Repère semi-logarithmique : la signature de l’exponentielle
Un repère semi-logarithmique combine un axe horizontal linéaire (souvent le temps) et un axe vertical logarithmique. Voyons ce qu’y devient une croissance exponentielle.
Activité 4.2 — une exponentielle sur papier semi-log
Une population suit \(P(t) = 3 \cdot 2^{t}\) (en milliers), pour \(t\) de \(0\) à \(9\) ans.
| \(t\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(t)\) | \(3\) | \(6\) | \(12\) | \(24\) | \(48\) | \(96\) | \(192\) | \(384\) | \(768\) | \(1536\) |
- Reporte ces points dans le repère semi-logarithmique ci-dessous (l’axe vertical est gradué en puissances de \(10\)), puis relie-les. Que constates-tu ?
- Les points sont alignés : ils forment une droite. Sur un repère linéaire, la même courbe serait une exponentielle ; sur ce repère semi-log, c’est une droite. C’est la signature d’une croissance exponentielle.
Pourquoi une droite ? Il suffit d’écrire la position verticale, qui est \(\log P\) et non \(P\).
Propriété 4.1 — semi-log : droite \(\Longleftrightarrow\) exponentielle
Soit \(y = C \cdot a^{x}\) avec \(C > 0\) et \(a > 0\). En prenant le logarithme décimal des deux membres :
\[ \log y = \log(C \cdot a^{x}) = \log C + \log(a^{x}) = \underbrace{(\log a)}_{\text{pente}} \cdot x + \underbrace{(\log C)}_{\text{ord. à l'origine}}. \]
La quantité \(\log y\) est donc une fonction affine de \(x\). Sur un repère semi-logarithmique (où l’axe vertical porte \(\log y\)), le graphique de \(y = C \cdot a^{x}\) est une droite :
- sa pente vaut \(\log a\) (on en déduit la base \(a = 10^{\text{pente}}\)) ;
- son ordonnée à l’origine vaut \(\log C\) (on en déduit \(C = 10^{\text{ord.}}\)).
Réciproquement, si des données s’alignent sur un repère semi-log, elles suivent un modèle exponentiel.
Exemple 4.1 — retrouver le modèle à partir de la droite
Sur la droite de l’activité, la valeur en \(t = 0\) vaut \(3\), donc \(\log C = \log 3\) et \(C = 3\). Chaque année, \(P\) est multipliée par \(2\) (de \(3\) à \(6\), de \(6\) à \(12\)…), donc \(a = 2\). On retrouve bien \(P(t) = 3 \cdot 2^{t}\).
✎ Exercice 4.1
Des mesures d’une grandeur \(y\) en fonction du temps \(x\) s’alignent sur le repère semi-logarithmique ci-dessous (droite bleue). On lit deux points sûrs : \((0, 2)\) et \((3, 2000)\).
Comme les points s’alignent en semi-log, le modèle est de la forme \(y = C \cdot a^{x}\).
Lis l’ordonnée à l’origine : en \(x = 0\), \(y = 2\), donc \(C = \class{rep}{2}\).
De \(x = 0\) à \(x = 3\), \(y\) passe de \(2\) à \(2000\), soit une multiplication par \(1000 = 10^{3}\). En trois pas, la base intervient trois fois : \(a^{3} = 1000\), donc \(a = \class{rep}{10}\).
Écris le modèle : \(y = \class{rep}{2 \cdot 10^{x}}\). Prédis \(y\) pour \(x = 4\) : \(2 \cdot 10^{4} = 20 \, 000\).
Relis la propriété « semi-log : droite ⟺ exponentielle » et l’exemple 4.1.
Que vaut \(y\) en \(x = 0\) ? Par combien \(y\) est-il multiplié quand \(x\) augmente de \(3\) ?
De \(x = 0\) à \(x = 3\), \(y\) est multiplié par \(2000 / 2 = 1000\) ; la base intervient trois fois : \(a^{3} = 1000\).
Les points sont alignés dans un repère semi-logarithmique : le modèle est exponentiel, de la forme \(y = C \cdot a^{x}\).
En \(x = 0\), \(y = C \cdot a^{0} = C\) ; on lit \(y = 2\), donc \(C = 2\).
De \(x = 0\) à \(x = 3\), \(y\) passe de \(2\) à \(2000\) : \(2 \cdot a^{3} = 2000\), donc \(a^{3} = 1000 = 10^{3}\) et \(a = 10\).
\(y = 2 \cdot 10^{x}\). Pour \(x = 4\) : \(y = 2 \cdot 10^{4} = 20 \, 000\).
- Lire la pente comme dans un repère ordinaire : en semi-log, une décade vers le haut signifie une multiplication par \(10\).