Du problème eˣ = 3 au logarithme
Défaire une fonction : la notion de réciproque
Résoudre \(e^{x} = 3\), c’est chercher le nombre dont l’exponentielle vaut \(3\), autrement dit défaire l’exponentielle. Cette idée n’est pas neuve : elle a déjà été rencontrée en 4e année avec d’autres fonctions.
Rappel (4e) — deux fonctions réciproques. Une fonction et sa réciproque se défont mutuellement : la seconde renvoie chaque image sur son antécédent de départ.
| fonction | réciproque | ce qu’on défait |
|---|---|---|
| élever au carré \(x^{2}\), \(x \geq0\) | racine carrée \(\sqrt{x}\) | \(\sqrt{x^{2}} = x\), \((\sqrt{x})^{2} = x\) |
| élever au cube \(x^{3}\) | racine cubique \(\sqrt[3]{x}\) | \(\sqrt[3]{x^{3}} = x\), \((\sqrt[3]{x})^{3} = x\) |
| exponentielle | logarithme (à construire) | à découvrir ci-dessous |
De même que la racine carrée a été introduite pour défaire le carré, une nouvelle fonction va être introduite pour défaire l’exponentielle. Il reste à la construire.
Résoudre \(e^{x} = a\) graphiquement
Commençons par lire, sur la courbe de \(e^{x}\), la solution de \(e^{x} = a\) pour différentes valeurs de la hauteur \(a\) : pour chaque \(a\), on cherche l’abscisse dont l’image vaut \(a\) — on lit donc le graphique « à l’envers ».
Activité 2.1 — lire l’exponentielle « à l’envers »
La courbe de \(e^{x}\) est reproduite ci-dessous. Pour résoudre \(e^{x} = a\), trace l’horizontale de hauteur \(a\) et lis l’abscisse \(x\) de son point d’intersection avec la courbe : c’est la solution. Exemple : pour \(e^{x} = 3\), l’horizontale \(y = 3\) coupe la courbe en \(x \approx \class{rep}{1{,}1}\).
Complète maintenant le tableau : pour chaque hauteur \(a\), lis (au dixième) l’abscisse \(x\) telle que \(e^{x} = a\) (les cases sans solution restent vides).
| \(a\) | \(-2\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) tel que \(e^{x} = a\) | — | — | \(-0{,}7\) | \(0\) | \(0{,}7\) | \(1{,}1\) | \(1{,}6\) | \(2{,}1\) |
- Pour quelles valeurs de \(a\) la case reste-t-elle vide ?
Pour \(a \leq 0\) : l’exponentielle est toujours strictement positive, donc \(e^{x} = a\) n’a aucune solution si \(a \leq 0\). On ne pourra prendre le logarithme que d’un nombre strictement positif.
- Chaque couple \((a, x)\) obtenu associe à une hauteur \(a\) « l’exposant à donner à \(e\) pour obtenir \(a\) ». Reporte ces couples dans le repère suivant, puis relie les points : la courbe obtenue est celle de la fonction logarithme népérien, notée \(\ln\).
Construction point par point de la courbe de \(\ln\) à partir des couples \((a, x)\).
Deux courbes symétriques
Superposons maintenant les deux courbes dans un même repère. Celle de \(\ln\) est le symétrique de celle de \(e^{x}\) par rapport à la bissectrice \(y = x\) : c’est la relation géométrique de deux fonctions réciproques, au même titre que \(x^{2}\) et \(\sqrt{x}\), ou \(x^{3}\) et \(\sqrt[3]{x}\), dont les courbes présentent la même symétrie.
\(e^{x}\) et \(\ln(x)\) sont symétriques par rapport à \(y = x\).
Vérifier que \(\ln\) défait \(\exp\)
Si \(\ln(x)\) est bien la réciproque de \(e^{x}\), alors composer les deux fonctions doit ramener à l’identité. Cette vérification mérite qu’on s’y arrête, car les deux compositions n’ont pas le même domaine de validité.
Activité 2.2 — \(\ln\) et \(e^{x}\) se défont l’une l’autre
Complète, avec ou sans calculatrice:
Défaire \(e^{x}\) avec \(\ln\) :
- \(\ln(e^{5}) =\) \(5\)
- \(\ln(e^{-10}) =\) \(-10\)
- \(\ln(e^{0{,}8}) =\) \(0{,}8\)
- \(\ln(e^{0}) =\) \(0\)
Défaire \(\ln\) avec \(e^{x}\) :
- \(e^{\ln(10)} =\) \(10\)
- \(e^{\ln(0{,}01)} =\) \(0{,}01\)
- \(e^{\ln(999)} =\) \(999\)
- \(e^{\ln(-4)} =\) impossible
Compare les deux colonnes. À gauche, l’exposant placé dans \(e^{x}\) peut être n’importe quel réel (positif, négatif ou nul), et \(\ln\) le restitue toujours. À droite, le nombre placé dans \(\ln\) doit d’abord être strictement positif pour que l’écriture ait un sens : \(e^{\ln(-4)}\) n’existe pas, car \(\ln(-4)\) n’existe pas.
Propriété 2.1 — les deux compositions et leur domaine
Les identités suivantes sont vraies:
- \(\ln(e^{x}) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\);
- \(e^{\ln(x)} = x\) pour \(x \in \mathbb{R}^{>0}\).
Cette dissymétrie n’est pas un détail : elle traduit que \(e^{x}\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}^{> 0}\) tandis que son argument parcourt \(\mathbb{R}\). La négliger — écrire \(e^{\ln(x)} = x\) sans condition — produira plus loin de fausses solutions d’équations.
Cette relation de réciprocité peut enfin s’énoncer comme une traduction entre les deux fonctions, qui servira de définition.