Utiliser les propriétés

Exemple 2.4 — développer

\(\ln(\frac{a b^{2}}{c}) = \ln(a b^{2}) - \ln(c) = \ln(a) + \ln(b^{2}) - \ln(c) = \ln(a) + 2 \ln(b) - \ln(c)\) (produit, puis quotient, puis puissance).

✎ Exercice 2.9 ★★☆

Développe en sommes et différences de multiples de \(\ln\) ou \(\log\). Nomme la propriété utilisée à chaque étape.

\(\ln(a b^{2} c)\)
\(\ln(a \frac{b}{c})\)

\(\ln(\sqrt{a b^{2}})\)
\(\log(10 x y)\)

\(\log(x^{2} y^{3})\)
\(\log(\sqrt[3]{10 x})\)

Relis les propriétés du logarithme d’un produit, d’un quotient et d’une puissance, puis l’exemple « développer ».

Dans chaque expression, repère d’abord l’opération principale : produit, quotient, puissance ou racine ?

Écris les racines comme des puissances : \(\sqrt{a b^{2}} = (a b^{2})^{1/2}\) et \(\sqrt[3]{10 x} = (10 x)^{1/3}\).

On suppose toutes les lettres strictement positives.

\(\ln(a b^{2} c) = \ln a + \ln b^{2} + \ln c = \ln a + 2 \ln b + \ln c\) (produit, puis puissance).
\(\ln(\frac{a b}{c}) = \ln(a b) - \ln c = \ln a + \ln b - \ln c\) (quotient, puis produit).
\(\ln \sqrt{a b^{2}} = \frac{1}{2} \ln(a b^{2}) = \frac{1}{2} (\ln a + 2 \ln b) = \frac{1}{2} \ln a + \ln b\) (puissance \(1/2\), puis produit).
\(\log(10 x y) = \log 10 + \log x + \log y = 1 + \log x + \log y\) (produit ; \(\log 10 = 1\)).
\(\log(x^{2} y^{3}) = \log x^{2} + \log y^{3} = 2 \log x + 3 \log y\) (produit, puis puissances).
\(\log \sqrt[3]{10 x} = \frac{1}{3} \log(10 x) = \frac{1}{3} (1 + \log x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \log x\) (puissance \(1/3\), puis produit).

Écrire \(\ln(a b^{2} c) = \ln a \cdot 2 \ln b \cdot \ln c\) : le logarithme d’un produit est une somme.
Appliquer l’exposant \(2\) à tout le produit : dans \(a b^{2}\), seul \(b\) est au carré.

Exemple 2.5 — condenser

\(\log(a) - 2 \log(b) = \log(a) - \log(b^{2}) = \log(\frac{a}{b^{2}})\) (puissance à l’envers, puis quotient).

✎ Exercice 2.10 ★★☆

Écris chaque expression sous la forme d’un seul logarithme.

\(\log(3 b) + \log(5 a)\)
\(\ln(6 c) - \ln(b)\)
\(\log(3 x) + \log(y) - \log(2 x)\)

\(\log(a) - 2 \log(b) + 3 \log(c)\)
\(\ln(3 x) + 2 \ln(x) - \frac{1}{2} \ln(y)\)
\(\log(4 x) + \log(x + 1) - \log(y - 6)\)

Relis l’exemple « condenser ».

Commence par faire « rentrer » les coefficients : \(2 \log b = \log b^{2}\). Puis les sommes deviennent des produits et les différences des quotients.

Pour 5), \(2 \ln x = \ln x^{2}\) et \(\frac{1}{2} \ln y = \ln \sqrt{y}\).

\(\log(3 b) + \log(5 a) = \log(3 b \cdot 5 a) = \log(15 a b)\).
\(\ln(6 c) - \ln b = \ln(\frac{6 c}{b})\).
\(\log(3 x) + \log y - \log(2 x) = \log(\frac{3 x y}{2 x}) = \log(\frac{3 y}{2})\).
\(\log a - 2 \log b + 3 \log c = \log a - \log b^{2} + \log c^{3} = \log(\frac{a c^{3}}{b^{2}})\).
\(\ln(3 x) + 2 \ln x - \frac{1}{2} \ln y = \ln(3 x) + \ln x^{2} - \ln \sqrt{y} = \ln(\frac{3 x^{3}}{\sqrt{y}})\).
\(\log(4 x) + \log(x + 1) - \log(y - 6) = \log(\frac{4 x (x + 1)}{y - 6})\).

Condenser avant de faire rentrer les coefficients : \(\log a - 2 \log b \neq \log(\frac{a}{2 b})\).
Écrire \(\log(x + 1) = \log x + \log 1\) : il n’y a pas de règle pour le logarithme d’une somme.

✎ Exercice 2.11 ★☆☆

Écris le plus simplement possible.

\(\log(\sqrt{10^{3}})\)
\(\ln(\frac{1}{e^{3}})\)

\(\ln(\sqrt{e})\)
\(\ln(e^{2}) - \ln(e^{-2})\)

Relis la propriété de réciprocité : \(\log_{a} (a^{y}) = y\).

Peux-tu écrire ce qui est dans le logarithme comme une puissance de la base (\(10\) pour \(\log\), \(e\) pour \(\ln\)) ?

\(\sqrt{10^{3}} = 10^{3/2}\) et \(1 / e^{3} = e^{-3}\).

\(\log \sqrt{10^{3}} = \log 10^{3/2} = \frac{3}{2}\).
\(\ln(1 / e^{3}) = \ln e^{-3} = -3\).
\(\ln \sqrt{e} = \ln e^{1/2} = \frac{1}{2}\).
\(\ln e^{2} - \ln e^{-2} = 2 - (-2) = 4\).

En 4), oublier le signe : \(- \ln e^{-2} = +2\).

Les propriétés vraies (produit, quotient, puissance) en suggèrent de fausses, par ressemblance de forme. L’exercice suivant sert à les distinguer une fois pour toutes.

✎ Exercice 2.12 C6 ★★☆

Vrai ou faux ? Pour chaque affirmation, tranche et justifie (par une propriété si c’est vrai, par un contre-exemple numérique si c’est faux).

Un élève écrit \(\log(x + y) = \log(x) + \log(y)\). A-t-il raison ?
\(\log(x y) = \log(x) \cdot \log(y)\) ?
\(\log(x^{p}) = (\log(x))^{p}\) ?
\(\log(x) - \log(y) = \log(\frac{x}{y})\) ?

Relis les propriétés du produit, du quotient et de la puissance.

Choisis des valeurs simples, comme \(x = y = 10\) : que valent les deux membres ?

Avec \(x = 10\) et \(y = 10\) : \(\log(x + y) = \log 20 \approx 1{,}30\) et \(\log x + \log y = 2\).

Faux. Avec \(x = y = 10\) : \(\log(10 + 10) = \log 20 \approx 1{,}30\), alors que \(\log 10 + \log 10 = 2\).
Faux. Avec \(x = y = 10\) : \(\log(10 \cdot 10) = \log 100 = 2\), alors que \(\log 10 \cdot \log 10 = 1\). Le logarithme d’un produit est une somme : \(\log(x y) = \log x + \log y\).
Faux. Avec \(x = 10\) et \(p = 2\) : \(\log(10^{2}) = 2\), alors que \((\log 10)^{2} = 1\). L’exposant passe devant : \(\log(x^{p}) = p \log x\).
Vrai pour \(x > 0\) et \(y > 0\) : c’est la propriété du logarithme d’un quotient.

Justifier « faux » par une phrase générale sans contre-exemple chiffré.
Choisir un contre-exemple qui ne contredit rien : avec \(x = 100\) et \(p = 2\), \(\log(x^{p}) = 4 = (\log x)^{p}\).

✎ Exercice 2.13 C6 ★★☆

Sur le modèle des démonstrations du cours, établis chaque égalité en comparant les exponentielles des deux membres, puis en invoquant l’injectivité de \(a^{x}\) . Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) et \(x \in \mathbb{R}^{> 0}\).

\(\log_{a} (\frac{1}{x}) = - \log_{a} (x)\) ;
\(\log_{a} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \log_{a} (x)\).

(1) Posons \(u = \log_{a} (1/x)\) et \(v = - \log_{a} (x)\). Alors \(a^{u} = 1/x\) et \(a^{v} = a^{-\log_{a} (x)} = \frac{1}{a^{\log_{a} (x)}} = 1/x\). Donc \(a^{u} = a^{v}\), d’où \(u = v\) par injectivité de \(a^{x}\). (2) Posons \(u = \log_{a} (\sqrt{x})\) et \(v = \frac{1}{2} \log_{a} (x)\). Alors \(a^{u} = \sqrt{x}\) et \(a^{v} = (a^{\log_{a} (x)})^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}\). Donc \(u = v\) (cas particulier de la propriété de la puissance avec \(p = 1/2\)).

Relis la preuve de la propriété du quotient et la réciprocité \(a^{\log_{a} (x)} = x\).

Si tu poses \(u\) = membre de gauche et \(v\) = membre de droite, que valent \(a^{u}\) et \(a^{v}\) ?

\(a^{- \log_{a} (x)} = \frac{1}{a^{\log_{a} (x)}} = \frac{1}{x}\).

Posons \(u = \log_{a} (1 / x)\) et \(v = - \log_{a} (x)\). Par réciprocité, \(a^{u} = 1 / x\). Par les règles des exposants, \(a^{v} = 1 / a^{\log_{a} (x)} = 1 / x\). Donc \(a^{u} = a^{v}\) et, comme \(a^{x}\) est strictement monotone (injective), \(u = v\) : \(\log_{a} (1 / x) = - \log_{a} (x)\).
Posons \(u = \log_{a} (\sqrt{x})\) et \(v = \frac{1}{2} \log_{a} (x)\). Par réciprocité, \(a^{u} = \sqrt{x}\). Et \(a^{v} = (a^{\log_{a} (x)})^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}\). Donc \(a^{u} = a^{v}\), d’où \(u = v\) : \(\log_{a} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \log_{a} (x)\).

Utiliser la propriété à démontrer dans la démonstration.
Oublier de citer la stricte monotonie de \(a^{x}\) pour passer de \(a^{u} = a^{v}\) à \(u = v\).

✎ Exercice 2.14 A1 ★★☆

Par changement de base calcule: \(\log_{9} (100)\) ; \(\log_{5} (e)\).
Sachant que \(\log(x) = 2{,}4\), calcule \(\log(x^{2})\), \(\log(\frac{1}{x})\), \(\log(1000 x)\).

Relis la propriété du changement de base et l’exemple à la calculatrice.

Avec quelle base ta calculatrice sait-elle calculer ? b) Comment s’écrivent \(\log(x^{2})\), \(\log(1/x)\) et \(\log(1000 x)\) à l’aide de \(\log x\) ?

\(\log_{9} (100) = \log 100 / \log 9\) ; \(\log(1000 x) = \log 1000 + \log x\).

Par changement de base :

\(\log_{9} (100) = \frac{\log 100}{\log 9} = \frac{2}{\log 9} \approx 2{,}096\).
\(\log_{5} (e) = \frac{\ln e}{\ln 5} = \frac{1}{\ln 5} \approx 0{,}621\).

Avec \(\log x = 2{,}4\) :

\(\log(x^{2}) = 2 \log x = 4{,}8\) ;
\(\log(1 / x) = - \log x = -2{,}4\) ;
\(\log(1000 x) = \log 1000 + \log x = 3 + 2{,}4 = 5{,}4\).

Écrire \(\log_{9} (100) = \log(100 / 9)\) : le changement de base est un quotient de logarithmes.
Calculer \(\log(1000 x) = 1000 \cdot 2{,}4\).

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