Croissance comparée et théorème de l’Hospital

Certaines limites résistent aux règles de calcul : elles conduisent à une forme indéterminée, une écriture comme \(\frac{+\infty}{+\infty}\) ou \(\frac{0}{0}\) où l’on ne peut pas conclure directement. Deux exemples, qu’aucun outil actuel ne permet de trancher :

\[ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{2 x} \quad \text{(forme } \frac{\infty}{\infty} \text{)} \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} \quad \text{(forme } \frac{0}{0} \text{). } \]

Une première intuition vient de la comparaison des vitesses de croissance.

Activité 3.5 — qui croît le plus vite : \(e^{x}\) ou \(x\) ?

Complète le tableau (valeurs arrondies), puis observe le quotient.

\(x\) \(1\) \(5\) \(10\) \(20\) \(30\)
\(e^{x}\) \(2{,}7\) \(148\) \(\approx 2 \cdot 10^{4}\) \(\approx 5 \cdot 10^{8}\) \(\approx 10^{13}\)
\(x\) \(1\) \(5\) \(10\) \(20\) \(30\)
\(e^{x} / x\) \(2{,}7\) \(\approx 30\) \(\approx 2200\) \(\approx 2 \cdot 10^{7}\) \(\approx 4 \cdot 10^{11}\)

Le quotient \(e^{x} / x\) grandit sans limite : bien que \(x\) augmente, \(e^{x}\) le dépasse de plus en plus. On dit que l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de \(x\). La figure ci-dessous le montre : au-delà d’un certain point, \(e^{x}\) écrase \(x\) et même \(x^{2}\).

\(e^{x}\) (rouge), \(x\) (bleu pointillé), \(x^{2}\) (vert).

Cette intuition se transforme en outil de calcul grâce au théorème suivant, qui remplace une forme indéterminée \(f / g\) par le quotient des dérivées.

Propriété 3.7 — théorème de l’Hospital

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables et \(a \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\). On suppose que \(f / g\) présente en \(a\) une forme indéterminée, c’est-à-dire :

  • soit \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0\) et \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0\) (forme \(\frac{0}{0}\)) ;
  • soit \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm \infty\) (forme \(\frac{\infty}{\infty}\)).

On suppose de plus que \(g'\) ne s’annule qu’en un nombre fini de points au voisinage de \(a\) — de sorte que le quotient \(f' / g'\) ait bien un sens près de \(a\). Alors, à condition que la limite de droite existe,

\[ \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \]

Remarque 3.2

On admet les hypothèses techniques du théorème pour tous les exercices du cours. Deux points de vigilance : l’Hospital ne s’applique qu’à une forme indéterminée (jamais à un quotient qui se calcule directement), et il faut parfois l’appliquer plusieurs fois de suite avant de lever l’indétermination.

Exemple 3.6 — les deux limites du début

a)

\[ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{2 x} \]

est de la forme \(\frac{\infty}{\infty}\). Par l’Hospital :

\[ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{2 x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(e^{x})'}{(2 x)'} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{2} = +\infty. \]

b)

\[ \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} \]

est de la forme \(\frac{0}{0}\). Par l’Hospital :

\[ \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1 / x}{1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1. \]

Exemple 3.7 — confirmer la croissance comparée

\[ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3 x}{e^{x}} \quad \text{(forme } \frac{\infty}{\infty} \text{) } = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3}{e^{x}} = 0. \]

L’exponentielle au dénominateur l’emporte : le quotient tend vers \(0\), ce qui confirme l’activité ci-dessus.

✎ Exercice 3.8 A7 ★★☆

Calcule les limites suivantes à l’aide du théorème de l’Hospital. Précise à chaque fois pourquoi on ne peut pas conclure directement : le numérateur et le dénominateur tendent-ils tous deux vers \(0\), ou tous deux vers l’infini ?

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3 x}{e^{x}}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{e^{-3 x}}{x}\)
  1. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\)

Vers quoi tendent le numérateur et le dénominateur ? Deviennent-ils tous deux aussi grands qu’on veut, ou tendent-ils tous deux vers \(0\) ?

Si c’est le cas, remplace le quotient par le quotient des dérivées et cherche sa limite.

Dans chaque cas, numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(0\), ou deviennent tous deux aussi grands qu’on veut (en valeur absolue) : regarder chaque morceau séparément ne suffit pas, on applique le théorème de l’Hospital.

  1. \(3 x \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\). \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3 x}{e^{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3}{e^{x}} = 0\).
  2. \(x \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\). \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x}} = 0\).
  3. \(\ln x \to +\infty\) et \(x \to +\infty\). \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0\).
  4. \(e^{-3 x} \to +\infty\) et \(x \to -\infty\). \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{e^{-3 x}}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{-3 e^{-3 x}}{1} = -\infty\).
  5. \(\ln x \to 0\) et \(x - 1 \to 0\). \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = 1\).
  6. \(\ln x \to +\infty\) et \(\sqrt{x} \to +\infty\). \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1 / (2 \sqrt{x})} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0\).
  • Dériver le quotient avec la règle du quotient : le théorème porte sur le quotient des dérivées \(f' / g'\), pas sur \((f / g)'\).
  • Appliquer le théorème sans vérifier que numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(0\) ou vers l’infini.

✎ Exercice 3.9 A7 ★★★

Ces limites demandent d’appliquer deux fois le théorème, ou de réécrire d’abord le produit sous forme de quotient.

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln x\)

(1) \(x^{2}\) et \(e^{x}\) tendent vers \(+\infty\) : par l’Hospital, \(\lim\limits x^{2} / e^{x} = \lim\limits (2 x) / e^{x}\) ; \(2 x\) et \(e^{x}\) tendent encore vers \(+\infty\), on l’applique une seconde fois : \(\lim\limits (2 x) / e^{x} = \lim\limits 2 / e^{x} = 0\). (2) \(x \to 0\) et \(\ln x \to -\infty\) : on réécrit le produit en quotient, \(x \ln x = \frac{\ln x}{1 / x}\), où \(\ln x \to -\infty\) et \(1 / x \to +\infty\) ; par l’Hospital, \(\lim\limits \frac{1 / x}{-1 / x^{2}} = \lim\limits (- x) = 0\). Donc \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0\).

  1. Après une application, le nouveau quotient pose-t-il encore problème ? 2) Comment écrire le produit \(x \ln x\) comme un quotient ?

\(x \ln x = \frac{\ln x}{1 / x}\).

  1. \(x^{2} \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\) : par le théorème, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2 x}{e^{x}}\). Numérateur et dénominateur deviennent encore aussi grands qu’on veut : on l’applique une seconde fois, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2 x}{e^{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2}{e^{x}} = 0\).
  2. Quand \(x \to 0\) avec \(x > 0\) : \(x \to 0\) et \(\ln x \to -\infty\). On écrit \(x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}\) ; alors \(\ln x \to -\infty\) et \(1 / x \to +\infty\). Par le théorème, \(\lim\limits \frac{\ln x}{1/x} = \lim\limits \frac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim\limits (-x) = 0\). Donc \(\lim\limits_{x \to 0, x > 0} x \ln x = 0\).
  • En 2), appliquer le théorème directement au produit : il ne s’applique qu’à un quotient.

Enfin, un exercice de transfert : les dérivées et limites servent à décrire un phénomène réel.

✎ Exercice 3.10 T3 · A7 ★★★

Une culture de bactéries compte \(N(t) = 500 e^{0{,}2 t}\) individus (\(t\) en heures). a) Calcule \(N'(t)\) et interprète : que représente cette dérivée ? b) À quelle vitesse la population croît-elle à \(t = 10\) h ? c) Que vaut \(\lim\limits_{t \to +\infty} N(t)\), et pourquoi ce modèle n’est-il pas réaliste à très long terme ?

  1. \(N'(t) = 500 \cdot 0{,}2 \cdot e^{0{,}2 t} = 100 e^{0{,}2 t}\) : c’est la vitesse de croissance (bactéries par heure). b) \(N'(10) = 100 e^{2} \approx 739\) bactéries/h. c) \(\lim\limits_{t \to +\infty} N(t) = +\infty\) : le modèle prévoit une population infinie, ce qui est impossible (ressources limitées) — la croissance exponentielle ne vaut qu’un temps.

Relis la propriété 3.2 (exponentielle composée) et la propriété des limites de référence.

Que mesure la dérivée d’une fonction qui donne un nombre de bactéries en fonction du temps ?

\((e^{0{,}2 t})' = 0{,}2 e^{0{,}2 t}\).

  1. \(N'(t) = 500 \cdot 0{,}2 \cdot e^{0{,}2 t} = 100 e^{0{,}2 t}\). \(N'(t)\) est la vitesse de croissance de la population à l’instant \(t\), en bactéries par heure.

  2. \(N'(10) = 100 e^{2} \approx 739\) : à \(t = 10\) h, la population croît d’environ \(739\) bactéries par heure.

  3. Quand \(t \to +\infty\), \(0{,}2 t \to +\infty\) et \(e^{0{,}2 t} \to +\infty\), donc \(\lim\limits_{t \to +\infty} N(t) = +\infty\). Le modèle prévoit une population qui dépasse toute valeur, ce qui est impossible (espace et nourriture limités) : il ne vaut que sur une durée limitée.

  • Répondre en b) par \(N(10)\) : on demande une vitesse, donc \(N'(10)\).

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