L’essentiel
Définitions et propriétés du cours, pour s’y retrouver
Cette page rassemble les énoncés du cours, sans les activités qui leur donnent du sens, sans les justifications, les exemples ni les méthodes vues en classe. Connaître ces énoncés ne suffit pas : l’essentiel, c’est de savoir les utiliser, et cela s’apprend avec les exemples et les exercices.
Sers-t’en pour retrouver un énoncé ou vérifier que tu peux le redire sans regarder, puis retourne au cours (lien « dans le cours » sous chaque encadré) et aux exercices.
Chapitre 1 — Fonctions
Rappels
Définition 1.1
Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle inclus dans \(\operatorname{dom}(f)\).
- \(f\) est strictement positive sur \(I\) si \(\forall x \in I, f(x) > 0\).
- \(f\) est strictement négative sur \(I\) si \(\forall x \in I, f(x) < 0\).
Opérations sur les fonctions
Définition 1.2
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. Alors :
- la fonction \(f+g\) est définie par l’équation \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
- la fonction \(f-g\) est définie par l’équation \((f-g)(x) = f(x) - g(x)\)
- la fonction \(f g\) est définie par l’équation \((f g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
- la fonction \(\frac{f}{g}\) est définie par l’équation \((\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Reconnaître une composée
Définition 1.3
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. La fonction composée de \(f\) après \(g\), notée \(f \circ g\), est définie par l’équation
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Chapitre 2 — Limites : définition et lecture graphique
Définition
Définition 2.1 — limite d’une fonction
Soit \(f\) une fonction, et \(a\) et \(b\) deux nombres réels ou \(\pm \infty\). On dit que la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) si, lorsque \(x\) (pris dans le domaine de \(f\)) se rapproche autant qu’on veut de \(a\), \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(b\).
Graphiquement : lorsque le point \(M(x ; f(x))\) se déplace sur le graphique avec une abscisse qui se rapproche autant qu’on veut de \(a\), il se rapproche autant qu’on veut du point \((a ; b)\).
Ceci se note
\[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = b. \]
Quand une limite a-t-elle un sens ?
Définition 2.2 — valeur qui « colle au domaine »
Soit \(f\) une fonction dont le domaine est une union d’intervalles. On dit que \(a\) (réel ou \(\pm \infty\)) colle au domaine de \(f\) si \(a\) appartient au domaine de \(f\) ou si \(a\) est une borne du domaine.
Propriété 2.1 — trois réponses possibles
Soit \(f\) une fonction et \(a\) un réel ou \(\pm \infty\).
- Si \(a\) ne colle pas au domaine de \(f\), la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) n’a pas de sens.
- Si \(a\) colle au domaine de \(f\), deux cas sont possibles : la limite existe (elle vaut un réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\)), ou elle n’existe pas.
Limites à gauche et à droite
Définition 2.3 — limites à gauche et à droite
Soit \(f\) une fonction, \(a \in \mathbb{R}\) et \(b\) un nombre réel ou \(\pm \infty\).
On dit que la limite à gauche de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) si, lorsque \(x\) (pris dans le domaine de \(f\) et strictement inférieur à \(a\)) se rapproche autant qu’on veut de \(a\), \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(b\). Ceci se note
\[ \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = b. \]
On dit que la limite à droite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) si, lorsque \(x\) (pris dans le domaine de \(f\) et strictement supérieur à \(a\)) se rapproche autant qu’on veut de \(a\), \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(b\). Ceci se note
\[ \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = b. \]
Propriété 2.2
Soit \(f\) une fonction définie à gauche et à droite de \(a \in \mathbb{R}\), et \(b\) un nombre réel ou \(\pm \infty\). Alors \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b\) si et seulement si
\[ \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = b \quad \text{et} \quad \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = b, \]
et, si \(f(a)\) existe, \(f(a) = b\).
Chapitre 3 — Chercher les points creux et les asymptotes verticales
Les fonctions rationnelles
Définition 3.1 — fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynomiales : \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\). Son domaine est \(\mathbb{R}\) privé des racines du dénominateur \(Q\) : ces racines sont les valeurs interdites de \(f\).
En un point du domaine : rien à chercher
Propriété 3.1 — limite en un point du domaine
Si \(f\) est une fonction rationnelle et si \(a \in \operatorname{dom}(f)\), alors
\[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a). \]
Autrement dit, pour calculer la limite, il suffit de remplacer \(x\) par \(a\).
En une valeur interdite : point creux ou asymptote verticale ?
Définition 3.2 — asymptote verticale, point creux
Soit \(f\) une fonction et \(a\) un réel qui colle au domaine de \(f\).
- La droite d’équation \(x = a\) est une asymptote verticale (A.V.) du graphique de \(f\) si la limite à gauche ou la limite à droite de \(f(x)\) en \(a\) vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\).
- Le graphique de \(f\) présente un point creux en \((a ; r)\) si \(a \notin \operatorname{dom}(f)\) et \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = r\), avec \(r\) réel.
Propriété 3.2 — valeur interdite qui n’annule pas le numérateur
Soit \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) une fonction rationnelle et \(a\) une valeur interdite (\(Q(a) = 0\)). Si \(P(a) \neq 0\), alors, de chaque côté de \(a\), \(f(x)\) devient très grand en valeur absolue : les limites à gauche et à droite en \(a\) valent \(+\infty\) ou \(-\infty\), et la droite d’équation \(x = a\) est une asymptote verticale. Pour savoir s’il s’agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), il suffit de connaître le signe de \(f(x)\) juste à gauche et juste à droite de \(a\).
Chapitre 4 — Chercher les asymptotes horizontales et obliques
Les polynômes en \(\pm \infty\) : le terme qui l’emporte
Propriété 4.1 — polynôme en \(\pm \infty\)
La limite d’une fonction polynomiale en \(+\infty\) (ou en \(-\infty\)) est égale à la limite de son terme de plus haut degré : si \(a x^{n}\) est ce terme, alors
\[ \lim\limits_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} a x^{n}. \]
Les fonctions rationnelles en \(\pm \infty\) : asymptote horizontale ?
Propriété 4.2 — fonction rationnelle en \(\pm \infty\)
Soit \(f\) une fonction rationnelle. Si \(a x^{n}\) est le terme de plus haut degré du numérateur et \(b x^{m}\) celui du dénominateur, alors
\[ \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{a x^{n}}{b x^{m}}. \]
Définition 4.1 — asymptote horizontale
La droite d’équation \(y = b\) (\(b\) réel) est une asymptote horizontale (A.H.) du graphique de \(f\) si
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = b \quad \text{ou} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b. \]
Propriété 4.3 — A.H. d’une fonction rationnelle
Soit \(f\) une fonction rationnelle, \(n\) le degré de son numérateur et \(m\) celui de son dénominateur (\(a\) et \(b\) les coefficients des termes de plus haut degré).
- Si \(n < m\) : les limites en \(\pm \infty\) valent \(0\) ; le graphique a une A.H. d’équation \(y = 0\).
- Si \(n = m\) : les limites en \(\pm \infty\) valent \(\frac{a}{b}\) ; le graphique a une A.H. d’équation \(y = \frac{a}{b}\).
- Si \(n > m\) : les limites en \(\pm \infty\) sont infinies ; le graphique n’a pas d’A.H.
Asymptote oblique
Définition 4.2 — asymptote oblique
La droite d’équation \(y = m x + p\) (avec \(m \neq 0\)) est une asymptote oblique (A.O.) du graphique de \(f\) si
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - (m x + p)) = 0 \quad \text{ou} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} (f(x) - (m x + p)) = 0. \]
Propriété 4.4 — A.O. d’une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle a une A.O. si et seulement si le degré de son numérateur vaut le degré de son dénominateur plus \(1\). L’équation de l’A.O. est \(y = q(x)\), où \(q(x)\) est le quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.