Asymptotes : premier contact
Lors de ton analyse des fonctions de référence en 4e, tu as rencontré la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\). Cette fonction présente une particularité :
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
La particularité est que cette fonction admet deux asymptotes : l’une est horizontale et l’autre est verticale.
Intuitivement, une asymptote au graphique d’une fonction est une droite qui semble se rapprocher de plus en plus du graphique de cette fonction.
Un des objectifs de cette UAA est de fournir des outils qui nous permettront de détecter ces asymptotes.
Il existe trois types d’asymptotes : verticale, horizontale et oblique. Voici quelques exemples :
\(f(x) = \frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1}\)
\(f(x) = \frac{x^{3}-3x^{2}+3x}{x^{2}-2x+1}\)
\(f(x) = \frac{-x^{3}+3x^{2}-3x}{x^{2}-2x+1}\)
\(f(x) = \frac{x^{3}}{20x-20}\)
\(f(x) = -\frac{x^{4}}{x^{2}+1}\)
\(f(x) = -\frac{x}{x^{2}-1}\)
✎ Exercice 1.10
Pour les fonctions représentées ci-dessus,
- donne la nature de chaque asymptote : verticale, horizontale ou oblique ;
- donne ensuite une équation cartésienne de chaque asymptote.
Relis le début de la section : une asymptote est une droite dont le graphique se rapproche de plus en plus. Il y en a trois sortes : verticale, horizontale, oblique.
Pour chaque graphique, regarde les bords : près de quelle droite le graphique monte ou descend-il sans fin ? De quelle droite se rapproche-t-il loin à gauche et à droite ?
Équations : une droite verticale s’écrit \(x = a\), une horizontale \(y = b\), une oblique \(y = m x + p\) ; pour l’oblique, lis deux points de la droite pour trouver \(m\) et \(p\).
- \(\frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1}\) : A.H. \(y = 0\). Pas d’A.V. : en \(-1\), il y a un point creux.
- A.V. \(x = 1\) ; A.O. \(y = x - 1\).
- A.V. \(x = 1\) ; A.O. \(y = -x + 1\).
- A.V. \(x = 1\) ; ni A.H. ni A.O. (le graphique monte de plus en plus vite).
- Aucune asymptote.
- A.V. \(x = -1\) et \(x = 1\) ; A.H. \(y = 0\).
- Prendre le point creux du premier graphique pour une asymptote verticale.
- Écrire l’équation d’une A.V. sous la forme \(y = \ldots\).
- Voir une asymptote oblique dans le graphique 4 : il s’éloigne de toute droite.
✎ Exercice 1.11
Dans le repère ci-dessous, invente une fonction qui a une asymptote verticale d’équation \(x=4\).
Relis le début de la section : près d’une asymptote verticale, le graphique monte ou descend sans fin le long de la droite. Regarde les graphiques d’exemple qui en ont une.
Commence par tracer la droite \(x = 4\) en pointillés. Que doit faire ton graphique juste à gauche et juste à droite de cette droite ?
Dessine au moins une branche qui longe la droite \(x = 4\) en montant (ou en descendant) de plus en plus, sans jamais la toucher ni la traverser. Le reste du graphique est libre.
On attend un graphique, pas une expression. Un graphique possible parmi beaucoup d’autres :
Ce qui compte :
- la droite \(x = 4\) est tracée en pointillés ;
- près d’elle, le graphique monte ou descend sans fin (ici : il descend à gauche, il monte à droite) ;
- il ne la touche jamais.
- Faire traverser la droite \(x = 4\) au graphique.
- Dessiner une branche qui s’approche de la droite puis s’en éloigne : il faut s’en rapprocher de plus en plus.
- Donner une expression analytique au lieu d’un dessin.
✎ Exercice 1.12 ⟵ à faire à la maison
Dans le repère ci-dessous, invente une fonction qui a une asymptote horizontale d’équation \(y=-2\).
Relis le début de la section : loin à gauche ou à droite, le graphique se rapproche de plus en plus d’une droite horizontale.
Commence par tracer la droite \(y = -2\) en pointillés. Que doit faire ton graphique très loin à droite (ou à gauche) ?
Dessine le graphique comme tu veux au milieu du repère, puis, en allant vers le bord droit, fais-le se rapprocher de plus en plus de la droite \(y = -2\), sans jamais s’en éloigner.
On attend un graphique. Un graphique possible :
Ce qui compte : la droite \(y = -2\) est tracée ; loin à droite (ou à gauche, ou des deux côtés), le graphique s’en rapproche de plus en plus. Au milieu, il peut faire ce qu’il veut, même couper la droite.
- Dessiner un graphique qui se confond avec la droite : il doit s’en rapprocher.
- Confondre avec une A.V. : une A.H. se lit loin à gauche ou loin à droite.
✎ Exercice 1.13 ⟵ à faire à la maison
Dans le repère ci-dessous, invente une fonction qui a une asymptote oblique d’équation \(y = \frac{x}{2} - 1\).
Relis le début de la section et regarde le graphique d’exemple dont le graphique longe la droite \(y = x - 1\).
Trace d’abord la droite \(y = \frac{x}{2} - 1\) : par quels points passe-t-elle ? Que doit faire ton graphique très loin à droite ?
La droite passe par \((0 ; -1)\) et \((2 ; 0)\) (elle monte de \(1\) quand \(x\) augmente de \(2\)). Trace-la en pointillés, puis dessine un graphique qui la longe de plus en plus près loin à droite.
On attend un graphique. Un graphique possible :
Ce qui compte : la droite \(y = \frac{x}{2} - 1\) est tracée avec la bonne pente ; loin à droite (ou des deux côtés), le graphique s’en rapproche de plus en plus.
- Tracer la droite avec la mauvaise pente.
- Dessiner une parabole : elle ne longe aucune droite.
Remarque 1.3
Nous ne définirons pas encore précisément ce qu’est une asymptote : cela viendra au fil du chapitre suivant, dès que nous aurons les outils de calcul pour le démontrer plutôt que de le deviner sur un dessin.