Propriétés graphiques, par déduction

Le « portrait-robot » lu sur un graphique, comme au chapitre 1 pour l’exponentielle, ne sera pas refait pour le logarithme : ce serait un travail en double. Puisque \(\log_{a}\) est la réciproque de \(a^{x}\), tout se déduit de ce qui est déjà connu. Le seul principe utilisé : le graphique d’une réciproque est le symétrique par rapport à \(y = x\), symétrie qui échange abscisses et ordonnées.

Activité 2.5 — déduire les caractéristiques de \(\log_{a}\)

On note \(g(x) = a^{x}\) (connue, chapitre 1) et \(f(x) = \log_{a} (x)\) sa réciproque. Complète en raisonnant par la symétrie d’axe \(y = x\) (et non en lisant un graphe).

La symétrie échange \(x\) et \(y\), donc elle échange domaine et image. Comme \(\operatorname{dom} g = \mathbb{R}\) et \(\operatorname{im} g = \mathbb{R}^{> 0}\) : \(\operatorname{dom} f = \class{rep}{\mathbb{R}^{> 0}}\) \(\operatorname{im} f = \class{rep}{\mathbb{R}}\).
Le point \((0, 1)\) de \(g\) (car \(a^{0} = 1\)) devient, par échange des coordonnées, le point \((1, 0)\) de \(f\). De même \((1, a)\) devient \((a, 1)\).
L’exponentielle \(g\) a une asymptote horizontale \(y = 0\). Par la symétrie, une droite horizontale devient une droite verticale : \(f\) a donc une asymptote verticale d’équation \(x = 0\).
Si \(a > 1\), \(g\) est strictement croissante. La symétrie d’axe \(y = x\) conserve le sens de variation : \(f\) est donc strictement croissante. (Et si \(0 < a < 1\), \(f\) est strictement décroissante.)
Les limites s’échangent aussi. Pour \(a > 1\) : « \(g(x) \to 0\) quand \(x \to -\infty\) » devient « \(f(x) \to \class{rep}{-\infty}\) quand \(x \to 0\) ».
L’exponentielle \(g\) est convexe (concavité tournée vers le haut). La symétrie d’axe \(y = x\) échange convexité et concavité : la courbe de \(f\) a donc la concavité opposée. Pour \(a > 1\), \(f\) est ainsi concave ; pour \(0 < a < 1\), \(f\) est convexe. La concavité ne change jamais de sens : pas de point d’inflexion.

La figure suivante confirme ces déductions (elle illustre la symétrie, elle ne sert pas à relire caractéristique par caractéristique).

Propriété 2.3 — caractéristiques de \(f(x) = \log_{a} (x)\)

Déduites ci-dessus, on les rassemble. Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\).

\(\operatorname{dom} f = \mathbb{R}^{> 0}\), \(\operatorname{im} f = \mathbb{R}\)
racine : \(x = 1\) ; \(G_{f} \cap \text{axe } x = (1, 0)\)
\(G_{f} \cap \text{axe } y = \emptyset\)

points sûrs : \((1, 0)\) et \((a, 1)\)
asymptote verticale \(x = 0\) ; pas d’asymptote horizontale
pas d’ordonnée à l’origine (\(0 \notin \operatorname{dom} f\)) ; pas de point d’inflexion

si \(a > 1\) : strictement croissante, concave ; \(\lim\limits_{x \to 0} = -\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} = +\infty\).

si \(0 < a < 1\) : strictement décroissante, convexe ; \(\lim\limits_{x \to 0} = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} = -\infty\).

Une dernière symétrie se déduit, elle aussi, de l’exponentielle.

Propriété 2.4 — symétrie d’axe \(x\)

Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Comme \((\frac{1}{a})^{y} = x \Longleftrightarrow a^{-y} = x\), on a

\[ \log_{1/a} (x) = - \log_{a} (x). \]

Le graphique de \(\log_{1/a}\) est donc le symétrique de celui de \(\log_{a}\) par rapport à l’axe \(x\).

✎ Exercice 2.1 C1 ★★☆

Donne l’expression analytique des fonctions logarithmes représentées ci-dessous (lis le point \((a, 1)\) pour trouver la base).

Relis la définition du logarithme de base \(a\) et la propriété des valeurs remarquables : que vaut \(\log_{a} (a)\) ?

En quel point chaque courbe atteint-elle la hauteur \(1\) ?

Si la courbe passe par \((a, 1)\), alors \(\log_{a} (a) = 1\) : la base est l’abscisse de ce point.

Comme \(\log_{a} (a) = 1\), la base d’un logarithme est l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée \(1\).

La courbe bleue (croissante) passe par \((3, 1)\) : c’est \(\log_{3} (x)\).
La courbe rouge (décroissante) passe par \((\frac{1}{2}, 1)\) : c’est \(\log_{1/2} (x)\).

Lire la base sur l’axe des ordonnées : toutes les courbes passent par \((1, 0)\), ce point ne donne pas la base.

✎ Exercice 2.2 A2 ★★☆

On part de la courbe de référence \(g(x) = \log_{2} (x)\). Associe chaque courbe transformée à son expression, puis justifie par la transformation géométrique correspondante.

Expressions proposées :

\(\log_{2} (x) + 2\) (translation verticale) (1)
\(\log_{1/2} (x) = - \log_{2} (x)\) (symétrie d’axe \(x\)) (2)
\(\log_{2} (x - 3)\) (translation horizontale) (3)

Relis la propriété de symétrie d’axe \(x\) (\(\log_{1/a} = - \log_{a}\)).

Chaque courbe passe-t-elle encore par \((1, 0)\) ? Quelle courbe a une asymptote verticale ailleurs qu’en \(x = 0\) ?

\(\log_{2} (x - 3)\) n’existe que pour \(x > 3\) : sa courbe commence près de la droite \(x = 3\).

\(\log_{2} (x) + 2\) : chaque image augmente de \(2\), translation de \(2\) unités vers le haut ; courbe bleue (elle passe par \((1, 2)\)).
\(\log_{1/2} (x) = - \log_{2} (x)\) : chaque image change de signe, symétrie d’axe \(x\) ; courbe rouge (décroissante, passe par \((1, 0)\)).
\(\log_{2} (x - 3)\) : on remplace \(x\) par \(x - 3\), translation de \(3\) unités vers la droite ; courbe verte (asymptote verticale \(x = 3\), passe par \((4, 0)\)).

Croire que \(\log_{2} (x - 3)\) déplace la courbe vers la gauche.
Confondre \(\log_{2} (x) + 2\) et \(\log_{2} (x + 2)\) : le premier monte, le second se déplace vers la gauche.

Les exercices suivants entraînent la lecture et la transformation de graphiques logarithmiques (et exponentiels associés) : on y raisonne toujours par symétrie, sans calcul.

✎ Exercice 2.3 C1 ★★☆

Cinq fonctions sont représentées ci-dessous. Associe chaque expression à sa courbe.

\(4^{x}\) rouge
\(1 / e^{x}\) brune
\(\log(x)\) bleue

\(\log_{5} (x)\) verte
\(\log_{0{,}5} (x)\) violette

Relis l’activité « déduire les caractéristiques de \(\log_{a}\) » et la propriété des valeurs remarquables.

Quelles courbes passent par \((0, 1)\), lesquelles par \((1, 0)\) ? Lesquelles croissent, lesquelles décroissent ?

Parmi les logarithmes, la base se lit au point d’ordonnée \(1\) : \(\log_{5}\) passe par \((5, 1)\), \(\log\) par \((10, 1)\).

\(4^{x}\) : exponentielle croissante passant par \((0, 1)\) et \((1, 4)\) : courbe rouge.
\(1 / e^{x} = e^{-x}\) : exponentielle décroissante passant par \((0, 1)\) : courbe brune.
\(\log(x)\) : logarithme croissant qui atteint \(1\) en \(x = 10\), il monte le plus lentement : courbe bleue.
\(\log_{5} (x)\) : logarithme croissant passant par \((5, 1)\) : courbe verte.
\(\log_{0{,}5} (x)\) : logarithme décroissant (base \(< 1\)) : courbe violette.

Confondre \(\log\) et \(\log_{5}\) : plus la base est grande, plus la courbe monte lentement.

✎ Exercice 2.4 C1 ★★☆

Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Relie chaque paire de courbes à l’axe de symétrie qui les échange.

\(a^{x}\) et \(1 / a^{x}\) → axe \(y\) (on change \(x\) en \(-x\))
\(a^{x}\) et \(\log_{a} (x)\) → droite \(y = x\) (fonctions réciproques)
\(1 / a^{x}\) et \(\log_{1/a} (x)\) → droite \(y = x\) (\(\log_{1/a}\) réciproque de \((1/a)^{x} = 1 / a^{x}\))
\(\log_{a} (x)\) et \(\log_{1/a} (x)\) → axe \(x\) (car \(\log_{1/a} = - \log_{a}\))

Relis la symétrie d’axe \(y\) (chapitre 1), l’activité 2.1 (réciproque) et la symétrie d’axe \(x\).

Pour chaque paire, comment passe-t-on d’une expression à l’autre : on change \(x\) en \(-x\), on change le signe du résultat, ou on échange \(x\) et \(y\) ?

\(1 / a^{x} = a^{-x}\) et \(\log_{1/a} (x) = - \log_{a} (x)\).

\(a^{x}\) et \(1 / a^{x} = a^{-x}\) : on change \(x\) en \(-x\), symétrie d’axe \(y\).
\(a^{x}\) et \(\log_{a} (x)\) : fonctions réciproques, symétrie d’axe la droite \(y = x\).
\(1 / a^{x} = (1/a)^{x}\) et \(\log_{1/a} (x)\) : fonctions réciproques (base \(1/a\)), symétrie d’axe \(y = x\).
\(\log_{a} (x)\) et \(\log_{1/a} (x) = - \log_{a} (x)\) : on change le signe des images, symétrie d’axe \(x\).

Associer \(a^{x}\) et \(\log_{a} (x)\) par une symétrie d’axe \(y\) : une réciproque échange les rôles de \(x\) et \(y\), l’axe est \(y = x\).

✎ Exercice 2.5 A2 ★★☆

À partir de la courbe de référence \(f(x) = e^{x}\) (en pointillés gris), donne l’expression analytique des deux autres courbes et justifie par la symétrie utilisée.

Relis la symétrie d’axe \(y\) et l’activité 2.1 sur la réciproque de \(e^{x}\).

Chaque courbe passe-t-elle par \((0, 1)\) ou par \((1, 0)\) ? Est-elle croissante ou décroissante ?

La courbe qui passe par \((1, 0)\) est le symétrique de \(e^{x}\) par rapport à la droite \(y = x\).

Courbe brune : elle passe par \((0, 1)\) et décroît. C’est le symétrique du graphe de \(e^{x}\) par rapport à l’axe \(y\) : \(g(x) = e^{-x} = 1 / e^{x}\).
Courbe bleue : elle passe par \((1, 0)\) et n’existe que pour \(x > 0\). C’est le symétrique du graphe de \(e^{x}\) par rapport à la droite \(y = x\), donc le graphe de la réciproque : \(h(x) = \ln(x)\).

Écrire \(-e^{x}\) pour la courbe brune : le symétrique par rapport à l’axe \(x\) serait sous l’axe.

✎ Exercice 2.6 A2 ★★☆

À partir de la courbe de référence \(f(x) = \log_{4} (x)\) (en pointillés gris), donne l’expression analytique des deux autres courbes et justifie par la symétrie utilisée.

Relis la symétrie d’axe \(x\) et la propriété des compositions (réciprocité).

Quelle courbe passe par \((0, 1)\) ? Laquelle passe par \((1, 0)\) et décroît ?

La courbe qui passe par \((0, 1)\) et \((1, 4)\) est une exponentielle : de quelle base ?

Courbe rouge : elle passe par \((1, 0)\) et \((4, -1)\) et décroît. C’est le symétrique de \(\log_{4}\) par rapport à l’axe \(x\) : \(g(x) = - \log_{4} (x) = \log_{1/4} (x)\).
Courbe verte : elle passe par \((0, 1)\) et \((1, 4)\). C’est le symétrique de \(\log_{4}\) par rapport à la droite \(y = x\), donc sa réciproque : \(h(x) = 4^{x}\).

Écrire \(\log_{4} (-x)\) pour la courbe rouge : cette fonction n’existe que pour \(x < 0\).

✎ Exercice 2.7 A2 ★★★

On part de \(f(x) = (4/5)^{x}\) (en pointillés gris). Donne d’abord l’expression de \(g\) (courbe décroissante) comme réciproque de \(f\), puis celle de \(h\) (courbe croissante) à partir de \(g\).

\(g(x) =\) \(\log_{4/5} (x)\) (réciproque de \(f\) : axe \(y = x\))
\(h(x) =\) \(- \log_{4/5} (x) = \log_{5/4} (x)\) (symétrique de \(g\) : axe \(x\))

Relis la définition du logarithme et la symétrie d’axe \(x\).

Quelle est la réciproque de \(a^{x}\) ? Et que devient \(\log_{a}\) par une symétrie d’axe \(x\) ?

La réciproque de \((4/5)^{x}\) est \(\log_{4/5} (x)\) ; son symétrique par rapport à l’axe \(x\) est \(- \log_{4/5} (x)\).

\(g\) est la réciproque de \(f\) (symétrie d’axe \(y = x\)) : \(g(x) = \log_{4/5} (x)\). Elle est décroissante, comme \(f\), car la base \(\frac{4}{5}\) est inférieure à \(1\).
\(h\) est le symétrique de \(g\) par rapport à l’axe \(x\) : \(h(x) = - \log_{4/5} (x) = \log_{5/4} (x)\), qui est croissante (base \(\frac{5}{4} > 1\)).

Attribuer à \(g\) la courbe croissante : la réciproque d’une fonction décroissante est décroissante.

✎ Exercice 2.8 C1 ★★☆

Parmi les trois courbes ci-dessous, identifie celle de \(f(x) = \log_{0{,}4} (x)\), puis donne l’expression des deux autres.

Relis l’activité 2.5 : le sens de variation de \(\log_{a}\) dépend de la position de \(a\) par rapport à \(1\).

\(\log_{0{,}4}\) est-elle croissante ou décroissante ? Par quel point d’ordonnée \(1\) passe chaque courbe ?

Lis l’abscisse du point d’ordonnée \(1\) sur chaque courbe : c’est la base.

La base \(0{,}4\) est inférieure à \(1\) : \(f = \log_{0{,}4}\) est la courbe décroissante (rouge), qui passe par \((0{,}4, 1)\).
La courbe bleue passe par \((2{,}5, 1)\) : c’est \(\log_{2{,}5} (x)\), symétrique de \(f\) par rapport à l’axe \(x\) (car \(2{,}5 = 1 / 0{,}4\)).
La courbe verte passe par \((5, 1)\) : c’est \(\log_{5} (x)\).

Chercher le point \((0{,}4, 1)\) sur une courbe croissante : \(\log_{0{,}4}\) décroît.

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