Exercices

✎ Exercice 4.1 ⟵ à faire à la maison A2 ★☆☆

Calcule les limites suivantes. Pour les deux premières, explique ta démarche.

\(\lim\limits_{x \to -\infty} (1 - 2x - 3x^{3})\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (1 - 2x - 3x^{3})\)
\(\lim\limits_{x \to -\infty} (1 + 5x^{5})\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (1 - 2x - 7x^{4})\)
\(\lim\limits_{x \to 2} (1 - 2x - 7x^{4})\)
\(\lim\limits_{x \to -\infty} x(1 - x^{2})(x + x^{3})\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} x(1 + 2x^{2})(1 + x - x^{4})\)
\(\lim\limits_{x \to 1} x(1 + 2x^{2})(1 + x - x^{4})\)

Relis la propriété « polynôme en \(\pm \infty\) » et la remarque sur le signe de \(a x^{n}\). Pour \(x \to 2\) ou \(x \to 1\) : limite en un point du domaine.

Quel est le terme de plus haut degré ? Pour un produit, quel est le terme de plus haut degré du développement (sans tout développer) ?

Le terme dominant est \(-3x^{3}\). En \(-\infty\), \(x^{3}\) est proche de \(-\infty\), donc \(-3x^{3}\) est proche de \(+\infty\).

\(\lim\limits_{x \to -\infty} (-3x^{3}) = +\infty\).
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (-3x^{3}) = -\infty\).
\(\lim\limits_{x \to -\infty} 5x^{5} = -\infty\).
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (-7x^{4}) = -\infty\).
En \(2\) (point du domaine) : \(1 - 4 - 7 \cdot 16 = -115\).
Terme dominant \(x \cdot (-x^{2}) \cdot x^{3} = -x^{6}\) : en \(-\infty\), \(-\infty\).
Terme dominant \(x \cdot 2x^{2} \cdot (-x^{4}) = -2x^{7}\) : en \(+\infty\), \(-\infty\).
En \(1\) : \(1 \cdot 3 \cdot 1 = 3\).

Oublier le signe du coefficient : \(-3x^{3}\) en \(-\infty\) donne \(+\infty\).
Appliquer la règle du terme dominant en \(2\) ou en \(1\) : elle ne vaut qu’en \(\pm \infty\).
Écrire « \(+\infty - \infty\) » : on ne calcule pas avec l’infini.

✎ Exercice 4.2 ⟵ à faire à la maison A5 ★☆☆

Calcule les limites en \(\pm \infty\) des fonctions des exercices du chapitre précédent, et donne les équations de leurs éventuelles A.H.

Relis la propriété « A.H. d’une fonction rationnelle ».

Pour chaque fonction, quels sont les degrés du numérateur et du dénominateur ?

Exercice 3.3 : numérateur de degré \(0\), dénominateur de degré \(3\) : la limite en \(\pm \infty\) vaut \(0\).

Ex. 3.3, \(\frac{1}{(x+1)(x^{2}-4)}\) : degrés \(0 < 3\), limites \(0\), A.H. \(y = 0\).
Ex. 3.4, \(\frac{x-2}{-x^{2}+4x}\) : degrés \(1 < 2\), limites \(0\), A.H. \(y = 0\).
Ex. 3.5, \(\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+2)}\) : degrés égaux, \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1\), A.H. \(y = 1\).
Ex. 3.6, \(\frac{2x^{2}-x-3}{x^{3}+2x^{2}+x}\) : degrés \(2 < 3\), limites \(0\), A.H. \(y = 0\).
Ex. 3.8, \(\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-2}\) : degrés égaux, limites \(1\), A.H. \(y = 1\).

Pour \(\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+2)}\) : compter les degrés sans développer (le numérateur est de degré \(2\)).
Confondre « la limite vaut \(0\) » et « il n’y a pas d’A.H. » : \(y = 0\) est une A.H.

✎ Exercice 4.3 A5 ★★☆

Détermine l’A.O. de chacune des fonctions suivantes.

\(f(x) = \frac{3x^{2} - 1}{x - 3}\)
\(g(x) = \frac{2x^{2} - 5x + 3}{x - 2}\)

Relis l’activité « trouver l’asymptote oblique par une division » et la propriété « A.O. d’une fonction rationnelle ».

Les degrés conviennent-ils (numérateur = dénominateur + 1) ? Quelle division faut-il effectuer ?

Divise \(3x^{2} - 1\) par \(x - 3\) : premier terme du quotient \(3x\) ; \(3x(x - 3) = 3x^{2} - 9x\) ; il reste \(9x - 1\). Continue.

\(3x^{2} - 1 = (x-3)(3x+9) + 26\), donc \(f(x) = 3x + 9 + \frac{26}{x-3}\). Comme \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{26}{x-3} = 0\), la droite \(y = 3x + 9\) est une A.O. des deux côtés.
\(2x^{2} - 5x + 3 = (x-2)(2x-1) + 1\), donc \(g(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x-2}\) : A.O. \(y = 2x - 1\).

Prendre le quotient des termes dominants (\(3x\)) comme équation de l’A.O. : il manque la constante.
Oublier un terme nul dans la division (\(3x^{2} + 0x - 1\)).

✎ Exercice 4.4 C4 ★★☆

Une asymptote horizontale peut-elle couper le graphique d’une fonction ? Et une asymptote verticale ? Et une asymptote oblique ? Justifie à l’aide d’exemples rencontrés depuis le chapitre 2.

Relis les définitions de l’A.H., de l’A.O. et de l’A.V. : que disent-elles de ce qui se passe loin ? et près de la droite ?

Une définition d’asymptote interdit-elle au graphique de toucher la droite ailleurs ?

Repense à l’activité « un graphique trompeur » : \(10 \frac{\sin x}{x}\) et la droite \(y = 0\).

A.H. : oui. \(f(x) = 10 \frac{\sin x}{x}\) a l’A.H. \(y = 0\) et la coupe une infinité de fois. La définition ne parle que de ce qui se passe loin.
A.V. : pour une fonction rationnelle, jamais : une A.V. est en une valeur interdite, où il n’y a aucun point du graphique.
A.O. : oui. Dans l’exercice « estimer l’image de \(1000\) », \(f(x) = \frac{x}{2} - 1 + \frac{5000x}{(x+1)(x-300)}\) coupe son A.O. \(y = \frac{x}{2} - 1\) en \(x = 0\).

Croire qu’une asymptote est une droite que le graphique « ne touche jamais » : c’est une droite dont il se rapproche de plus en plus.

✎ Exercice 4.5 A6 ★★☆

Voici le graphique de deux fonctions \(f\) et \(g\). Toutes deux ont, vers la droite, une A.O. d’équation \(y = \frac{x}{2} - 1\).

graphique de \(f\)

graphique de \(g\)

Pour quel(s) graphique(s) peut-on raisonnablement utiliser l’A.O. pour estimer l’image de \(1000\) ? Explique ton choix, et donne une estimation de cette (ces) image(s).

Relis l’exemple « estimer une valeur grâce à une asymptote ».

En \(x = 1000\), lequel des deux graphiques est déjà très proche de l’asymptote ?

L’estimation par l’asymptote vaut \(\frac{1000}{2} - 1 = 499\). Sur le graphique de \(g\), la courbe est-elle encore loin de la droite en \(1000\) ?

Pour \(f\) : en \(x = 1000\), le graphique se confond presque avec l’A.O. On peut estimer \(f(1000) \approx \frac{1000}{2} - 1 = 499\) (valeur exacte \(\approx 506\), écart d’environ \(1{,}4 \%\)).

Pour \(g\) : en \(x = 1000\), le graphique est encore nettement au-dessus de l’asymptote (écart d’environ \(50\)). L’estimation \(499\) serait trop grossière ; on lit plutôt \(g(1000) \approx 550\) sur le graphique.

Utiliser l’asymptote sans vérifier que l’écart est déjà petit en \(1000\).
Croire que deux fonctions qui ont la même A.O. ont des valeurs proches partout.

✎ Exercice 4.6 A3 ★★☆

Associe chaque expression analytique à l’information qui lui correspond, sans faire de calcul détaillé.

\(f_{1}(x) = \frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}\)
\(f_{2}(x) = \frac{2x}{x-7}\)
\(f_{3}(x) = -2x + 5 + \frac{1}{x-5}\)
\(f_{4}(x) = \frac{2x}{x+1}\)
\(f_{5}(x) = x + \frac{7}{x^{2}-4}\)
\(f_{6}(x) = \frac{2x^{5}}{(x+1)(x+10)}\)

A.V. \(x = 5\) et A.O. \(y = -2x + 5\)
deux A.V., en \(-1\) et en \(-10\), ni A.H. ni A.O.
pas d’A.V. et une A.H. \(y = 2\)
deux A.V., en \(-2\) et en \(2\), et une A.O. \(y = x\)
A.V. \(x = 7\) et A.H. \(y = 2\)
A.V. \(x = -1\) et A.H. \(y = 2\)

Relis la synthèse : valeurs interdites → A.V. ; comparaison des degrés → A.H. ou A.O.

Pour chaque expression : quelles sont les valeurs interdites ? Quels sont les degrés du numérateur et du dénominateur ?

\(f_{1}(x) = \frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}\) : le dénominateur ne s’annule jamais ; les degrés sont égaux, \(\frac{4}{2} = 2\).

\(f_{1}\) → c) pas d’A.V., A.H. \(y = 2\).
\(f_{2}\) → e) A.V. \(x = 7\), A.H. \(y = 2\).
\(f_{3}\) → a) A.V. \(x = 5\), A.O. \(y = -2x + 5\).
\(f_{4}\) → f) A.V. \(x = -1\), A.H. \(y = 2\).
\(f_{5}\) → d) A.V. en \(-2\) et \(2\), A.O. \(y = x\).
\(f_{6}\) → b) A.V. en \(-1\) et \(-10\) ; degrés \(5\) et \(2\) : ni A.H. ni A.O.

Pour \(f_{1}\) : chercher une valeur interdite, alors que \(2x^{2} + 1 > 0\).
Pour \(f_{3}\) et \(f_{5}\) : l’A.O. se lit directement, sans division.

✎ Exercice 4.7 T3 ★★★

Associe chaque expression analytique à son graphique. Justifie chaque choix par un calcul (valeurs interdites, limites, asymptotes). \(f_{1}(x) = \frac{3-x^{2}}{x-1}\) \(f_{2}(x) = \frac{x}{(x-1)^{2}}\) \(f_{3}(x) = \frac{x^{2}-x-2}{x-1}\) \(f_{4}(x) = \frac{x^{3}-x+2}{3x-3}\)

Relis la synthèse et la propriété sur l’A.O..

Les quatre fonctions ont la même valeur interdite (\(1\)). Qu’est-ce qui les distingue en \(\pm \infty\) ?

\(f_{2}(x) = \frac{x}{(x-1)^{2}}\) : degrés \(1 < 2\), donc A.H. \(y = 0\). Et près de \(1\), \((x-1)^{2} > 0\) : quel est le signe de \(f_{2}\) des deux côtés ?

\(f_{2} = \frac{x}{(x-1)^{2}}\) : A.H. \(y = 0\) ; près de \(1\), le numérateur vaut \(1 > 0\) et le dénominateur est positif : \(+\infty\) des deux côtés → graphique B.
\(f_{1} = \frac{3-x^{2}}{x-1}\) : \(-x^{2} + 3 = (x-1)(-x-1) + 2\), A.O. \(y = -x - 1\) (descendante) → graphique C.
\(f_{3} = \frac{x^{2}-x-2}{x-1}\) : \(x^{2} - x - 2 = (x-1) x - 2\), A.O. \(y = x\) (montante) → graphique A.
\(f_{4} = \frac{x^{3}-x+2}{3x-3}\) : degrés \(3\) et \(1\), ni A.H. ni A.O. → graphique D.

Justifier par l’allure seule : l’énoncé demande un calcul.
Oublier que \(f_{1}\) et \(f_{3}\) ont toutes deux une A.O. : c’est sa pente qui les distingue.

✎ Exercice 4.8 ⟵ à faire à la maison A1 ★★☆

Pour chacune des fonctions suivantes, détermine le domaine, puis indique quelles limites il faut calculer pour connaître ses points creux et ses asymptotes, et pourquoi. Calcule ensuite ces limites et interprète-les graphiquement.

\(f(x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - x - 6}\)
\(g(x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\)
\(h(x) = \frac{3}{x^{2} + 1}\)

Relis la synthèse : les limites à calculer sont celles aux bornes du domaine.

Pour chaque fonction : quelles sont les bornes du domaine ? C’est là, et seulement là, qu’il faut calculer des limites.

\(f\) : \(x^{2} - x - 6 = (x-3)(x+2)\) ; limites en \(-2\), en \(3\) et en \(\pm \infty\).

\(f\) : \(\operatorname{dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 3\}\). En \(3\) : \(f(x) = \frac{x+3}{x+2}\) pour \(x \neq 3\), limite \(\frac{6}{5}\), point creux \((3 ; \frac{6}{5})\). En \(-2\) : A.V. ; \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x < -2}} f(x) = -\infty\), \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = +\infty\). En \(\pm \infty\) : A.H. \(y = 1\).
\(g\) : \(\operatorname{dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). En \(-1\) : numérateur \(2\), A.V. ; \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x < -1}} g(x) = -\infty\), \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} g(x) = +\infty\). En \(\pm \infty\) : \(x^{2} + 1 = (x+1)(x-1) + 2\), A.O. \(y = x - 1\).
\(h\) : \(\operatorname{dom}(h) = \mathbb{R}\) ; seules les limites en \(\pm \infty\) comptent : \(0\), A.H. \(y = 0\).

Calculer des limites en des points du domaine : elles n’apprennent rien.
Pour \(h\) : chercher une valeur interdite alors que \(x^{2} + 1 > 0\).

✎ Exercice 4.9 ⟵ à faire à la maison C3 ★★☆

Écris la démarche à suivre pour déterminer les éventuelles A.H. et A.O. d’une fonction rationnelle. Applique-la ensuite à \(f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}\).

Relis les propriétés A.H. d’une fonction rationnelle et A.O. d’une fonction rationnelle.

Qu’est-ce qui décide entre A.H., A.O. ou rien ? Quel calcul donne l’équation de l’A.O. ?

Pour \(f(x) = \frac{x^{2}+3}{x-1}\) : degrés \(2\) et \(1\). Effectue la division de \(x^{2} + 3\) par \(x - 1\).

Démarche : comparer le degré \(n\) du numérateur et le degré \(m\) du dénominateur.

\(n < m\) : A.H. \(y = 0\) ;
\(n = m\) : A.H. \(y = \frac{a}{b}\) (quotient des coefficients dominants) ;
\(n = m + 1\) : A.O., dont l’équation est le quotient de la division euclidienne ;
\(n > m + 1\) : ni A.H. ni A.O.

Pour \(f\) : \(n = 2 = m + 1\).

Division : \(x^{2} + 3 = (x-1)(x+1) + 4\), donc \(f(x) = x + 1 + \frac{4}{x-1}\).
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{4}{x-1} = 0\) : la droite \(y = x + 1\) est une A.O. des deux côtés.
Pas d’A.H. : les limites en \(\pm \infty\) sont infinies.

Oublier le cas \(n > m + 1\).
S’arrêter à « la limite est infinie » sans chercher l’A.O.

✎ Exercice 4.10 ⟵ à faire à la maison C3 ★★☆

Voici l’étude d’une fonction par un élève. Tous les calculs sont justes. Explique, pour chaque étape, pourquoi elle est permise ou nécessaire.

Soit \(f(x) = \frac{x^{2} + x}{x - 2}\).

\(\operatorname{dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
En \(2\), le numérateur vaut \(4 + 2 = 6 \neq 0\) : la droite \(x = 2\) est une A.V.
Juste à gauche de \(2\), \(x - 2 < 0\), donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = -\infty\) ; juste à droite, \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = +\infty\).
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}}{x} = \lim\limits_{x \to \pm \infty} x\) : \(-\infty\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\). Pas d’A.H.
Le degré du numérateur dépasse de \(1\) celui du dénominateur. Division euclidienne : \(x^{2} + x = (x - 2)(x + 3) + 6\), donc \(f(x) = x + 3 + \frac{6}{x - 2}\).
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{6}{x - 2} = 0\), donc la droite \(y = x + 3\) est une A.O. des deux côtés.

Relis la synthèse : chaque étape de l’élève en suit une ligne.

Pour chaque étape, quelle propriété du cours est utilisée ?

Étape 2 : le numérateur ne s’annule pas en la valeur interdite. Quelle propriété s’applique ?

Le domaine : on exclut la racine du dénominateur.
Propriété « valeur interdite qui n’annule pas le numérateur » : A.V.
Près de \(2\), le numérateur est positif (proche de \(6\)) : le signe de \(f\) est celui de \(x - 2\).
Propriété « fonction rationnelle en \(\pm \infty\) » : on garde les termes dominants. Degré du numérateur plus grand : pas d’A.H.
Degrés \(n = m + 1\) : une A.O. est possible ; la division la fait apparaître.
Définition de l’A.O. : l’écart \(f(x) - (x + 3) = \frac{6}{x-2}\) tend vers \(0\).

Justifier l’étape 3 sans parler du signe du numérateur.

✎ Exercice 4.11 C4 ★★☆

Voici la copie d’un élève pour \(f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 3x + 2}\). Elle contient plusieurs erreurs de raisonnement (même quand le résultat est juste). Trouve-les, explique-les et corrige-les.

« Le dénominateur s’annule en \(1\) et en \(2\). En \(1\), on ne peut pas diviser par \(0\), donc la droite \(x = 1\) est une A.V. »
« En \(2\), le numérateur vaut \(3\). Juste à gauche de \(2\), \(f(x)\) est très grand, donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = +\infty\). »
« En \(+\infty\), le numérateur et le dénominateur valent \(+\infty\), et \(\frac{+\infty}{+\infty} = 1\). Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1\). »
« En \(-\infty\), \(x\) est très petit, donc proche de \(0\) : \(f(x)\) est proche de \(f(0) = -\frac{1}{2}\). »

Autre copie : « \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2} = +\infty\), donc le graphique de \(x^{2}\) a une asymptote oblique. »

Relis la démarche en une valeur interdite, la remarque « on ne calcule pas avec l’infini » et l’activité sur l’écart (A.O.).

Dans chaque phrase, quel raisonnement est utilisé ? Est-il valable, même si la conclusion est juste ?

Phrase 1 : que vaut le numérateur \(x^{2} - 1\) en \(1\) ?

\(f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\).

Faux : en \(1\), le numérateur vaut aussi \(0\). On simplifie : \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\) pour \(x \neq 1\), et la limite vaut \(\frac{2}{-1} = -2\) : point creux en \((1 ; -2)\), pas d’A.V.
Faux : « très grand » sans signe. Numérateur \(\approx 3 > 0\), \(x - 1 \approx 1 > 0\), \(x - 2 < 0\) à gauche : \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = -\infty\) (le résultat était faux aussi).
Résultat juste, raisonnement faux : \(\frac{+\infty}{+\infty}\) n’est pas un calcul. Correct : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1\).
Faux : en \(-\infty\), \(x\) est négatif et très grand en valeur absolue, pas proche de \(0\). La limite vaut \(1\) (A.H. \(y = 1\)).

Autre copie : une limite infinie ne suffit pas. Il faudrait une droite dont l’écart avec le graphique tend vers \(0\) ; pour \(x^{2}\), l’écart avec toute droite tend vers \(+\infty\) : pas d’A.O.

Ne corriger que les résultats faux : la phrase 3 a un bon résultat mais un raisonnement interdit.

✎ Exercice 4.12 ⟵ à faire à la maison C2 ★★☆

Invente une fonction rationnelle dont le calcul de la limite en \(+\infty\) est un cas d’indétermination. Explique pourquoi regarder séparément chaque terme ne permet pas de conclure, puis calcule cette limite.

Relis l’activité « qui l’emporte ? » et la remarque sur les cas d’indétermination.

Quand, en \(+\infty\), regarder chaque morceau séparément ne permet-il pas de conclure ?

Choisis un numérateur et un dénominateur qui sont tous deux proches de \(+\infty\) en \(+\infty\), comme \(2x + 1\) et \(x - 3\).

Par exemple \(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) : en \(+\infty\), le numérateur et le dénominateur sont tous deux proches de \(+\infty\) ; un très grand nombre divisé par un très grand nombre peut donner n’importe quoi. Les termes dominants : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} = 2\).

Proposer \(\frac{1}{x}\) : en \(+\infty\), le numérateur ne grandit pas, il n’y a pas d’indétermination.

✎ Exercice 4.13 ⟵ à faire à la maison T2 ★★★

Trouve l’expression analytique d’une fonction dont le graphique a une A.V. d’équation \(x = 1\) et une A.O. d’équation \(y = x - 3\).

Relis l’activité « une asymptote oblique sur mesure ».

Comment écrire une fonction qui ressemble à \(x - 3\) loin, et qui monte ou descend sans fin près de \(x = 1\) ?

Ajoute à \(x - 3\) un terme qui tend vers \(0\) en \(\pm \infty\) et qui est infini en \(1\).

\(f(x) = x - 3 + \frac{1}{x-1} = \frac{(x-3)(x-1) + 1}{x-1} = \frac{x^{2} - 4x + 4}{x-1}\).

Écrire \(\frac{x-3}{x-1}\) : cette fonction a une A.H., pas une A.O.

✎ Exercice 4.14 T1 ★★★

Sans calculatrice, esquisse le graphique de \(f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x - 2}\) : cherche d’abord son domaine, ses points creux et ses asymptotes.

Suis la synthèse étape par étape, comme dans l’exemple « une étude complète ».

Quelles sont les valeurs interdites ? Le numérateur s’y annule-t-il ?

\(x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)\) et \(x^{2} - x - 2 = (x-2)(x+1)\) : simplifie par \((x - 2)\).

Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-1 ; 2\}\).
En \(2\) : \(f(x) = \frac{x+2}{x+1}\) pour \(x \neq 2\) ; limite \(\frac{4}{3}\) : point creux \((2 ; \frac{4}{3})\).
En \(-1\) : numérateur \(1 \neq 0\) : A.V. \(x = -1\) ; \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x < -1}} f(x) = -\infty\), \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} f(x) = +\infty\).
En \(\pm \infty\) : degrés égaux, A.H. \(y = 1\).
Esquisse : \(f\) s’annule en \(-2\) et vaut \(2\) en \(0\) ; signe : \(+\) avant \(-2\), \(-\) entre \(-2\) et \(-1\), \(+\) après \(-1\). On obtient une hyperbole d’asymptotes \(x = -1\) et \(y = 1\), avec un trou en \((2 ; \frac{4}{3})\).

Oublier le point creux en \(2\) sur l’esquisse.
Dessiner une A.V. en \(2\).