Définition du logarithme de base a
Ce que \(\ln\) fait pour la base \(e\), on le définit pour n’importe quelle base.
Définition 2.1 — logarithme de base \(a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Le logarithme de base \(a\), noté \(\log_{a}\), est la fonction réciproque de l’exponentielle de base \(a\) : pour tout \(x \in \mathbb{R}^{>0}\) et pour tout \(y \in \mathbb{R}\),
\[ \log_{a} (x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad a^{y} = x. \]
Son domaine est \(\mathbb{R}^{> 0}\) : on ne prend le logarithme que d’un nombre strictement positif.
Autrement dit, \(\log_{a} (x)\) répond à la question : « à quel exposant faut-il élever \(a\) pour obtenir \(x\) ? »
Exemple 2.1 — calculer un logarithme, c’est chercher un exposant
\(\log_{2} (8) = 3\) car \(2^{3} = 8\). \(\log_{5} (\frac{1}{25}) = -2\) car \(5^{-2} = \frac{1}{25}\).
Activité 2.3 — calcul mental de logarithmes
Complète en te ramenant à la question « quel exposant ? ».
\(\log_{2} (16) =\) \(4\) car \(2^{4} = 16\)
\(\log_{2} (\sqrt{2}) =\) \(\frac{1}{2}\)
\(\log_{3} (1) =\) \(0\)
\(\log_{5} (5) =\) \(1\)
\(\log_{10} (1000) =\) \(3\)
\(\log_{2} (\frac{1}{8}) =\) \(-3\)
\(\log_{5} (-5) =\) impossible
\(\log_{3} (0) =\) impossible
Un logarithme n’est pas toujours « rond ». Même sans en connaître la valeur exacte, on peut le situer entre deux entiers — puisque c’est un exposant.
Activité 2.4 — situer un logarithme sans le calculer
\(\log_{2} (10)\) est-il plus grand ou plus petit que \(3\) ? Compare \(10\) à \(2^{3}\) : comme \(2^{3} = 8 < 10\), on a \(\log_{2} (10) \class{rep}{>} 3\).
Entre quels deux entiers consécutifs se situe \(\log_{2} (100)\) ? Encadre \(100\) par deux puissances de \(2\) : \(2^{6} = 64 \leq 100 \leq 128 = 2^{7}\), donc \(\class{rep}{6} < \log_{2} (100) < \class{rep}{7}\).
Encadre de même : \(\class{rep}{2} < \log(500) < \class{rep}{3}\) (car \(10^{2} \leq 500 \leq 10^{3}\)) ; \(\class{rep}{3} < \log_{3} (50) < \class{rep}{4}\) (car \(3^{3} = 27 \leq 50 \leq 81 = 3^{4}\)).
Range dans l’ordre croissant, sans calculatrice : \(\log_{2} (5)\), \(2\), \(\log_{2} (3)\). \(\log_{2} (3) < 2 < \log_{2} (5)\) (car \(\log_{2} (4) = 2\))
De la définition (réciprocité) découlent immédiatement les identités de base.
Propriété 2.2 — réciprocité et valeurs remarquables
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors :
- \(\log_{a} (a^{x}) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et \(a^{\log_{a} (x)} = x\) pour tout \(x > 0\) ;
- \(\log_{a} (1) = 0\) (car \(a^{0} = 1\)) ; \(\log_{a} (a) = 1\) (car \(a^{1} = a\)).
Deux logarithmes usuels : \(\ln\) et \(\log\)
La calculatrice possède deux touches : ln (logarithme de base \(e\), le logarithme népérien, \(\ln = \log_{e}\)) et log (logarithme de base \(10\), le logarithme décimal, \(\log = \log_{10}\)). Ces deux logarithmes sont les plus utilisés. De plus, on verra plus loin que la calculatrice n’a pas besoin d’autres logarithmes.
Exemple 2.2 — à la calculatrice
\(\ln(e^{4}) = 4\), \(\log(10^{-2}) = -2\), \(e^{\ln(7)} = 7\), \(\log(1) = 0\).