Choisir le bon repère et extraire l’information
Face à des données, le repère où elles s’alignent renseigne sur le type de modèle. C’est le cœur de la compétence A8.
✎ Exercice 4.3
Pour chacune des situations, indique dans quel repère les données formeront une droite, et quel type de modèle cela révèle.
- Un capital placé à intérêts composés, relevé chaque année. → semi-log (\(t\), \(\log C\)) : exponentiel.
- La distance de freinage d’une voiture en fonction de sa vitesse (\(d = k v^{2}\)). → log-log : puissance (pente \(2\)).
- La taille d’un enfant en fonction de son âge, entre \(2\) et \(10\) ans (croissance régulière). → linéaire : affine.
Quel type de modèle décrit chaque situation : affine, exponentiel ou puissance ?
Un capital à intérêts composés est multiplié par un même nombre chaque année ; \(d = k v^{2}\) est une puissance de \(v\).
- Capital à intérêts composés : \(C(t) = C_{0} \cdot (1 + r)^{t}\), modèle exponentiel. Les données forment une droite dans un repère semi-logarithmique (\(t\) linéaire, \(C\) logarithmique).
- Distance de freinage \(d = k v^{2}\) : modèle puissance. Les données forment une droite dans un repère log-log, de pente \(2\).
- Taille d’un enfant qui croît régulièrement : modèle affine. Les données forment une droite dans un repère ordinaire (linéaire).
- Choisir le semi-log pour \(d = k v^{2}\) : \(v^{2}\) est une puissance, pas une exponentielle.
✎ Exercice 4.4
On trace une même série de mesures dans trois repères : linéaire, semi-logarithmique et log-log. Elle ne forme une droite que dans un d’entre eux : le repère semi-logarithmique. Que peux-tu en conclure sur le modèle, et pourquoi les deux autres tracés sont-ils courbés ?
Puisque les données ne s’alignent qu’en semi-log, le modèle est exponentiel (\(y = C \cdot a^{x}\)). Dans le repère linéaire, une exponentielle est une courbe qui s’envole (concave vers le haut) ; dans le repère log-log, \(\log y\) est affine en \(x\), pas en \(\log x\), donc le tracé y est encore courbé. Seul le repère dont l’axe vertical porte \(\log y\) contre un axe horizontal linéaire redresse la courbe en droite.
Dans quel repère une exponentielle devient-elle une droite ? Et une puissance ?
Si \(y = C \cdot a^{x}\), alors \(\log y = \log C + x \log a\) : \(\log y\) est affine en \(x\).
Les données ne s’alignent qu’en semi-log : le modèle est exponentiel, \(y = C \cdot a^{x}\).
En effet, \(\log y = \log C + x \log a\) est une fonction affine de \(x\) : on obtient une droite quand l’axe vertical porte \(\log y\) et l’axe horizontal \(x\) (semi-log).
- Dans le repère linéaire, on trace \(y\) en fonction de \(x\) : une exponentielle, courbée.
- Dans le repère log-log, on trace \(\log y\) en fonction de \(\log x\) ; \(\log y\) est affine en \(x\), pas en \(\log x\), donc le tracé reste courbé.
- Conclure à une puissance : ce sont les puissances qui s’alignent en log-log.
✎ Exercice 4.5
Sur un repère semi-logarithmique, l’activité d’un échantillon radioactif décroît en ligne droite : elle passe de \(800\) (à \(t = 0\) jour) à \(8\) (à \(t = 6\) jours). a) Justifie que la décroissance est exponentielle. b) Détermine \(C\) et la base \(a\) du modèle \(A(t) = C \cdot a^{t}\). c) Au bout de combien de jours l’activité vaut-elle \(80\) ?
- Alignement en semi-log ⟹ modèle exponentiel. b) En \(t = 0\) : \(C = 800\). De \(t = 0\) à \(t = 6\), \(A\) est divisée par \(100\), donc \(a^{6} = 1 / 100\), soit \(a = (10^{-2})^{1/6} = 10^{-1/3} \approx 0{,}46\). c) \(A(t) = 80\) correspond à une division par \(10\), soit une décade sur les deux perdues en \(6\) jours : \(t = 3\) jours. Vérification : \(A(3) = 800 \cdot 10^{-3/3} = 800 \cdot 10^{-1} = 80\).
Relis la propriété 4.1 et l’exemple 4.1.
De \(800\) à \(8\), combien de décades l’activité perd-elle ? En combien de jours ?
\(A\) est divisée par \(100 = 10^{2}\) en \(6\) jours, donc par \(10\) tous les \(3\) jours.
Dans un repère semi-logarithmique, les points sont alignés : la décroissance est exponentielle (propriété 4.1).
\(A(0) = C = 800\). De \(t = 0\) à \(t = 6\), \(A\) est divisée par \(100\) : \(800 \cdot a^{6} = 8\), donc \(a^{6} = \frac{1}{100} = 10^{-2}\) et \(a = 10^{-2/6} = 10^{-1/3} \approx 0{,}464\).
\(A(t) = 800 \cdot 10^{-t/3} = 80 \Longleftrightarrow 10^{-t/3} = 10^{-1} \Longleftrightarrow t = 3\). L’activité vaut \(80\) au bout de \(3\) jours.
- Répondre \(2\) jours : \(80\) correspond à une division par \(10\), c’est-à-dire la moitié des deux décades perdues en \(6\) jours, soit \(3\) jours.