Opérations sur les fonctions

Activité 1.2 — un bénéfice, sans le savoir

Une entreprise fabrique un produit. Produire \(x\) unités coûte \(500\) euros de frais fixes (loyer, machines) plus \(3\) euros par unité fabriquée : le coût total est donc

\[ C(x) = 500 + 3x. \]

Chaque unité se vend \(8\) euros, donc la recette pour \(x\) unités vendues est

\[ R(x) = 8x. \]

  1. Le bénéfice, c’est ce qu’il reste de la recette une fois le coût payé. Écris une formule pour le bénéfice \(B(x)\) en fonction de \(C(x)\) et \(R(x)\), puis calcule \(B(200)\).

    \(B(x) =\) \(R(x) - C(x) = 5x - 500\) \(B(200) =\) \(500\)

  2. La marge, c’est la part de chaque euro de recette qui devient du bénéfice : \(M(x) = B(x)/R(x)\). Calcule \(M(200)\). Que représente ce nombre, en une phrase ?

    \(M(200) =\) \(500/1600 = 0{,}3125\)

    Un peu plus de \(31 \%\) de chaque euro de recette devient du bénéfice.

  3. Tu as sans doute déjà rencontré ce genre de calcul — additionner, soustraire, multiplier ou diviser deux quantités qui dépendent toutes les deux de la même variable \(x\) — dans un autre cours ou un autre exercice, sans qu’on te dise que c’était “une opération sur des fonctions”. Donne un exemple dont tu te souviens.

Dans l’activité précédente, \(B\) et \(M\) sont de nouvelles fonctions, construites à partir de \(C\) et \(R\) par les opérations \(+\), \(-\), \(\cdot\) et \(/\) que tu connais déjà sur les nombres. Ce n’est pas un hasard isolé : à chaque fois que deux grandeurs qui dépendent d’une même variable se combinent — un coût et une recette, une vitesse et un temps, deux probabilités — on retrouve une des quatre mêmes opérations. Plutôt que de refaire le raisonnement à chaque nouvelle situation, on formalise une bonne fois pour toutes ce que veulent dire \(f+g\), \(f-g\), \(f g\) et \(\frac{f}{g}\) pour deux fonctions quelconques.

Définition 1.2

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. Alors :

  • la fonction \(f+g\) est définie par l’équation \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
  • la fonction \(f-g\) est définie par l’équation \((f-g)(x) = f(x) - g(x)\)
  • la fonction \(f g\) est définie par l’équation \((f g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
  • la fonction \(\frac{f}{g}\) est définie par l’équation \((\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)

Ainsi, pour calculer l’image d’un nombre pour la somme de deux fonctions, il faut calculer la somme des images.

✎ Exercice 1.2 C1 ★☆☆

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. Donne le domaine de définition des fonctions \(f+g\), \(f-g\), \(f g\) et \(\frac{f}{g}\).

Relis la définition des opérations sur les fonctions : pour calculer \((f+g)(x)\), que faut-il pouvoir calculer ?

Pour que \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) existe, faut-il que \(f(x)\) existe ? que \(g(x)\) existe ? les deux ? Et pour \(\frac{f(x)}{g(x)}\), y a-t-il une condition de plus ?

\(x\) doit appartenir à la fois à \(\operatorname{dom}(f)\) et à \(\operatorname{dom}(g)\) : c’est l’intersection \(\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g)\). Pour le quotient, pense au dénominateur.

  • \(\operatorname{dom}(f+g) = \operatorname{dom}(f-g) = \operatorname{dom}(f g) = \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g)\) : il faut pouvoir calculer \(f(x)\) et \(g(x)\).
  • \(\operatorname{dom}(\frac{f}{g})\) : les réels de \(\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g)\) pour lesquels \(g(x) \neq 0\) (on ne divise pas par \(0\)).
  • Prendre la réunion des domaines au lieu de l’intersection : si \(g(x)\) n’existe pas, \(f(x) + g(x)\) n’existe pas non plus.
  • Oublier, pour le quotient, d’exclure les racines de \(g\).

✎ Exercice 1.3 C1 ★☆☆

Voici les graphiques de \(f(x) = x\) et \(g(x) = \frac{1}{x}\).

Trait plein : \(f(x) = x\). Trait pointillé : \(g(x) = \frac{1}{x}\).

En lisant les valeurs de \(f\) et de \(g\) sur le graphique, calcule \((f+g)(x)\), \((f-g)(x)\), \((f g)(x)\) et \((f/g)(x)\) pour \(x = -2\), \(x=-1\), \(x=1\) et \(x=2\).

Relis la définition des opérations : \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\), etc. On calcule avec les images.

Pour \(x = -2\), que valent \(f(-2)\) et \(g(-2)\) sur le graphique ?

\(f(-2) = -2\) et \(g(-2) = -\frac{1}{2}\). Donc \((f+g)(-2) = -2 + (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}\). Fais de même pour les autres opérations, puis pour \(x = -1\), \(1\) et \(2\).

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(1\) \(2\)
\(f(x)\) \(-2\) \(-1\) \(1\) \(2\)
\(g(x)\) \(-\frac{1}{2}\) \(-1\) \(1\) \(\frac{1}{2}\)
\((f+g)(x)\) \(-\frac{5}{2}\) \(-2\) \(2\) \(\frac{5}{2}\)
\((f-g)(x)\) \(-\frac{3}{2}\) \(0\) \(0\) \(\frac{3}{2}\)
\((f g)(x)\) \(1\) \(1\) \(1\) \(1\)
\((f/g)(x)\) \(4\) \(1\) \(1\) \(4\)

Remarque : \((f g)(x) = x \cdot \frac{1}{x} = 1\) et \((f/g)(x) = x / (\frac{1}{x}) = x^{2}\), pour tout \(x \neq 0\).

  • Lire \(g(-2)\) sur la mauvaise courbe (trait plein ou pointillé).
  • Diviser par une fraction : \(-2 / (-\frac{1}{2}) = -2 \cdot (-2) = 4\), pas \(1\).

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