Quand une limite a-t-elle un sens ?

Activité 2.5 — où peut-on se placer ?

Voici le graphique de \(f(x) = \sqrt{x}\).

  1. Quel est le domaine de \(f\) ? \([0 ; +\infty[\) Quelles sont ses bornes ? \(0\) et \(+\infty\)

  2. Lorsque \(x\) est proche de \(4\), de quel point le point \(M\) est-il proche ? \((4 ; 2)\)

  3. Lorsque \(x\) est proche de \(0\) (en restant dans le domaine), de quel point \(M\) est-il proche ? \((0 ; 0)\)
    Par quel côté \(x\) peut-il s’approcher de \(0\) ? uniquement par la droite

  4. Lorsque \(x\) est proche de \(-2\), que peut-on dire du point \(M\) ?

    Rien : aucun point du graphique n’a une abscisse proche de \(-2\). La question n’a pas de sens.

  5. Lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\), de quel point \(M\) est-il proche ? \((+\infty ; +\infty)\)

Pour parler de la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\), il faut donc qu’il y ait des éléments du domaine aussi proches qu’on veut de \(a\). Rappelons-nous le but : une limite sert à donner une information sur le graphique de \(f\) près de \(x = a\). S’il n’y a aucun point du graphique près de \(x = a\), il n’y a rien à décrire, et on ne peut se prononcer sur aucune valeur : la limite n’a pas de sens.

Les fonctions que nous rencontrerons sont toutes définies sur une union d’intervalles, comme \([0 ; +\infty[\) pour \(\sqrt{x}\) ou \(]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[\) pour \(\frac{1}{x}\). Les bornes du domaine sont les bornes de ces intervalles, y compris \(+\infty\) et \(-\infty\) : \(0\) et \(+\infty\) pour \(\sqrt{x}\) ; \(-\infty\), \(0\) et \(+\infty\) pour \(\frac{1}{x}\).

Définition 2.2 — valeur qui « colle au domaine »

Soit \(f\) une fonction dont le domaine est une union d’intervalles. On dit que \(a\) (réel ou \(\pm \infty\)) colle au domaine de \(f\) si \(a\) appartient au domaine de \(f\) ou si \(a\) est une borne du domaine.

Propriété 2.1 — trois réponses possibles

Soit \(f\) une fonction et \(a\) un réel ou \(\pm \infty\).

  • Si \(a\) ne colle pas au domaine de \(f\), la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) n’a pas de sens.
  • Si \(a\) colle au domaine de \(f\), deux cas sont possibles : la limite existe (elle vaut un réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\)), ou elle n’existe pas.

Exemple 2.1

  • \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}\) existe et vaut \(2\) ; \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\) n’existe pas (voir ci-dessous) ; \(\lim\limits_{x \to -2} \sqrt{x}\) n’a pas de sens.
  • Pour \(f(x) = \sqrt{x}\), de domaine \([0 ; +\infty[\) et de bornes \(0\) et \(+\infty\), les valeurs qui collent au domaine sont tous les réels positifs ou nuls, et \(+\infty\). La limite en \(-\infty\) n’a pas de sens.
  • Pour \(g(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}\), de domaine \(]-\infty ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[\) et de bornes \(-\infty\), \(1\) et \(+\infty\), tous les réels ainsi que \(-\infty\) et \(+\infty\) collent au domaine : toutes les limites de \(g\) ont un sens.

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