Propriétés algébriques, à découvrir
C’est le cœur du chapitre. Toutes les propriétés algébriques du logarithme se déduisent de celles de l’exponentielle, par la réciprocité. Plutôt que de les présenter toutes faites, on les découvre : traduire, simplifier, conjecturer, vérifier — puis institutionnaliser.
La traduction entre \(\log\) et \(\exp\). Pour établir une propriété sur les logarithmes, on revient à une propriété sur les exponentielles. On utilisera le fait que \(a^{x}\) est strictement monotone (chapitre 1), donc injective : deux antécédents qui ont la même image sont égaux, \(a^{u} = a^{v} \quad \Longleftrightarrow \quad u = v\).
Logarithme d’un produit
Activité 2.6 — à quoi est égal \(\log_{a} (x y)\) ?
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y \in \mathbb{R}^{> 0}\).
(0) Domaine. Pourquoi faut-il \(x > 0\) et \(y > 0\) pour que \(\log_{a} (x y)\), \(\log_{a} (x)\) et \(\log_{a} (y)\) aient tous un sens ?
Un logarithme n’existe que pour un argument \(> 0\) ; il faut donc \(x > 0\), \(y > 0\), et alors \(x y > 0\) automatiquement.
(1) Traduire. Deux candidats sont en concurrence : \(C = \log_{a} (x) + \log_{a} (y)\) et la proposition erronée \(D = \log_{a} (x) \cdot \log_{a} (y)\). Calcule et simplifie chaque exponentielle.
- \(a^{\log_{a} (x y)} = \class{rep}{x y}\) (réciprocité) ;
- \(a^{C} = a^{\log_{a} (x) + \log_{a} (y)} = a^{\log_{a} (x)} \cdot a^{\log_{a} (y)} = \class{rep}{x \cdot y}\) (l’expo transforme une somme en produit) ;
- \(a^{D} = a^{\log_{a} (x) \cdot \log_{a} (y)} = (a^{\log_{a} (x)})^{\log_{a} (y)} = \class{rep}{x^{\log_{a} (y)}}\) — l’expression ne se réduit pas à \(x y\).
(2) Conclure. On observe \(a^{\log_{a} (x y)} = a^{C}\) (les deux valent \(x y\)). Pourquoi peut-on en déduire \(\log_{a} (x y) = C\) ?
Par l’injectivité de \(a^{x}\) : \(a^{u} = a^{v} ⟹ u = v\).
(3) Écarter la proposition erronée. \(a^{D} = x^{\log_{a} (y)}\), qui ne vaut pas \(x y\) en général. Vérifie avec \(a = 2\), \(x = 4\), \(y = 8\) : \(D = \log_{2} (4) \cdot \log_{2} (8) = \class{rep}{2 \cdot 3 = 6}\), alors que \(\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (32) = \class{rep}{5}\). Donc \(D\) est faux.
(4) Vérifier la bonne formule. \(\log_{2} (4 \cdot 8) = \class{rep}{5}\) et \(\log_{2} (4) + \log_{2} (8) = \class{rep}{2 + 3 = 5}\). ✓
Propriété 2.5 — logarithme d’un produit
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y \in \mathbb{R}^{> 0}\). Alors
\[ \log_{a} (x y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y). \]
(Établie à l’activité ci-dessus.) Le logarithme transforme un produit en une somme — exact miroir de l’exponentielle, qui transforme une somme en un produit.
Démonstration 2.1
Notons \(u = \log_{a} (x y)\) et \(v = \log_{a} (x) + \log_{a} (y)\), puis comparons leurs exponentielles de base \(a\) :
\[ a^{u} = a^{\log_{a} (x y)} = x y, \quad a^{v} = a^{\log_{a} (x) + \log_{a} (y)} = a^{\log_{a} (x)} \cdot a^{\log_{a} (y)} = x y. \]
Ainsi \(a^{u} = a^{v}\) ; par injectivité de \(a^{x}\) , \(u = v\).
Logarithme d’un quotient
Activité 2.7 — à quoi est égal \(\log_{a} (x / y)\) ?
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y \in \mathbb{R}^{> 0}\). Déterminons ce que vaut \(\log_{a} (x / y)\).
On a deux candidats : \(C = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)\) et \(D = \log_{a} (x) / \log_{a} (y)\). Traduis et simplifie :
- \(a^{\log_{a} (x / y)} = \class{rep}{\frac{x}{y}}\) ;
- \(a^{C} =\)\(\frac{x}{y}\)
- \(a^{D} =\)\(x^{1 / \log_{a} (y)}\)
Comme \(a^{\log_{a} (x/y)} = a^{C}\), l’injectivité donne \(\log_{a} (x/y) = \class{rep}{\log_{a}(x)-\log_{a} (y))}\).
Vérifie que l’autre candidat n’est pas correct.
Propriété 2.6 — logarithme d’un quotient
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x, y \in \mathbb{R}^{> 0}\). Alors
\[ \log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y). \]
Démonstration 2.2
Avec \(u = \log_{a} (x/y)\) et \(v = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)\) :
\[ a^{u} = a^{\log_{a} (x/y)} = \frac{x}{y}, \quad a^{v} = \frac{a^{\log_{a} (x)}}{a^{\log_{a} (y)}} = \frac{x}{y}. \]
Donc \(a^{u} = a^{v}\), d’où \(u = v\) par injectivité de \(a^{x}\).
Logarithme d’une puissance
Activité 2.8 — à quoi est égal \(\log_{a} (x^{p})\) ?
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), et cette fois précise le domaine : \(x > 0\) et \(p \in \mathbb{R}\) quelconque.
Candidats : \(C = p \cdot \log_{a} (x)\) et \(D_{1} = \log_{a} (x) + p\), \(D_{2} = \log_{a} (x) / p\). Traduis et simplifie :
- \(a^{\log_{a} (x^{p})} =\) \(x^{p}\) ;
- \(a^{C} =\) \(x^{p}\);
- \(a^{D_{1}} =\) \(x \cdot a^{p}\) ;
- \(a^{D_{2}} =\) \(x^{1 / p}\) .
Donc:\(\log_{a}(x^{p})=p \cdot \log_{a}(x)\).
Propriété 2.7 — logarithme d’une puissance
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), \(x \in \mathbb{R}^{> 0}\) et \(p \in \mathbb{R}\). Alors
\[ \log_{a} (x^{p}) = p \cdot \log_{a} (x). \]
Démonstration 2.3
Avec \(u = \log_{a} (x^{p})\) et \(v = p \cdot \log_{a} (x)\) :
\[ a^{u} = a^{\log_{a} (x^{p})} = x^{p}, \quad a^{v} = (a^{\log_{a} (x)})^{p} = x^{p} \]
(car \((a^{m})^{p} = a^{m p}\)). Donc \(a^{u} = a^{v}\), d’où \(u = v\) par injectivité de \(a^{x}\).
Changement de base
Comment calculer \(\log_{a} (x)\) à la calculatrice, qui ne connaît que \(\ln\) et \(\log\) ? On le traduit dans une autre base.
Activité 2.9 — exprimer \(\log_{a} (x)\) dans une base \(b\)
Soit \(a, b \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x \in \mathbb{R}^{> 0}\). Pose \(y = \log_{a} (x)\).
- Traduis en exponentielle de base \(a\) : \(y = \log_{a} (x)\) signifie \(a^{y} = x\).
- Applique \(\log_{b}\) aux deux membres : \(\log_{b} (a^{y}) = \log_{b} (x)\)
- Isole \(y\) : \(y = \class{rep}{\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}\).
Propriété 2.8 — changement de base
Soit \(a, b \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x \in \mathbb{R}^{> 0}\). Alors
\[ \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}. \]
En particulier, avec la calculatrice : \(\log_{a} (x) = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}\).
Démonstration 2.4
Posons \(y = \log_{a} (x)\), c’est-à-dire \(a^{y} = x\). Appliquons \(\log_{b}\) aux deux membres, puis la propriété de la puissance (démontrée ci-dessus) :
\[ \log_{b} (a^{y}) = \log_{b} (x) \quad \Longrightarrow \quad y \cdot \log_{b} (a) = \log_{b} (x). \]
Comme \(a \neq 1\), on a \(\log_{b} (a) \neq 0\) ; on isole donc
\[ y = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}. \]
Exemple 2.3 — à la calculatrice, dans n’importe quelle base
\(\log_{3} (2) = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}631\). \(\log_{2} (125) = \frac{\ln 125}{\ln 2} \approx 6{,}966\).
À retenir. \(\log_{a} (1) = 0\) ; \(\log_{a} (a) = 1\) ; \(\log_{a} (a^{x}) = x\) ; \(a^{\log_{a} (x)} = x\) ; \(\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y\) ; \(\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y\) ; \(\log_{a} (x^{p}) = p \log_{a} x\) ; \(\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}\).