Asymptote oblique
Lorsque le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur, les limites en \(\pm \infty\) sont infinies. Le graphique peut alors longer une droite oblique, comme celui de \(f_{3}\) ci-dessus… mais pas toujours : le graphique de \(x^{2}\) part lui aussi vers \(+\infty\), sans jamais longer aucune droite. Une limite infinie en \(\pm \infty\) ne suffit donc pas à garantir une asymptote oblique. Il faut que l’écart entre le graphique et la droite devienne aussi petit qu’on veut.
Définition 4.2 — asymptote oblique
La droite d’équation \(y = m x + p\) (avec \(m \neq 0\)) est une asymptote oblique (A.O.) du graphique de \(f\) si
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - (m x + p)) = 0 \quad \text{ou} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} (f(x) - (m x + p)) = 0. \]
Activité 4.4 — mesurer l’écart entre un graphique et une droite
Soit \(f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x}\) et \(d\) la droite d’équation \(y = x\).
Vérifie que, pour \(x \neq 0\), \(f(x) = x + \frac{1}{x}\). \(\frac{x^{2}+1}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}\)
Sur le graphique, les segments verticaux mesurent l’écart entre le graphique de \(f\) et la droite \(d\), c’est-à-dire la différence \(f(x) - x\) entre les deux ordonnées. Complète le tableau.
\(f(x) = x + \frac{1}{x}\) et la droite \(d : y = x\)
\(x\) \(f(x)\) ordonnée sur \(d\) écart \(f(x) - x\) \(1\) \(2\) \(1\) \(1\) \(2\) \(2{,}5\) \(2\) \(0{,}5\) \(4\) \(4{,}25\) \(4\) \(0{,}25\) \(10\) \(10{,}1\) \(10\) \(0{,}1\) \(100\) \(100{,}01\) \(100\) \(0{,}01\) \(-10\) \(-10{,}1\) \(-10\) \(-0{,}1\) Que devient l’écart lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\) ? Et de \(-\infty\) ? La droite \(d\) est-elle une A.O. du graphique de \(f\) ?
L’écart \(\frac{1}{x}\) est proche de \(0\) en \(+\infty\) (graphique au-dessus de \(d\)) comme en \(-\infty\) (graphique en dessous de \(d\)) : \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = 0\), donc \(d\) est une A.O. des deux côtés.
Même question avec la droite \(d'\) d’équation \(y = x + 1\), parallèle à \(d\) : que devient l’écart \(f(x) - (x + 1)\) lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\) ? \(d'\) est-elle une A.O. ?
\(f(x) - (x+1) = \frac{1}{x} - 1\) est proche de \(-1\), pas de \(0\) : le graphique reste à distance \(1\) de \(d'\). Ce n’est pas une A.O., même si elle a la bonne direction.
Et pour le graphique de \(x^{2}\) et la droite d’équation \(y = 2x\) : que devient l’écart \(x^{2} - 2x\) lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\) ?
Il est proche de \(+\infty\) (le terme \(x^{2}\) l’emporte) : la parabole s’éloigne de plus en plus de la droite. Aucune droite n’est une A.O. de la parabole.
Pour qu’une droite soit une A.O., il ne suffit donc pas que le graphique « parte dans la même direction » : il faut que l’écart entre les deux devienne aussi petit qu’on veut. La difficulté est alors de trouver la bonne droite. Pour une fonction rationnelle, une division fait apparaître à la fois la droite et l’écart, comme dans l’écriture \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) ci-dessus.
Activité 4.5 — une asymptote oblique sur mesure
- En t’inspirant de \(f(x) = x + \frac{1}{x}\), invente une fonction dont le graphique a une A.O. d’équation \(y = 2x - 1\) et une A.V. d’équation \(x = 1\).
- Écris-la sous la forme d’un seul quotient. Si on te donnait seulement ce quotient, comment pourrais-tu retrouver l’équation de l’A.O. ?
Par exemple \(2x - 1 + \frac{1}{x-1} = \frac{2x^{2} - 3x + 2}{x-1}\). Pour retrouver \(2x - 1\), il faudrait « défaire » la mise au même dénominateur : c’est ce que fait une division euclidienne.
Activité 4.6 — trouver l’asymptote oblique par une division
Soit \(f(x) = \frac{2x^{2} - 1}{x - 1}\).
Effectue la division euclidienne de \(2x^{2} - 1\) par \(x - 1\).
Quotient \(2x + 2\), reste \(1\) : \(2x^{2} - 1 = (x-1)(2x+2) + 1\).
Déduis-en que \(f(x) = 2x + 2 + \frac{1}{x-1}\) pour \(x \neq 1\).
Calcule \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} (f(x) - (2x+2)) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x-1} = \class{rep}{0}\). Conclusion : la droite \(y = 2x + 2\) est une A.O. de chaque côté
\(f(x) = \frac{2x^{2}-1}{x-1}\)
La division fait apparaître \(f(x)\) comme la somme d’un polynôme du premier degré (l’équation de l’A.O.) et d’une fraction dont la limite en \(\pm \infty\) vaut \(0\) (l’écart entre le graphique et l’asymptote). Cela ne fonctionne que si le quotient de la division est du premier degré, c’est-à-dire si le degré du numérateur dépasse de exactement \(1\) celui du dénominateur.
Propriété 4.4 — A.O. d’une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle a une A.O. si et seulement si le degré de son numérateur vaut le degré de son dénominateur plus \(1\). L’équation de l’A.O. est \(y = q(x)\), où \(q(x)\) est le quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Exemple 4.3 — estimer une valeur grâce à une asymptote
Loin à droite, le graphique d’une fonction se confond presque avec son asymptote : on peut utiliser l’équation de l’asymptote pour estimer une valeur de la fonction.
- Pour \(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\), d’A.H. \(y = 2\) : \(f(1000) \approx \class{rep}{2}\). Valeur exacte : \(\frac{2001}{997} \approx 2{,}007\).
- Pour \(f(x) = \frac{2x^{2}-1}{x-1}\), d’A.O. \(y = 2x + 2\) : \(f(1000) \approx \class{rep}{2 \cdot 1000 + 2 = 2002}\). Valeur exacte : \(1 \, 999 \, 999 / 999 \approx 2002{,}001\).
L’estimation est d’autant meilleure que \(x\) est loin : l’écart entre le graphique et l’asymptote tend vers \(0\).