Dériver le logarithme
Comme pour tout ce qui touche au logarithme, la dérivée se déduit de l’exponentielle par la réciprocité, sans nouvelle hypothèse.
La brique de base : \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
Activité 3.3 — dériver \(\ln\) en dérivant \(e^{\ln x} = x\)
On part de l’identité de réciprocité, valable pour \(x > 0\) : \(e^{\ln x} = x\). Dérive les deux membres par rapport à \(x\).
(1) Membre de droite. \((x)' = \class{rep}{1}\).
(2) Membre de gauche, avec la règle de composition (exposant \(u = \ln x\)) :
\[ (e^{\ln x})' = (\ln x)' \cdot e^{\ln x} = (\ln x)' \cdot \class{rep}{x} \]
(car \(e^{\ln x} = x\)).
(3) Égaler les deux dérivées : \((\ln x)' \cdot x = 1\), d’où, pour \(x > 0\),
\[ (\ln x)' = \class{rep}{\frac{1}{x}}. \]
Propriété 3.4 — dérivée du logarithme népérien
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{> 0}\) et
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x}. \]
Fais glisser \(a\) : compare la pente de la tangente et \(\frac{1}{a}\) ; « graphe de f′ » trace la courbe des pentes.
Démonstration 3.1
Pour \(x > 0\), l’identité \(e^{\ln x} = x\) donne, en dérivant les deux membres et en utilisant la composition, \((\ln x)' \cdot e^{\ln x} = 1\), soit \((\ln x)' \cdot x = 1\). Comme \(x > 0\), on isole \((\ln x)' = 1 / x\).
Composer, et changer de base
Propriété 3.5 — logarithme composé, et base quelconque
Si \(u\) est dérivable et strictement positive,
\[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}. \]
Pour une base \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\), le changement de base \(\log_{a} (x) = \frac{\ln x}{\ln a}\) donne aussitôt
\[ (\log_{a} (x))' = \frac{1}{x \ln a}. \]
Exemple 3.3 — dériver un logarithme composé
\((\ln(3 x))' = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}\)
\((\ln(x^{2} + 1))' = \frac{2 x}{x^{2} + 1}\)
\((x \ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\)
Le domaine mérite ici une attention particulière : on ne dérive un logarithme que là où son argument est strictement positif.
Exemple 3.4 — domaine puis dérivée
Soit \(g(x) = \ln(x^{2} - 5 x + 6)\). On a \(x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) > 0\) pour \(x < 2\) ou \(x > 3\). Donc \(\operatorname{dom} g = ] -\infty, 2 [ \cup ] 3, +\infty [\), et sur ce domaine
\[ g'(x) = \frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x + 6}. \]
✎ Exercice 3.2
Dérive les fonctions suivantes.
- \(\log_{2} (x)\)
- \(\ln(3 x)\)
- \(\ln(x^{3})\)
- \(\ln(1 / x)\)
- \(\ln(\sqrt{x})\)
- \(\ln(3 x - 5)\)
- \(\ln(x) - x\)
- \(x^{2} \ln(x)\)
- \(x \ln(x) - x\)
- \(\frac{\ln x}{x}\)
- \(x^{4} \ln(x^{2} - 1)\)
- \(\frac{x}{\ln(x)}\)
Relis les propriétés 3.4 (\((\ln x)' = 1/x\)) et 3.5 (logarithme composé, base quelconque), puis l’exemple 3.3.
Peux-tu simplifier le logarithme avant de dériver (\(\ln(x^{3}) = 3 \ln x\), \(\ln(1/x) = - \ln x\)) ?
\((\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)}\) et \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x \ln a}\).
- \((\log_{2} x)' = \frac{1}{x \ln 2}\).
- \(\ln(3 x) = \ln 3 + \ln x\), de dérivée \(\frac{1}{x}\).
- \(\ln(x^{3}) = 3 \ln x\), de dérivée \(\frac{3}{x}\).
- \(\ln(1 / x) = - \ln x\), de dérivée \(-\frac{1}{x}\).
- \(\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x\), de dérivée \(\frac{1}{2 x}\).
- \((\ln(3 x - 5))' = \frac{3}{3 x - 5}\).
- \((\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1\).
- \((x^{2} \ln x)' = 2 x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x\) (produit).
- \((x \ln x - x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x\) (produit).
- \((\frac{\ln x}{x})' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}\) (quotient).
- \((x^{4} \ln(x^{2} - 1))' = 4 x^{3} \ln(x^{2} - 1) + x^{4} \cdot \frac{2 x}{x^{2} - 1}\) (produit et logarithme composé).
- \((\frac{x}{\ln} x)' = \frac{\ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^{2}}\) (quotient).
- Écrire \((\ln(3 x - 5))' = \frac{1}{3 x - 5}\) : il manque la dérivée de \(3 x - 5\).
- Écrire \((\ln(3 x))' = \frac{3}{x}\) ou \(\frac{1}{3 x}\) : en simplifiant d’abord, \(\ln(3 x) = \ln 3 + \ln x\).
✎ Exercice 3.3
Détermine d’abord le domaine, puis la dérivée.
- \(f(x) = \frac{x}{\ln(x)}\)
- \(g(x) = \ln(x^{2} - 5 x + 6)\)
(1) \(\ln x\) exige \(x > 0\), et le dénominateur impose \(\ln x \neq 0\), soit \(x \neq 1\) : \(\operatorname{dom} f = ] 0, 1 [ \cup ] 1, +\infty [\). \(f'(x) = \frac{\ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^{2}}\). (2) \(\operatorname{dom} g = ] -\infty, 2 [ \cup ] 3, +\infty [\) (là où \((x-2)(x-3) > 0\)) ; \(g'(x) = \frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x + 6}\).
Relis l’exemple « domaine puis dérivée ».
Pour quelles valeurs \(\ln\) est-il défini ? Un dénominateur peut-il s’annuler ?
Pour \(g\), résous \(x^{2} - 5 x + 6 > 0\) : factorise \((x - 2)(x - 3)\) et dresse un tableau de signes.
- \(\ln x\) exige \(x > 0\) et le dénominateur impose \(\ln x \neq 0\), soit \(x \neq 1\). Donc \(\operatorname{dom} f = ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[\). Par la règle du quotient : \(f'(x) = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^{2}}\).
- \(\ln\) exige \(x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2)(x - 3) > 0\). Le trinôme est positif à l’extérieur de ses racines \(2\) et \(3\) : \(\operatorname{dom} g = ]-\infty ; 2[ \cup ]3 ; +\infty[\). Par la règle du logarithme composé : \(g'(x) = \frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x + 6}\).
- Oublier la valeur \(x = 1\), qui annule le dénominateur \(\ln x\).
- Pour \(g\), prendre l’intervalle entre les racines : c’est là que le trinôme est négatif.
Les dérivées permettent enfin de lire une pente sur une courbe.
✎ Exercice 3.4
La courbe de \(\ln\) est tracée ci-dessous. La tangente au point \((1, 0)\) y est représentée. a) Calcule \((\ln x)'\) en \(x = 1\) : \(\frac{1}{1} = 1\). b) Vérifie que c’est bien la pente de la tangente dessinée.
Relis la propriété 3.4 : \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).
Que vaut la dérivée en \(x = 1\) ? Que représente-t-elle sur le graphique ?
Sur la tangente dessinée, avance de \(1\) vers la droite à partir de \((1, 0)\) : de combien monte-t-elle ?
\((\ln x)' = \frac{1}{x}\), donc en \(x = 1\) : \((\ln)'(1) = \frac{1}{1} = 1\).
La tangente passe par \((1, 0)\) et par \((2, 1)\) : quand \(x\) augmente de \(1\), \(y\) augmente de \(1\), sa pente vaut \(1\). C’est bien la dérivée en \(1\).
- Confondre la valeur de la fonction (\(\ln 1 = 0\)) et la pente de la tangente (\(1\)).