Définition de la fonction exponentielle
Définition 1.3 — fonction exponentielle de base \(a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). La fonction exponentielle de base \(a\) est l’unique fonction \(f\) qui vérifie les deux conditions suivantes :
- \(\forall x,x' \in \mathbb{R}, f(x+x')=f(x)f(x')\). Autrement dit \(f\) prolonge les puissances rationnelles de base \(a\) ;
- \(f\) est strictement monotone.
Son expression analytique est notée \(f(x) = a^{x}\).
Pourquoi impose-t-on \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) ? Réfléchis à chaque cas :
- si \(a < 0\) (par exemple \(a = -3\)) : \(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-3}\) n’existe pas ; on ne pourrait pas prolonger aux exposants fractionnaires.
- si \(a = 0\) : \(0^{x}\) n’a pas de sens pour \(x \leq 0\).
- si \(a = 1\) : \(1^{x} = 1\) pour tout \(x\) : la fonction est constante, pas strictement monotone.
✎ Exercice 1.1
Entoure les fonctions qui sont des fonctions exponentielles. Pour chacune que tu écartes, dis en un mot pourquoi.
\(f(x) = 2^{x}\)
\(f(x) = (\frac{1}{2})^{x}\)
\(f(x) = (-3)^{x}\)
\(f(x) = 3{,}25^{x}\)
\(f(x) = x^{3}\)
\(f(x) = 1^{x}\)
Relis la définition de la fonction exponentielle de base \(a\) : quelles conditions la base doit-elle remplir ?
Dans chaque expression, qu’est-ce qui varie : la base ou l’exposant ? Et la base est-elle strictement positive et différente de \(1\) ?
Pour \((-3)^{x}\), essaie de calculer \((-3)^{1/2}\). Pour \(1^{x}\), calcule quelques valeurs : que remarques-tu ?
Une fonction exponentielle s’écrit \(a^{x}\) avec \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\) (définition 1.3).
- \(2^{x}\), \((\frac{1}{2})^{x}\) et \(3{,}25^{x}\) sont des fonctions exponentielles (bases \(2\), \(\frac{1}{2}\) et \(3{,}25\)).
- \((-3)^{x}\) ne convient pas : la base est négative (\((-3)^{1/2} = \sqrt{-3}\) n’existe pas).
- \(x^{3}\) ne convient pas : c’est la base qui varie et l’exposant est fixe (fonction puissance).
- \(1^{x}\) ne convient pas : la base vaut \(1\), la fonction est constante.
- Confondre \(x^{3}\) (fonction puissance) et \(3^{x}\) (fonction exponentielle).
- Accepter \(1^{x}\) : c’est une écriture de la forme \(a^{x}\), mais la base \(1\) est exclue.
De la première condition de la définition — \(f\) prolonge les puissances rationnelles — découlent les règles de calcul familières, désormais valables pour tous les exposants réels.
Propriété 1.1 — règles de calcul
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Alors, pour tous réels \(m, p\) :
\(a^{0} = 1\)
\(a^{m + p} = a^{m} \cdot a^{p}\)
\(a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}\)
\((a^{m})^{p} = a^{m p}\)
\(\frac{a^{m}}{a^{p}} = a^{m - p}\)
✎ Exercice 1.2
Écris chaque expression sous la forme d’une seule puissance (ou d’une fraction simple). À chaque fois, nomme la règle utilisée.
\(2^{3} \cdot 2^{5}\)
\(\frac{7^{9}}{7^{4}}\)
\((5^{2})^{3}\)
\(3^{-2}\)
\(e^{x} \cdot e^{2 x}\)
\(\frac{(a^{x})^{2}}{a^{x}}\)
Relis la propriété des règles de calcul sur les exposants.
Les puissances ont-elles la même base ? S’agit-il d’un produit, d’un quotient ou d’une puissance de puissance ?
Pour 6), commence par \((a^{x})^{2} = a^{2 x}\), puis divise par \(a^{x}\).
- \(2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{3 + 5} = 2^{8}\) (produit de puissances de même base : \(a^{m} \cdot a^{p} = a^{m + p}\)).
- \(\frac{7^{9}}{7^{4}} = 7^{9 - 4} = 7^{5}\) (quotient : \(a^{m} / a^{p} = a^{m - p}\)).
- \((5^{2})^{3} = 5^{2 \cdot 3} = 5^{6}\) (puissance d’une puissance : \((a^{m})^{p} = a^{m p}\)).
- \(3^{-2} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}\) (exposant négatif : \(a^{-p} = 1 / a^{p}\)).
- \(e^{x} \cdot e^{2 x} = e^{x + 2 x} = e^{3 x}\) (produit).
- \(\frac{(a^{x})^{2}}{a^{x}} = \frac{a^{2 x}}{a^{x}} = a^{2 x - x} = a^{x}\) (puissance d’une puissance, puis quotient).
- Multiplier les exposants dans un produit : \(2^{3} \cdot 2^{5} \neq 2^{15}\).
- Multiplier les bases : \(2^{3} \cdot 2^{5} \neq 4^{8}\).
- Écrire \(3^{-2} = -9\) : un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif.