On ne calcule pas avec l’infini
Activité 4.7 — trois soustractions de très grands nombres
Voici trois fonctions. Pour chacune, lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\), les deux termes sont proches de \(+\infty\) : on soustrait deux nombres très grands.
\[ A(x) = x^{2} - x, \quad B(x) = x - x^{2}, \quad C(x) = (x + 1) - x. \]
Complète le tableau.
\(x\) \(10\) \(100\) \(1000\) \(A(x)\) \(90\) \(9900\) \(999 \, 000\) \(B(x)\) \(-90\) \(-9900\) \(-999 \, 000\) \(C(x)\) \(1\) \(1\) \(1\) Que valent \(\lim\limits_{x \to +\infty} A(x)\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} B(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} C(x)\) ? \(+\infty\), \(-\infty\) et \(1\)
Les trois expressions ont la même allure : « un très grand nombre moins un autre très grand nombre ». Peut-on énoncer une règle qui donnerait le résultat d’une telle soustraction ?
Non : la même allure donne trois résultats différents. Seule l’analyse de chaque expression (ici : quel terme l’emporte, ou une simplification) permet de conclure.
Remarque 4.2
On parle de cas d’indétermination lorsque regarder séparément chaque morceau d’une expression ne permet pas de conclure. Ce n’est pas un résultat : c’est un signal qui dit « analyse l’expression ». Nous en avons rencontré deux :
- en une valeur interdite qui annule aussi le numérateur : on simplifie la fraction ;
- en \(\pm \infty\), quand des termes tirent dans des sens opposés : on cherche le terme qui l’emporte.
Attention : \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres, et on ne calcule pas avec eux. Ils indiquent seulement vers où se dirige le graphique.