Pour aller plus loin : les échelles logarithmiques en sciences
Beaucoup de grandeurs physiques varient sur tant d’ordres de grandeur qu’on les mesure directement sur une échelle logarithmique. Trois exemples classiques.
Magnitude d’un séisme (échelle de Richter). La magnitude est essentiellement le logarithme de l’amplitude des ondes. Gagner \(1\) point de magnitude, c’est multiplier l’amplitude par \(10\) (et l’énergie libérée par environ \(30\)). Un séisme de magnitude \(7\) n’est pas « un peu » plus fort qu’un magnitude \(6\) : il l’est dix fois en amplitude.
Niveau sonore (décibels). Le niveau en décibels vaut \(L = 10 \log(I / I_{0})\), où \(I\) est l’intensité sonore et \(I_{0}\) un seuil de référence. Ajouter \(10\) dB multiplie l’intensité par \(10\) ; ajouter \(20\) dB la multiplie par \(100\). C’est pourquoi \(80\) dB est bien plus agressif que \(60\) dB.
Acidité (pH). Le pH est défini par \(\text{pH} = - \log [H^{+}]\), où \([H^{+}]\) est la concentration en ions hydrogène. Chaque unité de pH en moins correspond à une concentration dix fois plus grande : un liquide de pH \(3\) est dix fois plus acide qu’un liquide de pH \(4\).
✎ Exercice 4.6
Deux séismes diffèrent d’une magnitude (\(5\) et \(6\)). Quel est le rapport de leurs amplitudes ? \(10\)
On passe d’un bruit de \(50\) dB à \(70\) dB. Par combien l’intensité sonore a-t-elle été multipliée ? \(100\) (deux fois \(+10\) dB \(= \times 10\))
Un jus de citron a un pH de \(2\), l’eau pure un pH de \(7\). Combien de fois le citron est-il plus acide (rapport des \([H^{+}]\)) ? \(10^{5} = 100 \, 000\)
Relis la section « Construire une échelle logarithmique » : un pas de \(1\) sur l’échelle correspond à une multiplication par \(10\).
Combien de « pas » sépare les deux valeurs sur chaque échelle ? Et que vaut un pas ?
\(10\) dB correspondent à une multiplication de l’intensité par \(10\) ; une unité de pH à une multiplication de \([H^{+}]\) par \(10\).
Une unité de magnitude correspond à une multiplication de l’amplitude par \(10\) : le rapport vaut \(10\).
De \(50\) dB à \(70\) dB, on monte de \(20\) dB, soit deux fois \(10\) dB : l’intensité est multipliée par \(10 \cdot 10 = 100\).
Le pH baisse de \(7 - 2 = 5\) unités : \([H^{+}]\) est multipliée par \(10^{5}\). Le jus de citron est \(100 \, 000\) fois plus acide que l’eau pure.
- Répondre \(20\) en b) (ou \(5\) en c)) : sur une échelle logarithmique, une différence correspond à un rapport.