Modéliser avec les logarithmes
Le logarithme sert dès qu’on cherche un temps ou un exposant inconnu dans un modèle exponentiel.
Exemple 2.10 — temps de doublement
Un capital croît de \(4 \%\) par an : \(C(t) = C_{0} \cdot 1{,}04^{t}\). Quand aura-t-il doublé ? On résout \(1{,}04^{t} = 2\), soit \(t = \log_{1{,}04} (2) = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7\) ans.
✎ Exercice 2.19
Pour chaque situation, dis si l’inconnue cherchée est un exposant (donc un logarithme) ou une valeur (donc une simple image).
- Une population de \(C(t) = 6{,}5 \cdot 1{,}012^{t}\) milliards : en quelle année atteint-elle \(9\) milliards ? résoudre \(1{,}012^{t} = 9 / 6{,}5\) : inconnue = exposant → logarithme.
- Le même modèle : quelle est la population après \(20\) ans ? calculer \(C(20)\) : inconnue = valeur → simple image, pas de logarithme.
- Une dose \(d(t) = 250 \cdot 10^{-0{,}075 t}\) : au bout de combien d’heures reste-t-il \(100\) mg ? résoudre \(250 \cdot 10^{-0{,}075 t} = 100\) : inconnue = exposant → logarithme.
Relis la section « Modéliser avec les logarithmes ».
Ce qu’on cherche, est-ce le temps (dans l’exposant) ou la quantité (le résultat) ?
Si l’inconnue est dans l’exposant, il faut résoudre une équation exponentielle, donc utiliser un logarithme.
- On cherche \(t\) tel que \(6{,}5 \cdot 1{,}012^{t} = 9\) : l’inconnue est l’exposant, on utilise un logarithme.
- On calcule \(C(20) = 6{,}5 \cdot 1{,}012^{20}\) : l’inconnue est une valeur, c’est une simple image.
- On cherche \(t\) tel que \(250 \cdot 10^{-0{,}075 t} = 100\) : l’inconnue est l’exposant, on utilise un logarithme.
- Prendre un logarithme pour calculer \(C(20)\) : il suffit de remplacer \(t\) par \(20\).
✎ Exercice 2.20
(Population mondiale) En \(2005\), la population mondiale était de \(6{,}5\) milliards d’habitants, en progression de \(1{,}2 \%\) par an. En quelle année aura-t-elle doublé, à ce rythme ?
Relis l’exemple « temps de doublement ».
Quel modèle décrit la population \(t\) années après \(2005\) ? Quelle valeur doit-elle atteindre ?
\(6{,}5 \cdot 1{,}012^{t} = 13 \Longleftrightarrow 1{,}012^{t} = 2\).
La population \(t\) années après \(2005\) vaut \(P(t) = 6{,}5 \cdot 1{,}012^{t}\) (en milliards).
Elle a doublé quand \(P(t) = 13\) : \(6{,}5 \cdot 1{,}012^{t} = 13 \Longleftrightarrow 1{,}012^{t} = 2 \Longleftrightarrow t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}012} \approx 58{,}1\).
La population aura doublé au cours de l’année \(2005 + 58 = 2063\).
- Diviser \(100 \%\) par \(1{,}2 \%\) (\(\approx 83\) ans) : la croissance n’est pas affine.
✎ Exercice 2.21
(Placement) On place \(4000\) € à intérêts composés au taux annuel de \(5 \%\). Au bout de combien d’années le capital atteint-il \(8000\) € ?
Relis l’exemple « temps de doublement ».
Par quel nombre le capital est-il multiplié chaque année ? Quelle équation faut-il résoudre ?
\(4000 \cdot 1{,}05^{n} = 8000 \Longleftrightarrow 1{,}05^{n} = 2\).
Après \(n\) années, le capital vaut \(C(n) = 4000 \cdot 1{,}05^{n}\).
\(C(n) = 8000 \Longleftrightarrow 1{,}05^{n} = 2 \Longleftrightarrow n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2\).
Les intérêts sont versés en fin d’année : \(C(14) \approx 7 \, 920\) € et \(C(15) \approx 8 \, 316\) €. Le capital atteint \(8000\) € au bout de \(15\) ans.
- Répondre \(14\) ans : après \(14\) versements, le capital n’a pas encore atteint \(8000\) €.
- Calculer avec des intérêts simples (\(20\) ans).
✎ Exercice 2.22
(Médicament) On injecte \(250\) mg d’un médicament ; la dose présente dans le sang est \(d(t) = d_{0} \cdot 10^{-0{,}075 t}\) (\(t\) en heures). Le médicament n’a plus d’effet en dessous de \(100\) mg. Après combien de temps faut-il réinjecter une dose ?
Que vaut \(d_{0}\) ? Quelle équation traduit « il reste \(100\) mg » ?
\(250 \cdot 10^{-0{,}075 t} = 100 \Longleftrightarrow 10^{-0{,}075 t} = 0{,}4\).
\(d_{0} = 250\) mg, donc \(d(t) = 250 \cdot 10^{-0{,}075 t}\).
\(d(t) = 100 \Longleftrightarrow 10^{-0{,}075 t} = 0{,}4 \Longleftrightarrow -0{,}075 t = \log 0{,}4 \Longleftrightarrow t = -\frac{\log 0{,}4}{0{,}075} \approx 5{,}31\).
La dose descend sous \(100\) mg après environ \(5{,}3\) h, soit \(5\) h \(18\) min : il faut réinjecter une dose au bout d’environ \(5\) h \(18\) min.
- Oublier le signe : \(\log 0{,}4 < 0\), et \(t\) doit être positif.
- Convertir \(5{,}31\) h en \(5\) h \(31\) min : \(0{,}31\) h \(\approx 18\) min.