Multiples d’une fonction exponentielle

Dans les problèmes concrets, on rencontre rarement \(a^{x}\) tout seul : on rencontre plutôt un multiple, comme le capital \(C_{n} = 1000 \cdot 1{,}1^{n}\).

Définition 1.4 — multiple d’une exponentielle

Un multiple d’une fonction exponentielle est une fonction d’expression

\[ f(x) = k \cdot a^{x}, \quad a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}, \quad k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. \]

Remarque 1.2

Le coefficient \(k\) se lit immédiatement sur la courbe : \(f(0) = k \cdot a^{0} = k\), donc \(k\) est l’ordonnée à l’origine. De plus \(f(1) = k \cdot a\). C’est le paramètre \(C\) de l’écriture officielle \(f(t) = C \cdot a^{k t}\) que tu retrouveras dans les objectifs (compétences C3, A3).

Exemple 1.2 — lire un multiple

Soit \(f(x) = 3 \cdot 2^{x}\). Alors \(f(0) = 3 \cdot 2^{0} = 3\) et \(f(1) = 3 \cdot 2 = 6\). Comme \(k = 3 > 0\) et la base \(2 > 1\), la fonction est strictement croissante, et part de l’ordonnée à l’origine \(3\).

\(f(x) = 3 \cdot 2^{x}\) (croissante, o.à.o. \(3\)) et \(g(x) = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{x}\) (décroissante, o.à.o. \(2\)).

Entraîne-toi à lire ces trois informations — l’ordonnée à l’origine \(k\), la valeur \(f(1)\) et le sens de variation — directement sur les courbes.

Activité 1.9 — lire des multiples sur un graphique

Trois multiples d’exponentielles sont représentés ci-dessous. Pour chacun, lis \(f(0)\) et \(f(1)\) sur la courbe, puis complète le tableau.

Courbe \(f(0) = k\) \(f(1)\) sens de variation
■ \(f_{1}\) \(3\) \(6\) croissante (base \(2 > 1\))
■ \(f_{2}\) \(6\) \(3\) décroissante (base \(\frac{1}{2} < 1\))
■ \(f_{3}\) \(1\) \(3\) croissante (base \(3 > 1\))

Retrouve enfin l’expression de chacune sous la forme \(k \cdot a^{x}\) (avec \(a = f(1) / f(0)\)) :

\(f_{1}(x) =\) \(3 \cdot 2^{x}\) \(f_{2}(x) =\) \(6 \cdot (\frac{1}{2})^{x}\) \(f_{3}(x) =\) \(3^{x}\)

Remarque 1.3

Que se passe-t-il si \(k < 0\) ? Le facteur négatif renverse la courbe par rapport à l’axe \(x\) : le graphe de \(f(x) = -2^{x}\) est le symétrique de celui de \(2^{x}\) (il passe alors par \((0, -1)\) et reste toujours négatif).

✎ Exercice 1.4 C2 ★★☆

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions exponentielles ou des multiples de fonctions exponentielles ? Justifie chaque réponse.

  • \(f(x) = 1^{x}\)
  • \(f(x) = -(\frac{1}{3})^{x}\)
  • \(f(x) = (5^{-1})^{x}\)
  • \(f(x) = 2 \cdot x^{5 / 3}\)
  • \(f(x) = 4 (-\frac{1}{3})^{x}\)

Relis la définition d’un multiple d’une exponentielle : \(k \cdot a^{x}\), avec quelles conditions sur \(k\) et sur \(a\) ?

Peux-tu réécrire chaque expression sous la forme \(k \cdot a^{x}\) ? La base obtenue est-elle strictement positive et différente de \(1\) ?

\((5^{-1})^{x} = (\frac{1}{5})^{x}\) et \(-(\frac{1}{3})^{x} = (-1) \cdot (\frac{1}{3})^{x}\). Pour \(4 (-\frac{1}{3})^{x}\), regarde le signe de la base.

  • \(1^{x}\) : non, la base vaut \(1\) (fonction constante).
  • \(-(\frac{1}{3})^{x} = (-1) \cdot (\frac{1}{3})^{x}\) : oui, multiple d’une exponentielle (\(k = -1\), \(a = \frac{1}{3}\)).
  • \((5^{-1})^{x} = (\frac{1}{5})^{x}\) : oui, fonction exponentielle de base \(\frac{1}{5}\).
  • \(2 \cdot x^{5/3}\) : non, l’exposant est fixe et la base varie (fonction puissance).
  • \(4 (-\frac{1}{3})^{x}\) : non, la base \(-\frac{1}{3}\) est négative.
  • Refuser \(-(\frac{1}{3})^{x}\) à cause du signe « \(-\) » : il porte sur le coefficient \(k\), pas sur la base.
  • Accepter \(4 (-\frac{1}{3})^{x}\) : ici le signe « \(-\) » est dans la base.

✎ Exercice 1.5 C5 ★★☆

Pour chaque tableau, précise s’il représente une croissance exponentielle. Nomme le critère que tu utilises (rapport constant pour des pas de \(x\) égaux).

\(x\) \(y\)
\(0\) \(2\)
\(1\) \(6\)
\(2\) \(18\)
\(3\) \(54\)
\(x\) \(y\)
\(0\) \(5\)
\(1\) \(8\)
\(2\) \(11\)
\(3\) \(14\)
\(x\) \(y\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(4\)
\(3\) \(9\)
\(4\) \(16\)

Relis la définition de la croissance exponentielle et l’activité sur l’invariant : pour des pas égaux de \(x\), que doit-il se passer pour \(y\) ?

Pour chaque tableau, calcule les quotients de deux valeurs consécutives de \(y\). Sont-ils égaux ?

Premier tableau : \(\frac{6}{2}\), \(\frac{18}{6}\), \(\frac{54}{18}\). Deuxième tableau : calcule aussi les différences.

Critère : pour des pas de \(x\) égaux, la croissance est exponentielle si le quotient de deux valeurs consécutives de \(y\) est constant.

  • Tableau 1 : \(\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = 3\). Le quotient est constant : croissance exponentielle de base \(3\).
  • Tableau 2 : \(\frac{8}{5} \neq \frac{11}{8}\). Ce n’est pas une croissance exponentielle ; les différences sont constantes (\(+3\)) : croissance affine.
  • Tableau 3 : \(\frac{4}{1} = 4\), \(\frac{9}{4}\), \(\frac{16}{9}\) : quotients différents, ce n’est pas une croissance exponentielle (ce sont les carrés \(x^{2}\)).
  • Regarder les différences au lieu des quotients : des différences constantes signalent une croissance affine.
  • Conclure après un seul quotient : il faut vérifier tous les quotients.

✎ Exercice 1.6 A4 ★★☆

Détermine l’expression analytique des fonctions exponentielles (ou multiples) représentées ci-dessous. Pour chacune, lis l’ordonnée à l’origine \(k = f(0)\) et un second point pour trouver la base.

Relis l’exemple « lire un multiple » : \(f(x) = k \cdot a^{x}\) avec \(k = f(0)\).

Que vaut \(f(1)\) par rapport à \(f(0)\) ? Par quel nombre faut-il multiplier pour passer de l’un à l’autre ?

Lis \(f(0) = k\), puis \(f(1)\) ; la base vaut \(a = f(1) / f(0)\).

Pour chaque graphique, \(k = f(0)\) et \(a = f(1) / f(0)\).

    1. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 2{,}5\) : \(f(x) = 2{,}5^{x}\).
    1. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 0{,}4\) : \(f(x) = 0{,}4^{x}\).
    1. \(f(0) = -2\), \(f(1) = -6\) : \(a = -6 / (-2) = 3\), donc \(f(x) = -2 \cdot 3^{x}\).
    1. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 1{,}2\) : \(f(x) = 1{,}2^{x}\).
    1. \(f(0) = 3\), \(f(1) = 6\) : \(a = 2\), donc \(f(x) = 3 \cdot 2^{x}\).
    1. \(f(0) = 4\), \(f(1) = 2\) : \(a = \frac{1}{2}\), donc \(f(x) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{x}\).
  • Prendre \(f(1)\) comme base quand \(k \neq 1\) : la base est le quotient \(f(1) / f(0)\).
  • En c), chercher une base négative : le signe vient de \(k = -2\), la base reste positive.

✎ Exercice 1.7 A2 ★★☆

Soit \(f(x) = 2^{x}\). Associe chaque expression à la transformation géométrique correspondante du graphe de \(f\), puis donne les coordonnées du point d’intersection de chaque graphe avec l’axe des ordonnées.

  1. \(g(x) = 2^{x} + 2\)
  2. \(h(x) = 2^{x - 2}\)
  3. \(k(x) = 2 \cdot 2^{x}\)
  4. \(l(x) = 2^{-x}\)
  • translation de \(2\) unités vers le haut ;
  1. translation de \(2\) unités vers la droite ;
  2. étirement vertical de facteur \(2\) ;
  3. symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

\(g\) ⟶ (a) translation vers le haut, o.à.o. \((0, 3)\). \(h\) ⟶ (b) translation vers la droite, o.à.o. \((0, 1/4)\). \(k = 2^{x + 1}\) ⟶ (c) étirement vertical, o.à.o. \((0, 2)\). \(l\) ⟶ (d) symétrie d’axe \(y\), o.à.o. \((0, 1)\).

Dans chaque expression, où a-t-on modifié \(2^{x}\) : on ajoute quelque chose au résultat, on change \(x\), ou on multiplie le résultat ?

Calcule \(g(0)\), \(h(0)\), \(k(0)\) et \(l(0)\) pour trouver les points sur l’axe des ordonnées.

  • \(g(x) = 2^{x} + 2\) : on ajoute \(2\) à chaque image, translation de \(2\) unités vers le haut (1). \(g(0) = 3\) : point \((0, 3)\).
  • \(h(x) = 2^{x - 2}\) : on remplace \(x\) par \(x - 2\), translation de \(2\) unités vers la droite (2). \(h(0) = 2^{-2} = \frac{1}{4}\) : point \((0, \frac{1}{4})\).
  • \(k(x) = 2 \cdot 2^{x}\) : chaque image est multipliée par \(2\), étirement vertical de facteur \(2\) (3). \(k(0) = 2\) : point \((0, 2)\).
  • \(l(x) = 2^{-x}\) : on remplace \(x\) par \(-x\), symétrie d’axe \(y\) (4). \(l(0) = 1\) : point \((0, 1)\).
  • Croire que \(2^{x - 2}\) déplace la courbe vers la gauche : on remplace \(x\) par \(x - 2\), la courbe se déplace vers la droite.
  • Confondre \(2 \cdot 2^{x}\) et \(2^{2 x}\) : \(2 \cdot 2^{x} = 2^{x + 1}\).

✎ Exercice 1.8 A2 ★★☆

La courbe de référence \(f(x) = 2^{x}\) est tracée en pointillés. Les courbes A, B, C en sont des transformées simples. Pour chacune, donne son expression analytique et nomme la transformation appliquée à \(f\).

■ A ■ B ■ C - - - référence \(2^{x}\)

A \(= 2^{x} + 2\) : translation verticale vers le haut (asymptote \(y = 2\), o.à.o. \(3\)). B \(= 2^{-x} = (1/2)^{x}\) : symétrie d’axe \(y\) (décroissante). C \(= -2^{x}\) : symétrie d’axe \(x\) (o.à.o. \(-1\)).

Pour chaque courbe, où coupe-t-elle l’axe des ordonnées ? Est-elle croissante ou décroissante ? Au-dessus ou en dessous de l’axe des \(x\) ?

La courbe A passe par \((0, 3)\) et a l’allure de \(2^{x}\) : que faut-il ajouter à \(2^{x}\) ?

  • A : même allure que \(2^{x}\), décalée de \(2\) vers le haut (elle passe par \((0, 3)\) et s’approche de la droite \(y = 2\)). A \(= 2^{x} + 2\) : translation de \(2\) unités vers le haut.
  • B : passe par \((0, 1)\) et décroît. B \(= 2^{-x} = (\frac{1}{2})^{x}\) : symétrie d’axe \(y\).
  • C : sous l’axe des \(x\), passe par \((0, -1)\). C \(= -2^{x}\) : symétrie d’axe \(x\).
  • Écrire B \(= -2^{x}\) : le symétrique par rapport à l’axe \(y\) reste au-dessus de l’axe des \(x\).
  • Écrire A \(= 3 \cdot 2^{x}\) parce qu’elle passe par \((0, 3)\) : regarde aussi vers quoi elle tend à gauche (\(y = 2\), pas \(0\)).

✎ Exercice 1.9 A3 ★★☆

Associe chaque expression analytique au graphique correspondant (I à IV).

I

II

III

IV

Expressions à placer : \(f(x) = 2^{x}\) \(g(x) = 3 \cdot 2^{x}\) \(h(x) = (\frac{1}{2})^{x}\) \(k(x) = -2^{x}\)

I \(= g = 3 \cdot 2^{x}\) (o.à.o. \(3\)) ; II \(= f = 2^{x}\) (o.à.o. \(1\)) ; III \(= h = (1/2)^{x}\) (décroissante) ; IV \(= k = -2^{x}\) (sous l’axe, o.à.o. \(-1\)).

Relis l’exemple « lire un multiple » : \(k = f(0)\) se lit sur l’axe des ordonnées.

Pour chaque graphique : où la courbe coupe-t-elle l’axe des ordonnées ? Croît-elle ou décroît-elle ?

Calcule \(f(0)\), \(g(0)\), \(h(0)\) et \(k(0)\), puis compare avec les graphiques.

\(f(0) = 1\), \(g(0) = 3\), \(h(0) = 1\), \(k(0) = -1\).

  • I passe par \((0, 3)\) : I \(= g\), \(g(x) = 3 \cdot 2^{x}\).
  • II passe par \((0, 1)\) et croît : II \(= f\), \(f(x) = 2^{x}\).
  • III passe par \((0, 1)\) et décroît (base \(\frac{1}{2} < 1\)) : III \(= h\), \(h(x) = (\frac{1}{2})^{x}\).
  • IV est sous l’axe des \(x\) et passe par \((0, -1)\) : IV \(= k\), \(k(x) = -2^{x}\).
  • Confondre II et III : les deux passent par \((0, 1)\), c’est le sens de variation qui les distingue.

✎ Exercice 1.10 C4 ★★☆

On considère une fonction exponentielle de la forme

\(f(x) = C \cdot a^{x}\)

et on sait que \(f(0) = 400\) et \(f(3) = 500\).

  1. Détermine la valeur de \(C\).
  2. En utilisant la valeur de \(f(3)\), établis une équation permettant de déterminer la base \(a\).
  3. Détermine la valeur de \(a\) à l’aide de la calculatrice.
  4. Donne finalement l’expression analytique de \(f\).
  1. \(C = f(0) = 400\). 2) \(400 \cdot a^{3} = 500 ⟹ a^{3} = 1{,}25\). 3) \(a = \sqrt[3]{1{,}25} \approx 1{,}0772\). 4) \(f(x) = 400 \cdot 1{,}0772^{x}\).

Relis la définition des multiples : que vaut \(f(0)\) pour \(f(x) = C \cdot a^{x}\) ?

Que vaut \(a^{0}\) ? Et que devient l’égalité \(f(3) = 500\) quand tu remplaces \(C\) par sa valeur ?

\(400 \cdot a^{3} = 500\), donc \(a^{3} = 500 / 400\). La base est la racine cubique de ce nombre.

  1. \(f(0) = C \cdot a^{0} = C\), donc \(C = 400\).
  2. \(f(3) = 500\) donne \(400 \cdot a^{3} = 500\), soit \(a^{3} = \frac{500}{400} = 1{,}25\).
  3. \(a = \sqrt[3]{1{,}25} \approx 1{,}0772\) (la base est positive).
  4. \(f(x) = 400 \cdot 1{,}0772^{x}\).
  • Diviser \(500\) par \(3\) au lieu de prendre une racine cubique : \(a^{3} = 1{,}25\) ne donne pas \(a = 1{,}25 / 3\).
  • Oublier \(C\) dans l’équation : \(a^{3} = 500\) est faux.

✎ Exercice 1.11 A1 ★☆☆

On considère la fonction \(f(x) = 250 \cdot 1{,}08^{x}\). À l’aide de la calculatrice, calcule les valeurs suivantes. Donne chaque résultat au dixième près.

  1. \(f(0)\)
  2. \(f(2)\)
  3. \(f(5)\)
  4. \(f(10)\)
  1. \(f(1{,}5)\)
  2. \(f(7{,}25)\)
  3. \(f(-2)\)
  4. \(f(12{,}5)\)

Que remarques-tu concernant les valeurs obtenues lorsque l’exposant n’est pas entier ?

\(f(0) = 250\) ; \(f(2) \approx 291{,}6\) ; \(f(5) \approx 367{,}3\) ; \(f(10) \approx 539{,}7\) ; \(f(1{,}5) \approx 280{,}6\) ; \(f(7{,}25) \approx 436{,}8\) ; \(f(-2) \approx 214{,}3\) ; \(f(12{,}5) \approx 654{,}2\). L’exponentielle est définie pour tout réel : un exposant non entier (ou négatif) donne une valeur parfaitement définie — la courbe est continue.

Relis la définition de la fonction exponentielle : pour quels réels \(x\) est-elle définie ?

Comment saisir un exposant non entier ou négatif sur ta calculatrice (touche \(x^{y}\) ou ^) ?

Calcule d’abord \(1{,}08^{x}\), puis multiplie par \(250\) ; arrondis seulement à la fin.

\(f(0) = 250\) ; \(f(2) \approx 291{,}6\) ; \(f(5) \approx 367{,}3\) ; \(f(10) \approx 539{,}7\) ; \(f(1{,}5) \approx 280{,}6\) ; \(f(7{,}25) \approx 436{,}8\) ; \(f(-2) \approx 214{,}3\) ; \(f(12{,}5) \approx 654{,}2\).

Les exposants non entiers ou négatifs donnent des valeurs bien définies, situées entre les valeurs voisines (\(f(1{,}5)\) est entre \(f(1)\) et \(f(2)\)) : la fonction est définie pour tout réel et sa courbe est continue.

  • Calculer \((250 \cdot 1{,}08)^{x}\) : la priorité donne \(250 \cdot (1{,}08^{x})\).
  • Arrondir \(1{,}08^{x}\) avant de multiplier par \(250\).

Modéliser avec une exponentielle

Les multiples d’exponentielles servent surtout à modéliser : dès qu’une grandeur est multipliée par un même facteur à intervalles réguliers, on l’écrit \(k \cdot a^{x}\) (ou \(k \cdot a^{x / T}\) si la période \(T\) n’est pas \(1\)).

✎ Exercice 1.12 C3 ★★☆

La quantité d’un médicament présente dans le sang d’un patient est modélisée par la fonction

\[ C(t) = 80 \cdot 0{,}75^{2 t}, \]

où \(t\) est exprimé en heures et \(C(t)\) en milligrammes.

  1. Que représente le nombre \(80\) dans ce modèle ?
  2. Que représente le nombre \(0{,}75\) ?
  3. Que signifie le facteur \(2\) présent dans l’exposant ?
  4. Par quel facteur la quantité est-elle multipliée lorsque \(t\) augmente d’une heure ?
  5. La quantité diminue-t-elle de \(25 \%\) par heure ? Justifie ta réponse.
  1. La dose initiale (\(t = 0\)), soit \(80\) mg. 2) Le facteur multiplicatif par demi-heure (quand \(t\) augmente de \(0{,}5\), l’exposant augmente de \(1\)). 3) Le phénomène se répète deux fois par heure : chaque heure, on multiplie deux fois par \(0{,}75\). 4) Par heure : \(0{,}75^{2} = 0{,}5625\). 5) Non : \(-25 \%\) correspondrait au facteur \(0{,}75\) par heure ; or le facteur horaire vaut \(0{,}5625\), soit une baisse de \(43{,}75 \%\) par heure (les \(25 \%\) valent par demi-heure).

Relis l’exemple « modéliser une situation » : dans \(C \cdot a^{x}\), que représentent \(C\) et \(a\) ?

Quand \(t\) augmente de \(0{,}5\), de combien augmente l’exposant \(2 t\) ? Et quand \(t\) augmente de \(1\) ?

\(C(t + 1) = 80 \cdot 0{,}75^{2 t + 2} = C(t) \cdot 0{,}75^{2}\).

  1. \(C(0) = 80 \cdot 0{,}75^{0} = 80\) : \(80\) mg est la quantité initiale (à \(t = 0\)).
  2. Quand \(t\) augmente de \(0{,}5\) h, l’exposant \(2 t\) augmente de \(1\) : \(0{,}75\) est le facteur multiplicatif par demi-heure.
  3. Le facteur \(2\) signifie que la multiplication par \(0{,}75\) a lieu deux fois par heure.
  4. \(C(t + 1) = 80 \cdot 0{,}75^{2 t + 2} = C(t) \cdot 0{,}75^{2} = C(t) \cdot 0{,}5625\) : la quantité est multipliée par \(0{,}5625\) chaque heure.
  5. Non. Une diminution de \(25 \%\) par heure correspondrait au facteur \(0{,}75\) par heure ; le facteur horaire vaut \(0{,}5625 = 1 - 0{,}4375\), soit une diminution de \(43{,}75 \%\) par heure. Les \(25 \%\) valent par demi-heure.
  • Répondre « oui, \(25 \%\) par heure » en lisant seulement la base \(0{,}75\) sans tenir compte du \(2\) dans l’exposant.
  • Doubler le pourcentage (\(50 \%\) par heure) : deux diminutions successives de \(25 \%\) ne font pas \(50 \%\).

✎ Exercice 1.13 T1 ★★☆

Pour chacune des situations suivantes, choisis le modèle qui te semble le plus approprié parmi les modèles rencontrés en classe. Justifie ton choix.

Situations :

  1. Une entreprise augmente chaque année le salaire de ses employés de \(150\) €.
  2. Une population de bactéries augmente de \(30 \%\) chaque heure.
  3. La température d’un liquide augmente de \(2\) °C par minute pendant les cinq premières minutes.
  4. La valeur d’une voiture diminue de \(12 \%\) chaque année.

Modèles possibles :

  • croissance affine ;
  • croissance exponentielle ;
  • décroissance affine ;
  • décroissance exponentielle.

Pour chaque situation, précise le modèle choisi et explique en une phrase ce qui justifie ton choix.

  1. Croissance affine : on ajoute \(150\) € chaque année (montant fixe). 2) Croissance exponentielle : on multiplie par \(1{,}3\) (\(+30 \%\)) chaque heure. 3) Croissance affine : on ajoute \(2\) °C par minute (taux constant). 4) Décroissance exponentielle : on multiplie par \(0{,}88\) chaque année.

Relis la définition de la croissance exponentielle : on multiplie par un même nombre à chaque pas.

Dans chaque situation, à chaque pas de temps, ajoute-t-on (ou retire-t-on) un même nombre, ou multiplie-t-on par un même nombre ?

Un pourcentage d’augmentation ou de diminution revient à multiplier : \(+30 \%\) donne \(\times 1{,}3\).

  1. Croissance affine : le salaire augmente chaque année du même montant (\(+150\) €).
  2. Croissance exponentielle : la population est multipliée chaque heure par \(1{,}3\) (\(+30 \%\)).
  3. Croissance affine : la température augmente chaque minute du même nombre de degrés (\(+2\) °C).
  4. Décroissance exponentielle : la valeur est multipliée chaque année par \(0{,}88\) (\(-12 \%\)).
  • Classer « \(+30 \%\) par heure » en affine : un pourcentage constant donne un facteur constant, donc une croissance exponentielle.

Exemple 1.3 — modéliser une situation

Une population de \(500\) bactéries triple toutes les heures. Modélisons son effectif \(N(t)\) après \(t\) heures. On multiplie par \(3\) chaque heure, en partant de \(500\) : donc \(N(t) = 500 \cdot 3^{t}\). Après \(4\) heures : \(N(4) = 500 \cdot 3^{4} = 500 \cdot 81 = 40 \, 500\) bactéries.

✎ Exercice 1.14 T2 ★★☆

En \(1850\), Bourgville comptait \(100\) habitants ; sa population double tous les dix ans.

  1. Donne l’expression \(P(x)\) du nombre d’habitants \(x\) années après \(1850\).
  2. Combien d’habitants en \(1900\), en \(1950\), en \(2000\) ?

Relis l’exemple « modéliser une situation » : quand le facteur s’applique tous les \(10\) ans, quel est l’exposant ?

Combien de fois la population a-t-elle doublé après \(x\) années ?

Après \(x\) années, la population a doublé \(x / 10\) fois : \(P(x) = 100 \cdot 2^{x / 10}\).

  1. La population initiale vaut \(100\) et elle est multipliée par \(2\) tous les \(10\) ans ; après \(x\) années, elle a doublé \(\frac{x}{10}\) fois : \(P(x) = 100 \cdot 2^{x / 10}\).

    • En \(1900\) (\(x = 50\)) : \(P(50) = 100 \cdot 2^{5} = 3 \, 200\) habitants.

    • En \(1950\) (\(x = 100\)) : \(P(100) = 100 \cdot 2^{10} = 102 \, 400\) habitants.

    • En \(2000\) (\(x = 150\)) : \(P(150) = 100 \cdot 2^{15} = 3 \, 276 \, 800\) habitants.

  • Écrire \(P(x) = 100 \cdot 2^{x}\) : la population doublerait chaque année.
  • Prendre \(x = 1900\) au lieu de \(x = 50\) : \(x\) compte les années depuis \(1850\).

✎ Exercice 1.15 T2 ★★☆

Dans une famille de lapins, le nombre d’individus double tous les sept jours ; elle compte actuellement \(100\) lapins.

  1. Donne l’expression \(L(t)\) du nombre de lapins après \(t\) jours.
  2. Combien de lapins dans un mois (\(30\) jours) ? Dans trois mois (\(90\) jours) ?

Relis l’exemple « modéliser une situation » et compare avec l’exercice de Bourgville.

Après \(t\) jours, combien de périodes de \(7\) jours se sont écoulées ?

\(L(t) = 100 \cdot 2^{t / 7}\) ; calcule \(L(30)\) et \(L(90)\) à la calculatrice.

  1. Il y a \(100\) lapins au départ et leur nombre est multiplié par \(2\) tous les \(7\) jours : \(L(t) = 100 \cdot 2^{t / 7}\).

    • Dans un mois : \(L(30) = 100 \cdot 2^{30 / 7} \approx 1 \, 950\) lapins.

    • Dans trois mois : \(L(90) = 100 \cdot 2^{90 / 7} \approx 742 \, 000\) lapins.

  • Calculer \(2^{30} / 7\) au lieu de \(2^{30 / 7}\) : mets l’exposant entre parenthèses sur la calculatrice.

✎ Exercice 1.16 T3 ★★★

Dans un pays en crise, la monnaie (le « sou ») se déprécie de \(8{,}5 \%\) par an.

  1. Donne l’expression de la « valeur réelle » \(R(t)\) d’un billet de \(1000\) sous après \(t\) années.
  2. Que vaudra ce billet dans \(5\) ans ? Dans \(10\) ans ?

Relis l’exemple « modéliser une situation » : une diminution de \(p \%\) revient à multiplier par \(1 - \frac{p}{100}\).

Si le billet perd \(8{,}5 \%\) de sa valeur en un an, quelle part de sa valeur garde-t-il ?

Le facteur annuel vaut \(1 - 0{,}085 = 0{,}915\).

  1. Chaque année, la valeur réelle est multipliée par \(1 - 0{,}085 = 0{,}915\) ; au départ elle vaut \(1000\) sous : \(R(t) = 1000 \cdot 0{,}915^{t}\).

    • Dans \(5\) ans : \(R(5) = 1000 \cdot 0{,}915^{5} \approx 641\) sous.

    • Dans \(10\) ans : \(R(10) = 1000 \cdot 0{,}915^{10} \approx 411\) sous.

  • Prendre \(0{,}085\) comme base : c’est la part perdue, pas la part conservée.
  • Soustraire \(10 \cdot 85\) sous en \(10\) ans : la perte est un pourcentage de la valeur restante, elle diminue chaque année.

✎ Exercice 1.17 T3 ★★★

En janvier \(2017\), Jules achète une voiture à \(29 \, 850\) €. Elle se déprécie d’environ \(15 \%\) par an pendant les premières années.

  1. Modélise la valeur \(V(x)\) de la voiture \(x\) années après l’achat.
  2. Quelle est sa valeur \(10\) ans plus tard ?
  3. Peut-on parler de « bon placement » ? Justifie.

Une dépréciation de \(15 \%\) par an : par quel nombre la valeur est-elle multipliée chaque année ?

\(V(x) = 29 \, 850 \cdot 0{,}85^{x}\) ; calcule \(V(10)\).

  1. Chaque année, la valeur est multipliée par \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\) : \(V(x) = 29 \, 850 \cdot 0{,}85^{x}\).
  2. \(V(10) = 29 \, 850 \cdot 0{,}85^{10} \approx 5 \, 877\) € : après \(10\) ans, la voiture ne vaut plus qu’environ \(5 \, 877\) €.
  3. Non : la base \(0{,}85\) est inférieure à \(1\), la valeur décroît. Après \(10\) ans, elle a perdu environ \(80 \%\) de son prix d’achat ; ce n’est pas un placement.
  • Utiliser la base \(1{,}15\) : une dépréciation fait diminuer la valeur.

✔ S’autoévaluer sur cette section : test de 7 questions →