Exercices supplémentaires

Reconnaître et calculer

✎ Exercice S1.1 C2 ★☆☆

Entoure les fonctions exponentielles parmi \(5^{x}\), \((\frac{2}{5})^{x}\), \((-7)^{x}\), \(4{,}1^{x}\), \(x^{5}\), \(0^{x}\). Pour chacune que tu écartes, dis en un mot pourquoi.

\(5^{x}\) : oui (\(a=5\)). \((\frac{2}{5})^{x}\) : oui (\(a=\frac{2}{5}\)). \((-7)^{x}\) : non — base négative. \(4{,}1^{x}\) : oui (\(a=4{,}1\)). \(x^{5}\) : non — c’est la base qui varie (fonction puissance). \(0^{x}\) : non — base nulle, non définie pour \(x \leq 0\).

Pour chaque expression : la variable est-elle dans l’exposant ? La base est-elle strictement positive et différente de \(1\) ?

Essaie de calculer \(0^{-1}\) et \((-7)^{1/2}\).

Une fonction exponentielle s’écrit \(a^{x}\) avec \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\).

  • \(5^{x}\), \((\frac{2}{5})^{x}\) et \(4{,}1^{x}\) sont des fonctions exponentielles (bases \(5\), \(\frac{2}{5}\) et \(4{,}1\)).
  • \((-7)^{x}\) ne convient pas : la base est négative.
  • \(x^{5}\) ne convient pas : c’est la base qui varie (fonction puissance).
  • \(0^{x}\) ne convient pas : la base est nulle (\(0^{x}\) n’est pas défini pour \(x \leq 0\)).
  • Confondre \(x^{5}\) et \(5^{x}\).

✎ Exercice S1.2 C2 ★★☆

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions exponentielles ou des multiples de fonctions exponentielles ? Justifie chaque réponse.

  • \(f(x) = 1^{x}\)
  • \(f(x) = -(\frac{1}{4})^{x}\)
  • \(f(x) = (3^{-1})^{x}\)
  • \(f(x) = 5 x^{7 / 2}\)
  • \(f(x) = -2 (\frac{2}{5})^{x}\)

\(1^{x}\) : non (base \(1\), constante). \(-(\frac{1}{4})^{x}\) : oui, multiple (\(k=-1\), base \(\frac{1}{4}\)). \((3^{-1})^{x} = (\frac{1}{3})^{x}\) : oui, exponentielle de base \(\frac{1}{3}\). \(5x^{7 / 2}\) : non — exposant fixe, base variable (fonction puissance). \(-2(\frac{2}{5})^{x}\) : oui, multiple (\(k=-2\), base \(\frac{2}{5}\)).

Peux-tu écrire chaque expression sous la forme \(k \cdot a^{x}\), avec \(a > 0\) et \(a \neq 1\) ?

\((3^{-1})^{x} = (\frac{1}{3})^{x}\) et \(-(\frac{1}{4})^{x} = (-1) \cdot (\frac{1}{4})^{x}\).

  • \(1^{x}\) : non, base \(1\) (fonction constante).
  • \(-(\frac{1}{4})^{x} = (-1) \cdot (\frac{1}{4})^{x}\) : oui, multiple d’une exponentielle (\(k = -1\), \(a = \frac{1}{4}\)).
  • \((3^{-1})^{x} = (\frac{1}{3})^{x}\) : oui, exponentielle de base \(\frac{1}{3}\).
  • \(5 x^{7/2}\) : non, l’exposant est fixe et la base varie (fonction puissance).
  • \(-2 (\frac{2}{5})^{x}\) : oui, multiple d’une exponentielle (\(k = -2\), \(a = \frac{2}{5}\)).
  • Refuser \(-2 (\frac{2}{5})^{x}\) à cause du signe : il porte sur \(k\), la base \(\frac{2}{5}\) est positive.

✎ Exercice S1.3 A1 ★☆☆

Écris chaque expression sous la forme d’une seule puissance (ou d’une fraction simple). À chaque fois, nomme la règle utilisée.

  1. \(3^{4} \cdot 3^{6}\)
  2. \(\frac{8^{11}}{8^{5}}\)
  3. \((2^{3})^{4}\)
  1. \(5^{-3}\)
  2. \(e^{2x} \cdot e^{4x}\)
  3. \(\frac{(a^{3x})^{2}}{a^{2x}}\)
  1. \(3^{4} \cdot 3^{6} = 3^{4+6} = 3^{10}\) (\(a^{m+p}=a^{m} a^{p}\)). 2) \(\frac{8^{11}}{8^{5}} = 8^{11-5} = 8^{6}\) (\(\frac{a^{m}}{a^{p}}=a^{m-p}\)). 3) \((2^{3})^{4} = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}\) (\((a^{m})^{p}=a^{m p}\)). 4) \(5^{-3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}\) (\(a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}\)). 5) \(e^{2x} \cdot e^{4x} = e^{6x}\). 6) \(\frac{(a^{3x})^{2}}{a^{2x}} = \frac{a^{6x}}{a^{2x}} = a^{4x}\).

Produit, quotient ou puissance de puissance ? Les bases sont-elles égales ?

Pour 6), commence par \((a^{3 x})^{2} = a^{6 x}\).

  1. \(3^{4} \cdot 3^{6} = 3^{4 + 6} = 3^{10}\) (produit : \(a^{m} \cdot a^{p} = a^{m + p}\)).
  2. \(\frac{8^{11}}{8^{5}} = 8^{11 - 5} = 8^{6}\) (quotient : \(a^{m} / a^{p} = a^{m - p}\)).
  3. \((2^{3})^{4} = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}\) (puissance d’une puissance : \((a^{m})^{p} = a^{m p}\)).
  4. \(5^{-3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}\) (exposant négatif : \(a^{-p} = 1 / a^{p}\)).
  5. \(e^{2 x} \cdot e^{4 x} = e^{2 x + 4 x} = e^{6 x}\) (produit).
  6. \(\frac{(a^{3 x})^{2}}{a^{2 x}} = \frac{a^{6 x}}{a^{2 x}} = a^{6 x - 2 x} = a^{4 x}\) (puissance d’une puissance, puis quotient).
  • Diviser les exposants dans un quotient : \(8^{11} / 8^{5} \neq 8^{11/5}\).

✎ Exercice S1.4 A1 ★☆☆

On considère la fonction \(f(x) = 180 \cdot 1{,}06^{x}\). À l’aide de la calculatrice, calcule les valeurs suivantes. Donne chaque résultat au dixième près.

  1. \(f(0)\)
  2. \(f(4)\)
  3. \(f(9)\)
  1. \(f(-3)\)
  2. \(f(2{,}5)\)
  3. \(f(6{,}75)\)

\(f(0) = 180\) ; \(f(4) \approx 227{,}2\) ; \(f(9) \approx 304{,}1\) ; \(f(-3) \approx 151{,}1\) ; \(f(2{,}5) \approx 208{,}2\) ; \(f(6{,}75) \approx 266{,}7\).

Relis la définition de la fonction exponentielle : elle est définie pour tout réel.

Comment saisir un exposant négatif ou décimal sur ta calculatrice ?

Calcule \(1{,}06^{x}\), multiplie par \(180\), puis arrondis au dixième.

\(f(0) = 180\) ; \(f(4) \approx 227{,}2\) ; \(f(9) \approx 304{,}1\) ; \(f(-3) \approx 151{,}1\) ; \(f(2{,}5) \approx 208{,}2\) ; \(f(6{,}75) \approx 266{,}7\).

  • Calculer \((180 \cdot 1{,}06)^{x}\) : la puissance porte seulement sur \(1{,}06\).
  • Pour \(f(-3)\), saisir \(-3\) sans parenthèses dans l’exposant.

Croissance exponentielle : tableaux et graphiques

✎ Exercice S1.5 C5 ★★☆

Pour chaque tableau (pas de \(x\) égaux), précise s’il y a croissance exponentielle. Nomme le critère que tu utilises (rapport constant pour des pas de \(x\) égaux).

\(x\) \(y\)
\(0\) \(4\)
\(1\) \(12\)
\(2\) \(36\)
\(3\) \(108\)
\(x\) \(y\)
\(0\) \(7\)
\(1\) \(10\)
\(2\) \(13\)
\(3\) \(16\)
\(x\) \(y\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(8\)
\(3\) \(27\)
\(4\) \(64\)

Tableau A : \(4 \to 12 \to 36 \to 108\), rapport constant \(\times 3\) : oui (base \(3\)). Tableau B : \(7 \to 10 \to 13 \to 16\), on ajoute \(+3\) (affine) : non. Tableau C : \(1 \to 8 \to 27 \to 64\) (cubes), rapports \(8\), \(\frac{27}{8}\), \(\frac{64}{27}\) non constants : non.

Calcule les quotients de deux valeurs consécutives de \(y\) : sont-ils égaux ?

Premier tableau : \(\frac{12}{4}\), \(\frac{36}{12}\), \(\frac{108}{36}\).

Critère : pour des pas de \(x\) égaux, la croissance est exponentielle si le quotient de deux valeurs consécutives de \(y\) est constant.

  • Tableau A : \(\frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = 3\) : croissance exponentielle de base \(3\).
  • Tableau B : \(\frac{10}{7} \neq \frac{13}{10}\) : pas exponentielle ; les différences sont constantes (\(+3\)), c’est une croissance affine.
  • Tableau C : \(\frac{8}{1} = 8\), \(\frac{27}{8}\), \(\frac{64}{27}\) : quotients différents, pas exponentielle (ce sont les cubes \(x^{3}\)).
  • Regarder les différences : elles signalent une croissance affine, pas exponentielle.

✎ Exercice S1.6 T2 ★★☆

Une culture de bactéries compte \(50\) individus à l’instant \(0\). Chaque heure, la population triple. Notons \(b_{n}\) le nombre de bactéries après \(n\) heures.

  1. Calcule \(b_{0}\), \(b_{1}\), \(b_{2}\), \(b_{3}\).
  2. Justifie que \((b_{n})\) vérifie le critère de croissance exponentielle (rapport constant), puis donne l’expression de \(b_{n}\) en fonction de \(n\).
  3. À l’aide de la calculatrice, détermine le plus petit \(n\) tel que \(b_{n}\) dépasse un million d’individus.
  1. \(b_{0}=50\), \(b_{1}=150\), \(b_{2}=450\), \(b_{3}=1 \, 350\). 2) Rapport constant \(\times 3\) à chaque étape : croissance exponentielle de base \(3\), donc \(b_{n} = 50 \cdot 3^{n}\). 3) \(b_{9} = 50 \cdot 3^{9} = 984 \, 150 < 1\) million et \(b_{10} = 50 \cdot 3^{10} \approx 2 \, 952 \, 450 > 1\) million : le plus petit \(n\) qui convient est \(n = 10\).

Par quel nombre multiplie-t-on pour passer de \(b_{n}\) à \(b_{n + 1}\) ?

\(b_{n} = 50 \cdot 3^{n}\) ; calcule \(b_{9}\) et \(b_{10}\).

  1. \(b_{0} = 50\), \(b_{1} = 150\), \(b_{2} = 450\), \(b_{3} = 1 \, 350\).
  2. \(b_{n + 1} / b_{n} = 3\) à chaque étape : le quotient est constant, c’est une croissance exponentielle de base \(3\). Donc \(b_{n} = 50 \cdot 3^{n}\).
  3. \(b_{9} = 50 \cdot 3^{9} = 984 \, 150 < 1 \, 000 \, 000\) et \(b_{10} = 50 \cdot 3^{10} = 2 \, 952 \, 450 > 1 \, 000 \, 000\). Le plus petit \(n\) qui convient est \(n = 10\).
  • Écrire \(b_{n} = 50 + 3 n\) : la population triple, elle ne gagne pas \(3\) individus par heure.
  • Écrire \(b_{n} = 3^{n}\) en oubliant la population initiale.

✎ Exercice S1.7 C4 ★★☆

Un filtre à eau retient une partie des impuretés : à chaque passage, il ne laisse passer que \(60 \%\) des impuretés présentes. On note \(I(n)\) la quantité (en mg) d’impuretés restantes après \(n\) passages, avec \(I(0) = 1000\) mg.

  1. Calcule \(I(1)\), \(I(2)\), \(I(3)\).
  2. Quel est le coefficient multiplicateur d’un passage au suivant ? Donne l’expression de \(I(n)\) en fonction de \(n\).
  3. À l’aide de la calculatrice, détermine le plus petit \(n\) tel que \(I(n) < 10\) mg (soit moins de \(1 \%\) de la quantité initiale).
  1. \(I(1) = 600\), \(I(2) = 360\), \(I(3) = 216\) (mg). 2) Coefficient \(\times 0{,}6\) à chaque passage (\(60 \%\) laissés passer) : \(I(n) = 1000 \cdot 0{,}6^{n}\). 3) \(I(9) \approx 10{,}08\) mg (encore \(> 10\)), \(I(10) \approx 6{,}05\) mg \(< 10\) mg : il faut \(n = 10\) passages.

Relis l’activité de la batterie : une décroissance exponentielle multiplie par un nombre inférieur à \(1\).

Si le filtre laisse passer \(60 \%\), quelle part des impuretés reste après un passage ?

Le coefficient vaut \(0{,}6\) ; \(I(n) = 1000 \cdot 0{,}6^{n}\).

  1. \(I(1) = 1000 \cdot 0{,}6 = 600\) mg, \(I(2) = 360\) mg, \(I(3) = 216\) mg.
  2. À chaque passage, la quantité est multipliée par \(0{,}6\) : \(I(n) = 1000 \cdot 0{,}6^{n}\).
  3. \(I(9) = 1000 \cdot 0{,}6^{9} \approx 10{,}08\) mg \(> 10\) mg et \(I(10) \approx 6{,}05\) mg \(< 10\) mg. Il faut \(10\) passages.
  • Utiliser \(0{,}4\) : le filtre laisse passer \(60 \%\), c’est cette part qui reste dans l’eau.

✎ Exercice S1.8 A4 ★★☆

Détermine l’expression analytique des fonctions exponentielles (ou multiples) représentées ci-dessous. Pour chacune, lis l’ordonnée à l’origine \(k = f(0)\) et un second point pour trouver la base.

  1. \(f(x) = 1{,}5^{x}\). b) \(f(x) = 0{,}6^{x}\). c) \(f(x) = -2 \cdot 2^{x}\) (\(k=-2\), \(a=2\)). d) \(f(x) = 1{,}15^{x}\). e) \(f(x) = 2 \cdot 3^{x}\) (\(k=2\), \(a=3\)). f) \(f(x) = 4 \cdot (\frac{1}{3})^{x}\) (\(k=4\), \(a=\frac{1}{3}\)).

Que vaut \(f(0)\) ? Et \(f(1)\) ? Par quel nombre passe-t-on de l’un à l’autre ?

\(k = f(0)\) et \(a = f(1) / f(0)\).

    1. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 1{,}5\) : \(f(x) = 1{,}5^{x}\).
    1. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 0{,}6\) : \(f(x) = 0{,}6^{x}\).
    1. \(f(0) = -2\), \(f(1) = -4\) : \(a = 2\), \(f(x) = -2 \cdot 2^{x}\).
    1. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 1{,}15\) : \(f(x) = 1{,}15^{x}\) (lecture plus précise en \(x = 5\) : \(f(5) \approx 2\)).
    1. \(f(0) = 2\), \(f(1) = 6\) : \(a = 3\), \(f(x) = 2 \cdot 3^{x}\).
    1. \(f(0) = 4\), \(f(1) = \frac{4}{3}\) : \(a = \frac{1}{3}\), \(f(x) = 4 \cdot (\frac{1}{3})^{x}\).
  • En c), chercher une base négative : le signe vient de \(k\).

Transformations et lecture graphique

✎ Exercice S1.9 A2 ★★☆

Soit \(f(x) = 3^{x}\). Associe chaque expression à la transformation géométrique correspondante du graphe de \(f\), puis donne les coordonnées du point d’intersection de chaque graphe avec l’axe des ordonnées.

  1. \(g(x) = 3^{x} - 1\)
  2. \(h(x) = 3^{x + 2}\)
  3. \(k(x) = 4 \cdot 3^{x}\)
  4. \(l(x) = 3^{-x}\)
  • translation de \(1\) unité vers le bas ;
  1. translation de \(2\) unités vers la gauche ;
  2. étirement vertical de facteur \(4\) ;
  3. symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

\(g\) ⟶ translation vers le bas, o.à.o. \((0, 0)\). \(h\) ⟶ translation vers la gauche, o.à.o. \((0, 9)\). \(k\) ⟶ étirement vertical, o.à.o. \((0, 4)\). \(l\) ⟶ symétrie d’axe \(y\), o.à.o. \((0, 1)\).

On modifie le résultat (\(+ \ldots\), \(\times \ldots\)) ou la variable (\(x + 2\), \(-x\)) ?

Calcule \(g(0)\), \(h(0)\), \(k(0)\) et \(l(0)\).

  • \(g(x) = 3^{x} - 1\) : translation de \(1\) unité vers le bas (1). \(g(0) = 0\) : point \((0, 0)\).
  • \(h(x) = 3^{x + 2}\) : translation de \(2\) unités vers la gauche (2). \(h(0) = 9\) : point \((0, 9)\).
  • \(k(x) = 4 \cdot 3^{x}\) : étirement vertical de facteur \(4\) (3). \(k(0) = 4\) : point \((0, 4)\).
  • \(l(x) = 3^{-x}\) : symétrie d’axe \(y\) (4). \(l(0) = 1\) : point \((0, 1)\).
  • Pour \(h\), croire que \(x + 2\) déplace la courbe vers la droite.

✎ Exercice S1.10 A3 ★★☆

Quatre tableaux de valeurs sont donnés ci-dessous. Associe chacun à l’une des expressions suivantes, en justifiant.

\(p(x) = 4 \cdot 2^{x}\) \(q(x) = 2^{x}\) \(r(x) = (\frac{1}{2})^{x}\) \(s(x) = -2^{x}\)

Tableau I

\(x\) \(y\)
\(-1\) \(2\)
\(0\) \(4\)
\(1\) \(8\)

Tableau II

\(x\) \(y\)
\(-1\) \(\frac{1}{2}\)
\(0\) \(1\)
\(1\) \(2\)

Tableau III

\(x\) \(y\)
\(-1\) \(2\)
\(0\) \(1\)
\(1\) \(\frac{1}{2}\)

Tableau IV

\(x\) \(y\)
\(-1\) \(-\frac{1}{2}\)
\(0\) \(-1\)
\(1\) \(-2\)

Tableau I \(= p\) (\(k=4\), \(a=2\)). Tableau II \(= q\) (\(k=1\), \(a=2\)). Tableau III \(= r\) (\(k=1\), \(a=\frac{1}{2}\)). Tableau IV \(= s\) (\(k=-1\), \(a=2\)).

Relis l’exemple « lire un multiple » : \(k = f(0)\) et \(a = f(1) / f(0)\).

Dans chaque tableau, que vaut \(y\) pour \(x = 0\) ? Et le quotient \(y(1) / y(0)\) ?

Calcule \(p(0)\), \(q(0)\), \(r(0)\) et \(s(0)\) et compare.

  • Tableau I : \(y(0) = 4\) et \(y(1) / y(0) = 2\) : \(k = 4\), \(a = 2\), c’est \(p(x) = 4 \cdot 2^{x}\).
  • Tableau II : \(y(0) = 1\) et \(y(1) / y(0) = 2\) : c’est \(q(x) = 2^{x}\).
  • Tableau III : \(y(0) = 1\) et \(y(1) / y(0) = \frac{1}{2}\) : c’est \(r(x) = (\frac{1}{2})^{x}\).
  • Tableau IV : \(y(0) = -1\) et \(y(1) / y(0) = 2\) : \(k = -1\), \(a = 2\), c’est \(s(x) = -2^{x}\).
  • Confondre II et III : même valeur en \(0\), mais l’une croît et l’autre décroît.

Modélisation

✎ Exercice S1.11 C3 ★★☆

La quantité d’un polluant présente dans un lac est modélisée par la fonction

\[ D(t) = 120 \cdot 0{,}9^{3 t}, \]

où \(t\) est exprimé en années et \(D(t)\) en tonnes.

  1. Que représente le nombre \(120\) dans ce modèle ?
  2. Que représente le nombre \(0{,}9\) ?
  3. Que signifie le facteur \(3\) présent dans l’exposant ?
  4. Par quel facteur la quantité est-elle multipliée lorsque \(t\) augmente d’une année ?
  5. La quantité diminue-t-elle de \(10 \%\) par an ? Justifie ta réponse.
  1. La quantité initiale (\(t=0\)), soit \(120\) tonnes. 2) Le facteur multiplicatif par tiers d’année (quand \(t\) augmente de \(\frac{1}{3}\), l’exposant augmente de \(1\)). 3) Le phénomène se répète trois fois par an : chaque année, on multiplie trois fois par \(0{,}9\). 4) Par an : \(0{,}9^{3} = 0{,}729\). 5) Non : \(-10 \%\) correspondrait au facteur \(0{,}9\) par tiers d’année ; le facteur annuel vaut \(0{,}729\), soit une baisse de \(27{,}1 \%\) par an.

Relis l’exemple « modéliser une situation » et l’exercice 1.12 du cours.

Quand \(t\) augmente de \(\frac{1}{3}\), de combien augmente l’exposant \(3 t\) ?

\(D(t + 1) = 120 \cdot 0{,}9^{3 t + 3} = D(t) \cdot 0{,}9^{3}\).

  1. \(D(0) = 120\) : \(120\) tonnes est la quantité initiale.
  2. Quand \(t\) augmente de \(\frac{1}{3}\), l’exposant \(3 t\) augmente de \(1\) : \(0{,}9\) est le facteur multiplicatif par tiers d’année.
  3. Le facteur \(3\) signifie que la multiplication par \(0{,}9\) a lieu trois fois par an.
  4. \(D(t + 1) = D(t) \cdot 0{,}9^{3} = D(t) \cdot 0{,}729\) : la quantité est multipliée par \(0{,}729\) chaque année.
  5. Non. Le facteur annuel vaut \(0{,}729 = 1 - 0{,}271\) : la quantité diminue de \(27{,}1 \%\) par an. La diminution de \(10 \%\) vaut par tiers d’année.
  • Tripler le pourcentage (\(30 \%\) par an) : trois diminutions successives de \(10 \%\) font \(1 - 0{,}9^{3} = 27{,}1 \%\).

✎ Exercice S1.12 T1 ★★☆

Pour chacune des situations suivantes, choisis le modèle le plus approprié parmi ceux rencontrés en classe, et justifie en une phrase.

Situations :

  1. Une association caritative récolte \(200\) € de dons supplémentaires chaque mois.
  2. Le nombre d’utilisateurs d’une application augmente de \(8 \%\) chaque mois.
  3. Un glacier perd \(5\) mètres d’épaisseur chaque année.
  4. La valeur de revente d’un smartphone diminue de \(20 \%\) chaque année.

Modèles possibles :

  • croissance affine ;
  • croissance exponentielle ;
  • décroissance affine ;
  • décroissance exponentielle.
  1. Croissance affine : on ajoute \(200\) € chaque mois (montant fixe). 2) Croissance exponentielle : on multiplie par \(1{,}08\) (\(+8 \%\)) chaque mois. 3) Décroissance affine : on retranche \(5\) m chaque année (montant fixe). 4) Décroissance exponentielle : on multiplie par \(0{,}8\) chaque année.

À chaque pas de temps, ajoute-t-on (retire-t-on) un même nombre, ou multiplie-t-on par un même nombre ?

Un pourcentage constant revient à multiplier : \(+8 \%\) donne \(\times 1{,}08\).

  1. Croissance affine : on ajoute chaque mois le même montant (\(+200\) €).
  2. Croissance exponentielle : on multiplie chaque mois par \(1{,}08\) (\(+8 \%\)).
  3. Décroissance affine : on retire chaque année la même épaisseur (\(-5\) m).
  4. Décroissance exponentielle : on multiplie chaque année par \(0{,}8\) (\(-20 \%\)).
  • Classer le glacier en décroissance exponentielle : il perd une épaisseur fixe, pas un pourcentage.

✎ Exercice S1.13 T2 ★★☆

Une petite ville comptait \(8 \, 000\) habitants en \(2010\) ; sa population augmente de \(4 \%\) chaque année.

  1. Donne l’expression \(P(x)\) du nombre d’habitants \(x\) années après \(2010\).
  2. Combien d’habitants en \(2020\) ? En \(2025\) ?

\(P(x) = 8 \, 000 \cdot 1{,}04^{x}\). En \(2020\) (\(x=10\)) : \(P(10) \approx 11 \, 842\) habitants. En \(2025\) (\(x=15\)) : \(P(15) \approx 14 \, 408\) habitants.

Une augmentation de \(4 \%\) par an : par quel nombre la population est-elle multipliée chaque année ?

\(P(x) = 8 \, 000 \cdot 1{,}04^{x}\) ; \(2020\) correspond à \(x = 10\).

  1. Chaque année, la population est multipliée par \(1 + 0{,}04 = 1{,}04\) : \(P(x) = 8 \, 000 \cdot 1{,}04^{x}\).

    • En \(2020\) (\(x = 10\)) : \(P(10) = 8 \, 000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 11 \, 842\) habitants.

    • En \(2025\) (\(x = 15\)) : \(P(15) = 8 \, 000 \cdot 1{,}04^{15} \approx 14 \, 408\) habitants.

  • Ajouter \(4 \%\) de \(8 \, 000\) chaque année (\(+320\)) : c’est un modèle affine, les \(4 \%\) portent sur la population de l’année précédente.

✎ Exercice S1.14 T3 ★★★

En raison de l’inflation, le pouvoir d’achat réel d’un capital de \(15 \, 000\) € diminue d’environ \(6 \%\) par an s’il n’est pas placé.

  1. Modélise la valeur réelle \(V(x)\) du capital \(x\) années plus tard.
  2. Quelle est sa valeur réelle après \(8\) ans ?
  3. Que peut-on en conclure sur l’intérêt de placer son argent ?

\(V(x) = 15 \, 000 \cdot 0{,}94^{x}\). Après \(8\) ans : \(V(8) \approx 9 \, 144\) €. Sans placement, le capital perd donc plus du quart de sa valeur réelle en \(8\) ans : il est important de placer son argent à un taux qui compense au moins l’inflation.

Une perte de \(6 \%\) par an : quelle part de sa valeur réelle le capital garde-t-il chaque année ?

\(V(x) = 15 \, 000 \cdot 0{,}94^{x}\).

  1. Chaque année, la valeur réelle est multipliée par \(1 - 0{,}06 = 0{,}94\) : \(V(x) = 15 \, 000 \cdot 0{,}94^{x}\).
  2. \(V(8) = 15 \, 000 \cdot 0{,}94^{8} \approx 9 \, 144\) €.
  3. En \(8\) ans, le capital non placé perd environ \(5 \, 856\) €, soit près de \(40 \%\) de sa valeur réelle : il faut le placer à un taux au moins égal à l’inflation pour conserver son pouvoir d’achat.
  • Calculer \(15 \, 000 - 8 \cdot 6 \%\) de \(15 \, 000\) : la perte porte chaque année sur la valeur restante.

Équations exponentielles

✎ Exercice S1.15 A5 ★★☆

Résous les équations suivantes. À l’étape clé, nomme la propriété qui autorise à égaler les exposants.

  1. \(7^{x} = 1\)
  2. \(2^{x+4} = 8\)
  3. \(10^{x-1} = 0{,}001\)
  4. \(3^{x} = \sqrt{3}\)
  5. \((\frac{3}{4})^{x} = \frac{4}{3}\)
  1. \(e^{3x} = e^{2}\)
  2. \(e^{x^{2}} \cdot e^{-4x} = 1\)
  3. \(e^{2x^{2}} = \frac{1}{e^{2}}\)
  4. \(5^{3x-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
  5. \(\sqrt[3]{2} = \frac{1}{2^{3x+1}}\)
  1. \(S=\{0\}\). 2) \(x+4=3 \Longrightarrow x=-1\), \(S=\{-1\}\). 3) \(x-1=-3 \Longrightarrow x=-2\), \(S=\{-2\}\). 4) \(x=\frac{1}{2}\), \(S=\{\frac{1}{2}\}\). 5) \(x=-1\), \(S=\{-1\}\). 6) \(x=\frac{2}{3}\), \(S=\{\frac{2}{3}\}\). 7) \(x^{2}-4x=0 \Longrightarrow x=0\) ou \(x=4\), \(S=\{0{,}4\}\). 8) \(2x^{2}=-2\) : impossible, \(S=\emptyset\). 9) \(x=\frac{1}{6}\), \(S=\{\frac{1}{6}\}\). 10) \(x=-\frac{4}{9}\), \(S=\{-\frac{4}{9}\}\).

Peux-tu écrire chaque membre comme une puissance de la même base ? Pense à \(1 = a^{0}\), \(\sqrt{a} = a^{1/2}\), \(1 / a = a^{-1}\).

Par exemple, \(2^{x + 4} = 8 = 2^{3}\), donc \(x + 4 = 3\).

On écrit les deux membres comme puissances d’une même base, puis on égale les exposants : \(a^{u} = a^{v} \Longleftrightarrow u = v\), car \(a^{x}\) est strictement monotone (propriété 1.5).

  1. \(7^{x} = 7^{0} \Longleftrightarrow x = 0\). \(S = \{0\}\).
  2. \(2^{x + 4} = 2^{3} \Longleftrightarrow x + 4 = 3 \Longleftrightarrow x = -1\). \(S = \{-1\}\).
  3. \(10^{x - 1} = 10^{-3} \Longleftrightarrow x - 1 = -3 \Longleftrightarrow x = -2\). \(S = \{-2\}\).
  4. \(3^{x} = 3^{1/2} \Longleftrightarrow x = \frac{1}{2}\). \(S = \{\frac{1}{2}\}\).
  5. \((\frac{3}{4})^{x} = (\frac{3}{4})^{-1} \Longleftrightarrow x = -1\). \(S = \{-1\}\).
  6. \(e^{3 x} = e^{2} \Longleftrightarrow 3 x = 2 \Longleftrightarrow x = \frac{2}{3}\). \(S = \{\frac{2}{3}\}\).
  7. \(e^{x^{2} - 4 x} = e^{0} \Longleftrightarrow x^{2} - 4 x = 0 \Longleftrightarrow x (x - 4) = 0 \Longleftrightarrow x = 0\) ou \(x = 4\). \(S = \{0 ; 4\}\).
  8. \(e^{2 x^{2}} = e^{-2} \Longleftrightarrow 2 x^{2} = -2\), impossible car \(2 x^{2} \geq 0\). \(S = \emptyset\).
  9. \(5^{3 x - 1} = 5^{-1/2} \Longleftrightarrow 3 x - 1 = -\frac{1}{2} \Longleftrightarrow x = \frac{1}{6}\). \(S = \{\frac{1}{6}\}\).
  10. \(2^{1/3} = 2^{-(3 x + 1)} \Longleftrightarrow \frac{1}{3} = -3 x - 1 \Longleftrightarrow x = -\frac{4}{9}\). \(S = \{-\frac{4}{9}\}\).
  • Égaler les exposants avec des bases différentes (\(2^{x + 4} = 8\) ne donne pas \(x + 4 = 8\)).
  • En 10), oublier le signe « \(-\) » de \(1 / 2^{3 x + 1} = 2^{-(3 x + 1)}\).

✎ Exercice S1.16 C7 ★★☆

Voici la résolution de l’équation \(9^{x-1} = 27\). Justifie chaque étape en nommant la règle ou la propriété utilisée.

\[ 9^{x-1} = 27 \quad \Longleftrightarrow \quad (3^{2})^{x-1} = 3^{3} \quad \text{étape 1 :} \text{…………} \\ \Longleftrightarrow \quad 3^{2x-2} = 3^{3} \quad \text{étape 2 :} \text{…………} \\ \Longleftrightarrow \quad 2x-2 = 3 \quad \text{étape 3 :} \text{…………} \\ \Longleftrightarrow \quad x = \frac{5}{2} \quad \text{étape 4 :} \text{…………} \]

Étape 1 : réécriture des deux membres en base \(3\) (\(9=3^{2}\), \(27=3^{3}\)). Étape 2 : règle des exposants \((a^{m})^{p} = a^{m p}\). Étape 3 : stricte monotonie de l’exponentielle (\(a^{u}=a^{v} \Longleftrightarrow u=v\)) — on égale les exposants. Étape 4 : on isole \(x\). Donc \(S = \{\frac{5}{2}\}\).

À chaque ligne, qu’est-ce qui a changé ?

Étape 1 : \(9 = 3^{2}\) et \(27 = 3^{3}\).

  • Étape 1 : on écrit les deux membres en base \(3\) : \(9 = 3^{2}\) et \(27 = 3^{3}\).
  • Étape 2 : règle de la puissance d’une puissance, \((a^{m})^{p} = a^{m p}\) : \((3^{2})^{x - 1} = 3^{2 x - 2}\).
  • Étape 3 : la fonction \(3^{x}\) est strictement croissante, donc \(3^{u} = 3^{v} \Longleftrightarrow u = v\) (propriété 1.5).
  • Étape 4 : on résout l’équation du premier degré \(2 x - 2 = 3\).

Donc \(S = \{\frac{5}{2}\}\).

  • Justifier l’étape 3 par « on simplifie les bases » : c’est la stricte monotonie qui autorise ce passage.