac{\ln 7}{\ln 5}\).

Développe \(\ln(\frac{a^{3} b}{c})\) (\(a, b, c > 0\)).

\(3 \ln a + \ln b - \ln c\)

Oui : quotient, puis produit, puis puissance (exemple 2.4).

\(3 \ln a \cdot \ln b - \ln c\)

Le produit \(a^{3} b\) devient une somme : \(\ln a^{3} + \ln b\).

\(\ln 3 a + \ln b - \ln c\)

L’exposant \(3\) passe devant le logarithme : \(\ln(a^{3}) = 3 \ln a\), pas \(\ln(3 a)\).

\(\frac{3 \ln a + \ln b}{\ln c}\)

Un quotient devient une différence, pas un quotient de logarithmes.

Écris \(2 \log x - \log y + \log 3\) sous la forme d’un seul logarithme.

\(\log(\frac{3 x^{2}}{y})\)

Oui : \(2 \log x = \log x^{2}\), puis la somme donne un produit et la différence un quotient (exemple 2.5).

\(\log(\frac{6 x}{y})\)

Le \(2\) devient un exposant de \(x\), pas un facteur : \(2 \log x = \log(x^{2})\).

\(\log(2 x - y + 3)\)

Les sommes de logarithmes deviennent des produits, pas des sommes.

\(\log(\frac{x^{2}}{3 y})\)

\(+ \log 3\) met \(3\) au numérateur.

Que vaut \(\log(1000) - \ln(e^{2})\) ?

\(1\)

Oui : \(\log(10^{3}) = 3\) et \(\ln(e^{2}) = 2\) (réciprocité).

\(998\)

On ne soustrait pas les nombres à l’intérieur : on calcule chaque logarithme (\(3\) et \(2\)).

\(5\)

Tu as additionné \(3 + 2\) : c’est une différence.

\(2{,}307\)

Tu as calculé \(3 - \ln 2\). Or \(\ln(e^{2}) = 2\) : c’est l’exposant de \(e\).

Résous \(\log(x + 1) = 2\).

\(S = \{99\}\)

Oui : CE \(x > -1\) ; \(\log(x + 1) = 2 \Longleftrightarrow x + 1 = 10^{2} = 100 \Longleftrightarrow x = 99\), qui respecte la CE.

\(S = \{1\}\)

Tu as écrit \(x + 1 = 2\) : on « enlève » le logarithme en appliquant \(10^{x}\), donc \(x + 1 = 10^{2}\).

\(S = \{e^{2} - 1\}\)

\(\log\) est le logarithme de base \(10\) : on applique \(10^{x}\), pas \(e^{x}\).

\(S = \{101\}\)

\(x + 1 = 100\) donne \(x = 99\).

En résolvant \(\ln x + \ln(x - 3) = \ln 4\), on obtient \(x^{2} - 3 x - 4 = 0\), donc \(x = 4\) ou \(x = -1\). Quel est l’ensemble des solutions ?

\(S = \{4\}\)

Oui : les conditions d’existence imposent \(x > 0\) et \(x > 3\), donc \(x > 3\) : \(-1\) est rejeté (exemple 2.6).

\(S = \{4 ; -1\}\)

\(\ln(-1)\) n’existe pas : il faut confronter les valeurs aux conditions d’existence.

\(S = \{-1\}\)

C’est \(-1\) qu’il faut rejeter : \(\ln(-1)\) et \(\ln(-4)\) n’existent pas.

\(S = \emptyset\)

\(x = 4\) respecte \(x > 3\) : \(\ln 4 + \ln 1 = \ln 4\). C’est une solution.

Résous \(\log(2 x) - \log(x - 1) = \log 3\) en justifiant chaque étape.

Conditions d’existence : \(2 x > 0\) et \(x - 1 > 0\), donc \(x > 1\).

Pour \(x > 1\) : \(\log(2 x) - \log(x - 1) = \log(\frac{2 x}{x - 1})\) (logarithme d’un quotient).

\(\log(\frac{2 x}{x - 1}) = \log 3 \Longleftrightarrow \frac{2 x}{x - 1} = 3\) (\(\log\) est injectif) \(\Longleftrightarrow 2 x = 3 x - 3 \Longleftrightarrow x = 3\).

\(3 > 1\) : la valeur respecte les conditions. \(S = \{3\}\).

J’ai écrit les conditions d’existence : \(x > 1\).

J’ai regroupé en un seul logarithme par la propriété du quotient.

J’ai égalé les arguments en justifiant (injectivité de \(\log\)).

J’ai trouvé \(x = 3\) et vérifié qu’il respecte les conditions.

Résous \(e^{x} = 5\).

\(x = \ln 5 \approx 1{,}609\)

Oui : \(\ln\) défait \(e^{x}\) (exemple 2.8).

\(x = 5 / e \approx 1{,}839\)

\(e^{x}\) n’est pas \(e \cdot x\) : on ne divise pas par \(e\), on applique \(\ln\).

\(x = e^{5}\)

\(e^{e^{5}}\) est énorme. On cherche l’exposant qui donne \(5\) : \(\ln 5\).

\(x = \log 5 \approx 0{,}699\)

La base est \(e\) : on applique \(\ln\), pas le logarithme de base \(10\).

Résous \(3 \cdot 2^{x} = 24\).

\(x = 3\)

Oui : on isole \(2^{x} = 8 = 2^{3}\), donc \(x = 3\).

\(x = \log_{6} (24)\)

\(3 \cdot 2^{x}\) n’est pas \(6^{x}\) : la puissance porte seulement sur \(2\). On isole d’abord \(2^{x}\).

\(x = \log_{2} (21)\)

Tu as soustrait \(3\). Il faut diviser par \(3\) : \(2^{x} = 8\).

\(x = 8\)

\(2^{x} = 8\) donne \(x = 3\), car \(2^{3} = 8\).

Résous \(5^{x + 1} = -25\).

\(S = \emptyset\)

Oui : \(5^{x + 1} > 0\) pour tout \(x\), il ne peut pas valoir \(-25\) (exemple 2.9 d).

\(S = \{1\}\)

\(5^{2} = 25\), pas \(-25\). Une puissance de base positive est toujours positive.

\(S = \{-3\}\)

\(5^{-2} = 1/25\), qui est positif. Aucun exposant ne donne un résultat négatif.

\(S = \{\log_{5} (-25) - 1\}\)

\(\log_{5} (-25)\) n’existe pas : le domaine d’un logarithme est \(\mathbb{R}^{> 0}\).

Un capital est placé à \(2 \%\) par an (intérêts composés). Au bout de combien d’années aura-t-il doublé ?

Après \(t\) années, le capital vaut \(C(t) = C_{0} \cdot 1{,}02^{t}\).

Il a doublé quand \(C_{0} \cdot 1{,}02^{t} = 2 C_{0} \Longleftrightarrow 1{,}02^{t} = 2 \Longleftrightarrow t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}02} \approx 35{,}0\).

Il faut environ \(35\) ans (\(1{,}02^{35} \approx 1{,}9999\) : le capital a presque exactement doublé).

J’ai écrit l’équation \(1{,}02^{t} = 2\) (le capital initial se simplifie).

J’ai résolu avec un logarithme : \(t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}02}\).

J’ai répondu environ \(35\) ans.

Une population suit \(P(t) = 2000 \cdot 1{,}05^{t}\). Pour quelle question faut-il un logarithme ?

Au bout de combien d’années la population atteindra-t-elle \(5000\) ?

Oui : on cherche \(t\), qui est dans l’exposant.

Quelle sera la population après \(10\) ans ?

Il suffit de calculer \(P(10)\) : on remplace \(t\), sans logarithme.

Quelle est la population initiale ?

\(P(0) = 2000\) se lit directement.

De combien de pourcents augmente-t-elle chaque année ?

Le facteur \(1{,}05\) se lit dans l’expression : \(+5 \%\) par an.

La dérivée de \(f(x) = e^{3 x}\) est :

\(f'(x) = 3 e^{3 x}\)

Oui : on dérive l’exposant (\(u' = 3\)) et on recopie l’exponentielle (propriété 3.2).

\(f'(x) = e^{3 x}\)

Tu as oublié de multiplier par la dérivée de l’exposant : \((e^{u})' = u' \cdot e^{u}\), avec \(u' = 3\).

\(f'(x) = 3 x \cdot e^{3 x - 1}\)

C’est la règle des puissances \((x^{n})' = n x^{n - 1}\), qui ne s’applique pas : ici la variable est dans l’exposant.

\(f'(x) = 3 e^{x}\)

L’exposant \(3 x\) doit être recopié tel quel : \((e^{3 x})' = 3 e^{3 x}\).

La dérivée de \(f(x) = 2^{x}\) est :

\(f'(x) = 2^{x} \ln 2\)

Oui : \((a^{x})' = a^{x} \ln a\) (propriété 3.3).

\(f'(x) = x \cdot 2^{x - 1}\)

C’est la règle des puissances \((x^{n})' = n x^{n - 1}\) : elle vaut quand l’exposant est constant, pas quand la variable est dans l’exposant.

\(f'(x) = 2^{x}\)

Seule la base \(e\) est sa propre dérivée. Pour la base \(2\), il reste le facteur \(\ln 2\).

\(f'(x) = \frac{2^{x}}{\ln 2}\)

On multiplie par \(\ln a\), on ne divise pas. La division par \(\ln a\) apparaît dans la dérivée de \(\log_{a}\).

Quelle est la pente de la tangente à la courbe de \(f(x) = 3^{x}\) au point \((0, 1)\) ?

\(\ln 3 \approx 1{,}10\)

Oui : \(f'(x) = 3^{x} \ln 3\), donc \(f'(0) = 3^{0} \ln 3 = \ln 3\) (activité 3.2).

\(1\)

La pente vaut \(1\) seulement pour la base \(e\) : c’est ce qui caractérise \(e\). Pour la base \(3\), elle vaut \(\ln 3\).

\(3\)

\(3\) est la base, pas la pente. Calcule \(f'(0) = 3^{0} \ln 3\).

\(0\)

Tu as dérivé \(f(0) = 1\), une constante. On dérive d’abord, puis on remplace \(x\) par \(0\).

Dérive \(f(x) = x^{2} e^{-x}\) et écris le résultat sous forme factorisée.

Règle du produit, avec \((x^{2})' = 2 x\) et \((e^{-x})' = -e^{-x}\) :

\[ f'(x) = 2 x \cdot e^{-x} + x^{2} \cdot (-e^{-x}) = (2 x - x^{2}) e^{-x} = x (2 - x) e^{-x}. \]

J’ai appliqué la règle du produit \((u v)' = u' v + u v'\).

J’ai dérivé \(e^{-x}\) en \(-e^{-x}\) (dérivée de l’exposant : \(-1\)).

J’ai mis \(e^{-x}\) en évidence : \(f'(x) = x (2 - x) e^{-x}\).

Une culture compte \(N(t) = 200 e^{0{,}1 t}\) bactéries (\(t\) en heures). À quelle vitesse la population croît-elle à \(t = 5\) h ?

La vitesse de croissance est la dérivée : \(N'(t) = 200 \cdot 0{,}1 \cdot e^{0{,}1 t} = 20 e^{0{,}1 t}\).

\(N'(5) = 20 e^{0{,}5} \approx 33\) : la population croît d’environ \(33\) bactéries par heure à \(t = 5\) h.

J’ai reconnu que la vitesse est la dérivée \(N'(t)\).

J’ai trouvé \(N'(t) = 20 e^{0{,}1 t}\).

J’ai répondu environ \(33\) bactéries par heure, avec l’unité.

La dérivée de \(f(x) = \ln(x^{2} + 1)\) est :

\(f'(x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}\)

Oui : \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\), avec \(u = x^{2} + 1\) et \(u' = 2 x\) (propriété 3.5).

\(f'(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}\)

Tu as oublié la dérivée de l’argument : \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\), pas \(\frac{1}{u}\).

\(f'(x) = \frac{1}{2 x}\)

C’est \(\frac{1}{u'}\). La bonne formule est \(\frac{u'}{u}\) : la dérivée de l’argument divisée par l’argument.

\(f'(x) = 2 x \cdot \ln(x^{2} + 1)\)

Le logarithme ne se « recopie » pas comme l’exponentielle : \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\).

La dérivée de \(f(x) = \ln(3 x)\) est :

\(f'(x) = \frac{1}{x}\)

Oui : \((\ln(3 x))' = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}\). Autre voie : \(\ln(3 x) = \ln 3 + \ln x\), et \(\ln 3\) est une constante (exemple 3.3).

\(f'(x) = \frac{1}{3 x}\)

Tu as oublié la dérivée de l’argument : \((\ln u)' = \frac{u'}{u} = \frac{3}{3 x}\).

\(f'(x) = \frac{3}{x}\)

\(\frac{u'}{u} = \frac{3}{3 x}\) : le \(3\) du numérateur se simplifie avec celui du dénominateur.

\(f'(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{x}\)

\(\ln(3 x) = \ln 3 + \ln x\), et \(\ln 3\) est une constante : sa dérivée est \(0\), pas \(\frac{1}{3}\).

La dérivée de \(f(x) = \log_{2} (x)\) est :

\(f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}\)

Oui : \(\log_{2} (x) = \frac{\ln x}{\ln 2}\), et \(\ln 2\) est une constante (propriété 3.5).

\(f'(x) = \frac{1}{x}\)

\(\frac{1}{x}\) est la dérivée de \(\ln x\) seulement. Pour la base \(2\), on divise encore par \(\ln 2\).

\(f'(x) = \frac{\ln 2}{x}\)

On divise par \(\ln 2\), on ne multiplie pas : \(\log_{2} (x) = \frac{\ln x}{\ln 2}\). La multiplication par \(\ln a\) apparaît dans la dérivée de \(a^{x}\).

\(f'(x) = \frac{1}{2 x}\)

Le changement de base fait apparaître \(\ln 2\), pas \(2\) : \(\log_{2} (x) = \frac{\ln x}{\ln 2}\).

La dérivée de \(f(x) = x \ln x\) est :

\(f'(x) = \ln x + 1\)

Oui : \((u v)' = u' v + u v' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}\) (exemple 3.3).

\(f'(x) = \frac{1}{x}\)

Tu as multiplié les dérivées : \((u v)' \neq u' \cdot v'\). Utilise \(u' v + u v'\).

\(f'(x) = \ln x\)

Il manque le terme \(u v' = x \cdot \frac{1}{x} = 1\).

\(f'(x) = 1\)

Il manque le terme \(u' v = 1 \cdot \ln x\).

Soit \(g(x) = \ln(4 - x^{2})\). Détermine le domaine de \(g\), puis sa dérivée.

Domaine : il faut \(4 - x^{2} > 0 \Longleftrightarrow x^{2} < 4 \Longleftrightarrow -2 < x < 2\). Donc \(\operatorname{dom} g = ] -2, 2 [\).

Sur ce domaine, avec \(u = 4 - x^{2}\) et \(u' = -2 x\) :

\[ g'(x) = \frac{-2 x}{4 - x^{2}}. \]

J’ai imposé que l’argument soit strictement positif : \(4 - x^{2} > 0\).

J’ai trouvé \(\operatorname{dom} g = ] -2, 2 [\).

J’ai trouvé \(g'(x) = \frac{-2 x}{4 - x^{2}}\) (avec le signe \(-\)).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to -\infty} 0{,}5^{x}\) ?

\(+\infty\)

Oui : la base est entre \(0\) et \(1\), la courbe descend de gauche à droite ; vers la gauche, elle monte sans limite (propriété 3.6).

\(0\)

C’est la limite en \(-\infty\) d’une base plus grande que \(1\), comme \(2^{x}\). Esquisse \(0{,}5^{x}\) : elle est décroissante.

\(-\infty\)

Une exponentielle est toujours strictement positive : elle ne peut pas tendre vers \(-\infty\).

\(1\)

\(1\) est la valeur en \(x = 0\). Quand \(x \to -\infty\), par exemple \(0{,}5^{-10} = 2^{10} = 1024\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln x\) ?

\(-\infty\)

Oui : l’axe \(y\) est asymptote verticale de la courbe de \(\ln\), qui plonge vers le bas près de \(0\) (propriété 3.6).

\(0\)

\(\ln 1 = 0\) : c’est la valeur en \(x = 1\), pas près de \(0\).

\(1\)

Tu confonds avec \(e^{0} = 1\). Pour \(x\) proche de \(0\), \(\ln x\) est très négatif : \(\ln(0{,}001) \approx -6{,}9\).

\(+\infty\)

\(\ln\) est croissante et \(\ln 1 = 0\) : pour \(0 < x < 1\), \(\ln x < 0\). La courbe descend près de \(0\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} (5 - 2 e^{-x})\) ?

\(5\)

Oui : \(e^{-x} = (\frac{1}{e})^{x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\), donc \(5 - 2 \cdot 0 = 5\) (exemple 3.5).

\(3\)

Tu as pris \(e^{-x} \to 1\). Or \(e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}\) tend vers \(0\) quand \(x \to +\infty\).

\(-\infty\)

\(e^{-x}\) ne tend pas vers \(+\infty\) : c’est \(\frac{1}{e^{x}}\), qui tend vers \(0\).

\(+\infty\)

Aucun terme ne devient infini : \(5\) est constant et \(2 e^{-x} \to 0\).

Pour laquelle de ces limites le théorème de l’Hospital est-il utile ?

\(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}}\)

Oui : le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\), on ne peut pas conclure directement (propriété 3.7).

\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x + 1}\)

Le dénominateur tend vers \(1\) : on remplace directement, la limite vaut \(\frac{1}{1} = 1\).

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x}{3^{x}}\)

On remplace directement : \(\frac{2}{9}\). L’Hospital ne sert que si numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(0\), ou tous deux vers l’infini.

\(\lim\limits_{x \to +\infty} x \cdot e^{x}\)

Les deux facteurs tendent vers \(+\infty\) : le produit tend vers \(+\infty\), par les règles de calcul.

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{x + 1}\) ?

\(2\)

Oui : on remplace directement, \(\frac{e^{0} + 1}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2\).

\(1\)

Tu as appliqué l’Hospital (\(\frac{e^{x}}{1}\)) alors que le numérateur tend vers \(2\) et le dénominateur vers \(1\) : le théorème ne s’applique pas ici (remarque).

On ne peut pas conclure.

Le dénominateur tend vers \(1\), pas vers \(0\) : on remplace directement.

\(+\infty\)

Aucun terme ne devient infini : le numérateur tend vers \(2\) et le dénominateur vers \(1\).

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}\).

\(\ln x \to +\infty\) et \(x \to +\infty\) : on ne peut pas conclure directement. Par l’Hospital :

\[ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1 / x}{1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0. \]

J’ai justifié l’usage de l’Hospital : numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\).

J’ai dérivé séparément le numérateur et le dénominateur : \(\frac{1 / x}{1}\).

J’ai conclu que la limite vaut \(0\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}\) ?

\(0\)

Oui : l’Hospital deux fois, \(\lim\limits \frac{x^{2}}{e^{x}} = \lim\limits \frac{2 x}{e^{x}} = \lim\limits \frac{2}{e^{x}} = 0\). L’exponentielle l’emporte sur toute puissance de \(x\).

\(+\infty\)

\(x^{2}\) grandit, mais \(e^{x}\) grandit beaucoup plus vite (croissance comparée) : le quotient tend vers \(0\).

\(1\)

« \(\frac{\infty}{\infty} = 1\) » est faux : quand les deux tendent vers l’infini, on ne peut pas conclure sans calcul.

\(2\)

Après deux applications, il reste \(\frac{2}{e^{x}}\) : le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc le quotient tend vers \(0\).

Sur un axe logarithmique, la distance entre \(1\) et \(10\) vaut \(2\) cm. Quelle est la distance entre \(10\) et \(1000\) ?

\(4\) cm

Oui : de \(10\) à \(1000\), on multiplie par \(100 = 10^{2}\), soit deux décades de \(2\) cm (activité 4.1).

\(2\) cm

Une décade correspond à une multiplication par \(10\). De \(10\) à \(1000\), il y en a deux : \(10 \to 100 \to 1000\).

\(6\) cm

\(6\) cm est la position de \(1000\) comptée depuis \(1\) (trois décades). La question part de \(10\).

\(220\) cm

Tu as raisonné comme sur un axe linéaire (\(990\) unités au lieu de \(9\)). Sur un axe logarithmique, des distances égales correspondent à des multiplications égales.

Pourquoi ne peut-on pas placer la valeur \(0\) sur un axe logarithmique ?

Parce que \(\log 0\) n’existe pas.

Oui : la position d’un nombre \(v\) est \(\log v\), défini seulement pour \(v > 0\) (activité 4.1 b).

On peut : \(0\) est à l’origine de l’axe.

Sur un axe logarithmique, l’origine (position \(0\)) porte la valeur \(1\), car \(\log 1 = 0\).

On peut : \(0\) est à la position \(-1\).

La position \(-1\) porte la valeur \(10^{-1} = 0{,}1\). Aucune position ne porte \(0\).

Parce que \(0\) est trop petit pour être lu.

Ce n’est pas une question de lisibilité : \(0\) n’a aucune position, puisque \(\log 0\) n’existe pas.

Sur un axe logarithmique, quel nombre est placé exactement au milieu entre \(10\) et \(100\) ?

\(10^{1{,}5} \approx 31{,}6\)

Oui : les positions sont \(\log 10 = 1\) et \(\log 100 = 2\) ; le milieu est la position \(1{,}5\), qui porte la valeur \(10^{1{,}5}\).

\(55\)

\(55\) est le milieu sur un axe linéaire. Sur un axe logarithmique, on prend le milieu des positions \(\log v\).

\(50\)

\(\log 50 \approx 1{,}70\) : \(50\) est placé vers \(70 \%\) de la décade, pas au milieu.

\(1{,}5\)

\(1{,}5\) est la position du milieu, pas la valeur qui y est placée : cette valeur est \(10^{1{,}5}\).

Des mesures forment une droite dans un repère semi-logarithmique (\(x\) linéaire, \(y\) logarithmique). Quel est le modèle ?

exponentiel : \(y = C \cdot a^{x}\)

Oui : \(\log y = \log C + x \log a\) est affine en \(x\) (propriété 4.1).

affine : \(y = m x + p\)

Une fonction affine forme une droite dans un repère linéaire. En semi-log, c’est \(\log y\) qui est affine en \(x\).

puissance : \(y = C \cdot x^{p}\)

Une puissance forme une droite dans un repère log-log, où les deux axes sont logarithmiques.

logarithmique : \(y = \log x\)

\(y = \log x\) forme une droite si l’axe horizontal est logarithmique et l’axe vertical linéaire : c’est l’inverse.

Dans un repère semi-logarithmique, la droite représentant \(y = C \cdot a^{x}\) monte de \(0{,}3\) décade quand \(x\) augmente de \(1\) (pente \(0{,}3\)). Que vaut \(a\) ?

\(a = 10^{0{,}3} \approx 2\)

Oui : la pente vaut \(\log a\), donc \(a = 10^{\text{pente}}\) (propriété 4.1).

\(a = 0{,}3\)

La pente n’est pas la base : elle vaut \(\log a\). On retrouve \(a = 10^{0{,}3}\).

\(a = 1{,}3\)

La pente n’est pas un taux de croissance à ajouter à \(1\) : elle vaut \(\log a\), donc \(a = 10^{0{,}3}\).

\(a = 3\)

Tu as multiplié la pente par \(10\). Il faut prendre \(10\) exposant la pente : \(a = 10^{0{,}3}\).

Des mesures s’alignent dans le repère semi-logarithmique ci-dessous. On y lit deux points sûrs : \((0, 1000)\) et \((3, 1)\). Détermine le modèle \(y = C \cdot a^{x}\).

En \(x = 0\) : \(y = C \cdot a^{0} = C\), donc \(C = 1000\).

De \(x = 0\) à \(x = 3\), \(y\) est divisé par \(1000\) : \(1000 \cdot a^{3} = 1 \Longleftrightarrow a^{3} = \frac{1}{1000} = 10^{-3} \Longleftrightarrow a = 10^{-1} = 0{,}1\).

Modèle : \(y = 1000 \cdot 0{,}1^{x}\).

J’ai lu \(C = 1000\) en \(x = 0\).

J’ai écrit \(a^{3} = \frac{1}{1000}\) (trois pas, trois décades perdues).

J’ai trouvé \(a = 0{,}1\) et écrit \(y = 1000 \cdot 0{,}1^{x}\).

Des données s’alignent dans un repère log-log. Quand \(x\) est multiplié par \(10\), \(y\) est multiplié par \(1000\). Quel est le modèle ?

\(y = C \cdot x^{3}\)

Oui : \(y\) gagne trois décades pour une décade de \(x\) ; la pente, donc l’exposant, vaut \(3\) (exemple 4.2).

\(y = C \cdot x^{1000}\)

L’exposant est le nombre de décades gagnées par \(y\) (\(1000 = 10^{3}\) : trois décades), pas le facteur \(1000\).

\(y = C \cdot 1000^{x}\)

Un alignement en log-log révèle une puissance de \(x\), pas une exponentielle (propriété 4.2).

\(y = C \cdot x^{1/3}\)

Tu as inversé le rapport : c’est \(y\) qui gagne trois décades quand \(x\) en gagne une, donc \(p = \frac{3}{1}\).

Des données s’alignent dans le repère log-log ci-dessous. On y lit deux points sûrs : \((1, 2)\) et \((100, 20)\). Détermine le modèle \(y = C \cdot x^{p}\).

En \(x = 1\) : \(y = C \cdot 1^{p} = C\), donc \(C = 2\).

De \(x = 1\) à \(x = 100\) (\(2\) décades), \(y\) passe de \(2\) à \(20\) (\(1\) décade) : la pente vaut \(p = \frac{1}{2}\). Vérification : \(2 \cdot 100^{1/2} = 2 \cdot 10 = 20\).

Modèle : \(y = 2 x^{1/2} = 2 \sqrt{x}\).

J’ai lu \(C = 2\) en \(x = 1\).

J’ai calculé la pente en décades : \(1\) décade de \(y\) pour \(2\) décades de \(x\), donc \(p = \frac{1}{2}\).

J’ai écrit \(y = 2 x^{1/2}\) (ou \(2 \sqrt{x}\)).

Le nombre de bactéries d’une culture double toutes les \(20\) minutes. Dans quel repère les mesures forment-elles une droite ?

un repère semi-logarithmique

Oui : doubler à intervalles réguliers, c’est une croissance exponentielle, qui devient une droite en semi-log (propriété 4.1).

un repère linéaire

Dans un repère linéaire, une croissance exponentielle est une courbe qui s’envole.

un repère log-log

Le log-log redresse les puissances \(C \cdot x^{p}\). Ici, le temps est dans l’exposant : c’est une exponentielle.

dans aucun repère

Une exponentielle forme une droite dans un repère semi-logarithmique (temps linéaire, effectif logarithmique).

On mesure l’aire \(A\) de carrés en fonction de leur côté \(c\). Dans quel repère les points forment-ils une droite, et de quelle pente ?

log-log, pente \(2\)

Oui : \(A = c^{2}\) est une puissance d’exposant \(2\) (propriété 4.2).

semi-log, pente \(2\)

Le semi-log redresse les exponentielles. \(c^{2}\) est une puissance : la variable n’est pas dans l’exposant.

linéaire, pente \(2\)

\(A = c^{2}\) n’est pas affine : dans un repère linéaire, c’est une parabole.

log-log, pente \(1\)

En log-log, la pente est l’exposant : quand \(c\) est multiplié par \(10\), \(A\) est multipliée par \(100\) (deux décades).

Le niveau sonore passe de \(60\) dB à \(90\) dB. Par combien l’intensité sonore est-elle multipliée ?

par \(1000\)

Oui : chaque tranche de \(10\) dB multiplie l’intensité par \(10\) ; trois tranches : \(10^{3} = 1000\).

par \(30\)

Sur une échelle logarithmique, une différence correspond à un rapport : \(+30\) dB, c’est trois fois \(\times 10\).

par \(3\)

\(+30\) dB, ce sont trois multiplications par \(10\), pas une multiplication par \(3\).

par \(1{,}5\)

\(\frac{90}{60} = 1{,}5\) compare les niveaux en décibels, pas les intensités. \(+10\) dB multiplie l’intensité par \(10\).

Un vinaigre a un pH de \(3\), une eau gazeuse un pH de \(5\). Que peut-on dire ?

Le vinaigre est \(100\) fois plus acide.

Oui : \(\text{pH} = -\log [H^{+}]\) ; deux unités de pH en moins, c’est une concentration \(10^{2} = 100\) fois plus grande.

Le vinaigre est \(2\) fois plus acide.

La différence de pH (\(2\)) correspond à un rapport de concentrations \(10^{2}\), pas \(2\).

L’eau gazeuse est \(100\) fois plus acide.

À cause du signe \(-\) dans \(\text{pH} = -\log [H^{+}]\), un pH plus petit signifie une solution plus acide.

Le vinaigre est \(1{,}7\) fois plus acide.

\(\frac{5}{3} \approx 1{,}7\) compare les pH, pas les concentrations. On compare par la différence : \(5 - 3 = 2\) unités, soit un facteur \(10^{2}\).