Les fonctions rationnelles en pm infty : asymptote horizontale ?
Activité 4.2 — une asymptote horizontale sur mesure
- Invente une fonction dont le graphique a une asymptote horizontale d’équation \(y = 3\). (Pense aux transformations de \(\frac{1}{x}\) vues au chapitre 2.)
- Écris ta fonction sous la forme d’un seul quotient de deux polynômes. Que remarques-tu sur les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur ?
Par exemple \(3 + \frac{1}{x} = \frac{3x + 1}{x}\). Les termes de plus haut degré sont \(3x\) et \(x\) : leur quotient vaut \(3\), l’équation de l’A.H.
Activité 4.3 — un quotient de deux termes dominants
Soit \(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\).
Complète le tableau (arrondis au millième).
\(x\) \(10\) \(100\) \(1000\) \(10 \, 000\) \(f(x)\) \(3\) \(2{,}072\) \(2{,}007\) \(2{,}001\) Lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\), \(f(x)\) semble proche de \(2\).
Lorsque \(x\) est très grand, le numérateur \(2x + 1\) se comporte comme son terme dominant \(2x\) et le dénominateur \(x - 3\) comme \(x\). Le quotient se comporte donc comme \(\frac{2x}{x} = 2\).
\(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\)
- Que fait le graphique de \(f\) loin à droite et loin à gauche ? il se rapproche de la droite horizontale \(y = 2\)
Propriété 4.2 — fonction rationnelle en \(\pm \infty\)
Soit \(f\) une fonction rationnelle. Si \(a x^{n}\) est le terme de plus haut degré du numérateur et \(b x^{m}\) celui du dénominateur, alors
\[ \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{a x^{n}}{b x^{m}}. \]
Définition 4.1 — asymptote horizontale
La droite d’équation \(y = b\) (\(b\) réel) est une asymptote horizontale (A.H.) du graphique de \(f\) si
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = b \quad \text{ou} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b. \]
Exemple 4.2
Pour chaque fonction, calcule les limites en \(\pm \infty\) puis décris ce que l’on observe sur le graphique.
\(f_{1}(x) = \frac{x^{2}+1}{4x^{2}+1}\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f_{1}(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}}{4x^{2}} = \class{rep}{\frac{1}{4}}\)
Sur le graphique : A.H. d’équation \(y = 1/4\) des deux côtés
\(f_{2}(x) = \frac{2x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}+4}\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f_{2}(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{2x^{2}}{x^{3}} = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x} = \class{rep}{0}\)
Sur le graphique : A.H. d’équation \(y = 0\) des deux côtés
\(f_{3}(x) = \frac{5x^{2}+1}{7x+1}\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f_{3}(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{5x^{2}}{7x} = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{5x}{7}\), soit \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\)
Sur le graphique : pas d’A.H.
Propriété 4.3 — A.H. d’une fonction rationnelle
Soit \(f\) une fonction rationnelle, \(n\) le degré de son numérateur et \(m\) celui de son dénominateur (\(a\) et \(b\) les coefficients des termes de plus haut degré).
- Si \(n < m\) : les limites en \(\pm \infty\) valent \(0\) ; le graphique a une A.H. d’équation \(y = 0\).
- Si \(n = m\) : les limites en \(\pm \infty\) valent \(\frac{a}{b}\) ; le graphique a une A.H. d’équation \(y = \frac{a}{b}\).
- Si \(n > m\) : les limites en \(\pm \infty\) sont infinies ; le graphique n’a pas d’A.H.