Limites de base

Le comportement aux bornes d’une exponentielle ou d’un logarithme se lit directement sur son graphique, connu depuis les chapitres 1 et 2. Aucune technique nouvelle : on esquisse, puis on lit.

Activité 3.4 — lire les limites sur une esquisse

Deux exponentielles et leur comportement aux bornes. À partir des courbes ci-dessous, complète les limites.

Base \(a = 2 > 1\) (rouge) :

  • \(\lim\limits_{x \to +\infty} 2^{x} = \class{rep}{+\infty}\)
  • \(\lim\limits_{x \to -\infty} 2^{x} = \class{rep}{0}\)

Base \(a = 0{,}4 < 1\) (bleu) :

  • \(\lim\limits_{x \to +\infty} 0{,}4^{x} = \class{rep}{0}\)
  • \(\lim\limits_{x \to -\infty} 0{,}4^{x} = \class{rep}{+\infty}\)

Propriété 3.6 — limites de référence

Exponentielle, \(a > 1\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} a^{x} = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} a^{x} = 0\). Logarithme, \(a > 1\) : \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = -\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \log_{a} x = +\infty\).

Exponentielle, \(0 < a < 1\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} a^{x} = 0\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} a^{x} = +\infty\). Logarithme, \(0 < a < 1\) : \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \log_{a} x = -\infty\).

✎ Exercice 3.5 A7 ★☆☆

Calcule les limites suivantes après avoir esquissé rapidement le graphique de la fonction.

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} 4^{x}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} (\frac{1}{3})^{2 x}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} 2^{-x}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} 0{,}3^{x}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} 0{,}3^{x - 1}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x + 1)\)

La base est-elle supérieure ou inférieure à \(1\) ? Vers quoi tend l’exposant ?

\(2^{-x} = (\frac{1}{2})^{x}\) ; \((\frac{1}{3})^{2 x} = (\frac{1}{9})^{x}\).

  1. Base \(4 > 1\), fonction croissante qui monte sans limite : \(\lim\limits_{x \to +\infty} 4^{x} = +\infty\).
  2. \((\frac{1}{3})^{2 x} = (\frac{1}{9})^{x}\), base \(< 1\), décroissante ; vers la gauche elle monte sans limite : \(\lim\limits_{x \to -\infty} (\frac{1}{9})^{x} = +\infty\).
  3. \(2^{-x} = (\frac{1}{2})^{x}\), base \(< 1\) ; vers la droite elle se rapproche de l’axe \(x\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{1}{2})^{x} = 0\).
  4. Base \(0{,}3 < 1\) ; vers la gauche : \(\lim\limits_{x \to -\infty} 0{,}3^{x} = +\infty\).
  5. Quand \(x \to -\infty\), \(x - 1 \to -\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} 0{,}3^{x - 1} = +\infty\).
  6. Quand \(x \to +\infty\), \(x + 1 \to +\infty\) et \(\ln\) croît sans limite : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x + 1) = +\infty\).
  • Pour une base inférieure à \(1\), inverser les deux côtés : \(0{,}3^{x}\) tend vers \(0\) en \(+\infty\) et vers \(+\infty\) en \(-\infty\).

Quand la fonction est une combinaison (somme, produit, quotient), on applique les règles de calcul des limites vues en 5e, en s’appuyant sur les limites de référence ci-dessus.

Exemple 3.5 — par les règles de calcul

\(\lim\limits_{x \to +\infty} x \cdot 4^{x}\) : produit de deux facteurs qui tendent vers \(+\infty\), donc la limite vaut \(+\infty\).

\(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}\) : comme \(2^{x} \to 0\), le quotient tend vers \(\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1\).

✎ Exercice 3.6 A7 ★★☆

En utilisant les règles de calcul, détermine les limites.

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x \cdot 4^{x}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 2} x \cdot 3^{x}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{0{,}5^{x} - 1}{0{,}5^{x} + 1}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x}{3^{x}}\)

Vers quoi tend chaque facteur (numérateur, dénominateur) ? Y a-t-il un problème, ou peut-on conclure directement ?

En 2) et 4), la fonction est définie en \(2\) : il suffit de remplacer \(x\) par \(2\).

  1. \(x \to +\infty\) et \(4^{x} \to +\infty\) : le produit de deux facteurs qui deviennent aussi grands qu’on veut devient aussi grand qu’on veut. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x \cdot 4^{x} = +\infty\).
  2. La fonction est définie en \(2\) : \(\lim\limits_{x \to 2} x \cdot 3^{x} = 2 \cdot 3^{2} = 18\).
  3. \(0{,}5^{x} \to 0{,}5^{0} = 1\) : \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{0{,}5^{x} - 1}{0{,}5^{x} + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0\).
  4. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x}{3^{x}} = \frac{2}{3^{2}} = \frac{2}{9}\).
  • Chercher une difficulté là où il n’y en a pas : si la fonction est définie en \(a\), on remplace.

✎ Exercice 3.7 A7 ★★☆

Même consigne (attention au signe de la limite de l’exponentielle).

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{0{,}5^{x} - 1}{0{,}5^{x} + 1}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}\)

Vers quoi tend la puissance (\(0{,}5^{x}\), \(2^{x}\), \(e^{x}\)) dans chaque cas ?

En 1), \(0{,}5^{x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\) ; le quotient tend vers \(\frac{0 - 1}{0 + 1}\).

  1. Base \(0{,}5 < 1\) : \(0{,}5^{x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\). Donc la limite vaut \(\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1\).
  2. Base \(2 > 1\) : \(2^{x} \to 0\) quand \(x \to -\infty\). Donc la limite vaut \(\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1\).
  3. \(e^{x} \to 0\) quand \(x \to -\infty\). Donc la limite vaut \(\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1\).
  • Croire que \(0{,}5^{x}\) grandit quand \(x \to +\infty\) : une base inférieure à \(1\) donne une fonction décroissante.

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