En un point du domaine : rien à chercher
Dans l’activité sur les fonctions de référence, nous avons observé qu’en un point \(a\) du domaine, la limite vaut \(f(a)\). Les fonctions rationnelles étant construites à partir de \(x\) et de constantes par les opérations \(+\), \(-\), \(\cdot\) et \(/\), elles héritent de ce comportement.
Propriété 3.1 — limite en un point du domaine
Si \(f\) est une fonction rationnelle et si \(a \in \operatorname{dom}(f)\), alors
\[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a). \]
Autrement dit, pour calculer la limite, il suffit de remplacer \(x\) par \(a\).
En un point du domaine, le graphique d’une fonction rationnelle passe donc tranquillement par le point \((a ; f(a))\) : pas de point creux, pas d’asymptote. Pour trouver les caractéristiques qui nous intéressent, inutile de chercher là.
Remarque 3.1
Cette propriété n’est pas vraie pour toutes les fonctions : pour la fonction \(h\) du chapitre précédent, \(1\) est dans le domaine, et pourtant la limite en \(1\) n’existe pas. Elle est vraie, en revanche, pour toutes les fonctions rationnelles — les seules dont nous calculerons les limites.
Exemple 3.1
Pour \(f(x) = \frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1}\), de domaine \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) : \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = \class{rep}{1}\) et \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = \class{rep}{\frac{2}{4} = \frac{1}{2}}\).