Des graphes tous semblables : vers un représentant privilégié
Voici dix fonctions exponentielles tracées dans un même repère. Observe comme elles se ressemblent : toutes passent par \((0, 1)\) et s’en écartent en éventail — les bases \(> 1\) montent vers la droite, les bases \(< 1\) montent vers la gauche.
Dix fonctions exponentielles : des courbes toutes semblables, articulées autour de \((0, 1)\).
La courbe de \(a^{x}\) quand la base \(a\) varie ; en tirets, celle de \(2^{x}\).
Cette ressemblance n’est pas un hasard : chaque courbe est une transformée des autres. On peut par exemple obtenir n’importe quelle exponentielle en « comprimant » horizontalement celle de base \(2\).
Propriété 1.4 — changement de base
Soit \(a \in \mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\). Il existe un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x\),
\[ a^{x} = 2^{k x}. \]
On peut d’ailleurs remplacer \(2\) par n’importe quelle autre base de \(\mathbb{R}^{> 0} \setminus \{1\}\).
Puisque toutes les exponentielles se déduisent d’une seule, autant en choisir une comme représentante et l’étudier à fond. On pourrait garder \(2^{x}\) ; mais nous allons choisir une base dont la valeur rend une propriété particulièrement simple. Cette base s’appelle \(e\), du nom du mathématicien Leonhard Euler.