Recherche algébrique du domaine d’une fonction
Jusqu’à présent, nous nous sommes contentés d’observer le domaine d’une fonction à partir de son graphique. Nous allons dorénavant déterminer celui-ci à partir de son expression analytique. Pour ce faire, on commence par poser des conditions d’existence. Dans ce cours, nous rencontrerons les conditions d’existence suivantes :
| Expression | Condition d’existence |
|---|---|
| \(\frac{1}{a}\) | \(a \neq 0\) |
| \(\sqrt{a}\) | \(a \geq 0\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) | \(a > 0\) |
Le calcul ne remplace pas le graphique : il le confirme (ou le corrige). Quand un graphique est disponible, on procède en trois temps.
Démarche pour trouver le domaine d’une fonction.
- Conjecturer sur le graphique : où le graphique existe-t-il ? Repère où il commence ou s’arrête, où il s’interrompt (asymptote verticale, point creux).
- Calculer : pose les conditions d’existence et résous-les.
- Vérifier sur le graphique : le domaine calculé et la conjecture doivent concorder. Sinon, cherche l’erreur, dans le calcul ou dans la lecture du graphique.
✎ Exercice 1.7
Pour les expressions suivantes, indique quel est le type de condition d’existence adéquat :
- \(f(x) = \frac{1}{x-4}\)
- \(f(x) = x \sqrt{1+x}\)
- \(f(x) = \sqrt{x+1}\)
- \(f(x) = x - 5\)
Relis le tableau des conditions d’existence, au début de la section.
Dans chaque expression, y a-t-il une division par une expression contenant \(x\) ? une racine carrée contenant \(x\) ? les deux ?
\(\frac{1}{x-4}\) est du type \(\frac{1}{a}\) avec \(a = x - 4\) : quelle est la condition sur \(a\) ?
- \(\frac{1}{x-4}\) : dénominateur non nul, \(x - 4 \neq 0\).
- \(x \sqrt{1+x}\) : radicand positif ou nul, \(1 + x \geq 0\) (le facteur \(x\) devant ne pose aucun problème).
- \(\sqrt{x+1}\) : \(x + 1 \geq 0\).
- \(x - 5\) : aucune condition, c’est un polynôme ; son domaine est \(\mathbb{R}\).
- Voir une division dans \(x \sqrt{1+x}\) : c’est un produit.
- Écrire \(1 + x > 0\) au lieu de \(\geq 0\) : \(\sqrt{0} = 0\) existe.
✎ Exercice 1.8
Voici l’expression analytique et le graphique de quatre fonctions. Pour chacune : conjecture son domaine sur le graphique, calcule-le à partir de l’expression, puis vérifie sur le graphique que ton calcul concorde avec ta conjecture.
- \(f(x) = 2x^{2} - x^{4}\)
- \(g(x) = \frac{x^{2}-2}{x-2}\)
- \(h(x) = \sqrt{x-2}\)
- \(i(x) = \frac{x+1}{x-2}\)
\(f\)
\(g\)
\(h\)
\(i\)
Relis la démarche pour trouver le domaine et le tableau des conditions d’existence.
Sur chaque graphique : où commence-t-il ? où s’arrête-t-il ? s’interrompt-il quelque part ? Puis, dans l’expression : où est la division ? où est la racine ?
Pour \(g\) : le graphique s’interrompt autour de \(x = 2\) (il monte et descend sans fin). Conjecture : \(\operatorname{dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Calcul : \(x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2\). Les deux concordent.
\(f(x) = 2x^{2} - x^{4}\).
- Conjecture : le graphique continue à gauche et à droite, sans interruption : \(\mathbb{R}\).
- Calcul : polynôme, aucune condition : \(\operatorname{dom}(f) = \mathbb{R}\).
- Vérification : concorde.
\(g(x) = \frac{x^{2}-2}{x-2}\).
- Conjecture : tout \(\mathbb{R}\) sauf \(2\), où le graphique monte et descend sans fin.
- Calcul : \(x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2\) : \(\operatorname{dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
- Vérification : concorde.
\(h(x) = \sqrt{x-2}\).
- Conjecture : le graphique commence en \(x = 2\) (point de départ compris) et continue à droite : \([2 ; +\infty[\).
- Calcul : \(x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2\) : \(\operatorname{dom}(h) = [2 ; +\infty[\).
- Vérification : concorde.
\(i(x) = \frac{x+1}{x-2}\).
- Conjecture : tout \(\mathbb{R}\) sauf \(2\).
- Calcul : \(x \neq 2\) : \(\operatorname{dom}(i) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
- Vérification : concorde.
- Conjecturer « tout \(\mathbb{R}\) » pour \(g\) parce qu’une valeur isolée est difficile à voir : regarde où le graphique s’interrompt.
- Imposer une condition au numérateur : \(x^{2} - 2\) peut valoir \(0\).
- Écrire \(]2 ; +\infty[\) pour \(h\) : \(\sqrt{0} = 0\) existe.
- Sauter la vérification : c’est elle qui détecte une erreur de calcul.
✎ Exercice 1.9 ⟵ à faire à la maison
Voici l’expression analytique et le graphique de quatre fonctions. Pour chacune : conjecture son domaine sur le graphique, calcule-le à partir de l’expression, puis vérifie sur le graphique que ton calcul concorde avec ta conjecture.
- \(j(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}\)
- \(k(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x^{2}-1}\)
- \(l(x) = \frac{x^{3}+2}{x^{2}-4}\)
- \(m(x) = \frac{x^{3}+2}{(x-2)^{2}}\)
\(j\)
\(k\)
\(l\)
\(m\)
Relis la démarche pour trouver le domaine et la ligne \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) du tableau des conditions d’existence.
Quand une racine est au dénominateur, la condition « radicand \(\geq 0\) » suffit-elle ? Que montre le graphique de \(j\) près de \(x = 2\) ?
Pour \(k\), il y a deux conditions : \(x + 2 \geq 0\) et \(x^{2} - 1 \neq 0\). Résous-les séparément, combine-les, puis compare avec le graphique : où commence-t-il ? où s’interrompt-il ?
- \(j\) : conjecture : le graphique existe seulement à droite de \(2\), sans atteindre \(x = 2\) (il monte sans fin). Calcul : \(x - 2 > 0\), \(\operatorname{dom}(j) = ]2 ; +\infty[\). Concorde.
- \(k\) : conjecture : le graphique commence en \(x = -2\) et s’interrompt en \(-1\) et en \(1\). Calcul : \(x \geq -2\), \(x \neq -1\), \(x \neq 1\) : \(\operatorname{dom}(k) = [-2 ; -1[ \cup ]-1 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[\). Concorde.
- \(l\) : conjecture : interruptions en \(-2\) et en \(2\). Calcul : \(x^{2} \neq 4\) : \(\operatorname{dom}(l) = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}\). Concorde.
- \(m\) : conjecture : interruption en \(2\) seulement. Calcul : \(x \neq 2\) : \(\operatorname{dom}(m) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Concorde.
- Oublier la solution \(x = -1\) de \(x^{2} - 1 = 0\), ou \(x = -2\) de \(x^{2} = 4\) : le graphique te le rappelle.
- Pour \(j\) : garder \(2\) dans le domaine (on diviserait par \(\sqrt{0} = 0\)).