Repère log-log : la signature d’une puissance
Un repère logarithmique complet (ou log-log) porte une échelle logarithmique sur les deux axes. Il est taillé pour un autre type de modèle : les fonctions puissances \(y = C \cdot x^{p}\).
Activité 4.3 — une puissance sur papier log-log
On mesure \(y = 2 x^{2}\) pour quelques valeurs de \(x\).
| \(x\) | \(1\) | \(10\) | \(100\) |
|---|---|---|---|
| \(y = 2 x^{2}\) | \(2\) | \(200\) | \(20 \, 000\) |
Reporte ces points sur le repère log-log ci-dessous (les deux axes sont en puissances de \(10\)) et relie-les.
Les points sont de nouveau alignés (une droite) — mais cette fois c’est sur le repère log-log, et le modèle est une puissance, pas une exponentielle.
Propriété 4.2 — log-log : droite \(\Longleftrightarrow\) puissance
Soit \(y = C \cdot x^{p}\) avec \(C > 0\) et \(x > 0\). En prenant le logarithme décimal des deux membres :
\[ \log y = \log(C \cdot x^{p}) = \log C + p \log x. \]
En posant \(Y = \log y\) et \(X = \log x\) (les positions sur les deux axes), on obtient
\[ Y = \underbrace{p}_{\text{pente}} \cdot X + \underbrace{(\log C)}_{\text{ord. à l'origine}} : \]
une relation affine entre \(\log x\) et \(\log y\). Sur un repère log-log, le graphique de \(y = C \cdot x^{p}\) est donc une droite :
- sa pente vaut l’exposant \(p\) lui-même ;
- son ordonnée à l’origine (position à \(x = 1\), car \(\log 1 = 0\)) vaut \(\log C\).
Réciproquement, des données alignées sur un repère log-log suivent une loi de puissance.
Le réflexe à retenir. On identifie un modèle par le repère où les données forment une droite :
| Droite dans un repère… | pente | modèle |
|---|---|---|
| linéaire (\(x\), \(y\)) | \(m\) | affine \(y = m x + p\) |
| semi-log (\(x\), \(\log y\)) | \(\log a\) | exponentiel \(y = C \cdot a^{x}\) |
| log-log (\(\log x\), \(\log y\)) | \(p\) | puissance \(y = C \cdot x^{p}\) |
Exemple 4.2 — lire l’exposant sur une droite log-log
Sur la droite de l’activité, quand \(x\) est multiplié par \(10\) (une décade), \(y\) est multiplié par \(100\) (deux décades) : la droite « monte » de \(2\) décades pour \(1\) décade horizontale. Sa pente vaut donc \(2\) : c’est bien l’exposant \(p = 2\) de \(y = 2 x^{2}\).
✎ Exercice 4.2
Des données \((x, y)\) s’alignent sur le repère log-log ci-dessous. On y lit deux points sûrs : \((1, 5)\) et \((10, 500)\).
Les points s’alignent en log-log : le modèle est de la forme \(y = C \cdot x^{p}\).
En \(x = 1\) : \(y = 5\), donc \(C = \class{rep}{5}\) (car \(\log 1 = 0\)).
De \(x = 1\) à \(x = 10\) (une décade), \(y\) passe de \(5\) à \(500\) (deux décades) : la pente vaut \(p = \class{rep}{2}\).
Modèle : \(y = \class{rep}{5 x^{2}}\).
Relis la propriété « log-log : droite ⟺ puissance » et l’exemple 4.2.
Quand \(x\) est multiplié par \(10\), par combien \(y\) est-il multiplié ? Que vaut \(10^{p}\) ?
\(y\) passe de \(5\) à \(500\) : il est multiplié par \(100 = 10^{2}\) quand \(x\) est multiplié par \(10\).
Les points sont alignés dans un repère log-log : le modèle est une puissance, de la forme \(y = C \cdot x^{p}\).
En \(x = 1\) : \(y = C \cdot 1^{p} = C\) ; on lit \(y = 5\), donc \(C = 5\).
Quand \(x\) passe de \(1\) à \(10\) (une décade), \(y\) passe de \(5\) à \(500\) (deux décades) : \(10^{p} = 100\), donc \(p = 2\) (pente de la droite en log-log).
\(y = 5 x^{2}\).
- Prendre \(p = 100\) : l’exposant est le nombre de décades gagnées par \(y\) pour une décade de \(x\).