Rappels
Remarque 1.1
Vocabulaire de 4e :
- Domaine : l’ensemble des nombres qui ont une image par \(f\).
- Ensemble image : l’ensemble des valeurs possibles de \(f\).
- Expression analytique : formule qui permet de calculer n’importe quelle image par \(f\).
- Ordonnée à l’origine : valeur de \(f(0)\).
- Racines : valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\).
Activité 1.1 — une fonction, lue puis calculée
Soit \(f(x) = -\frac{x^{3}-2x^{2}-43x-40}{40}\).
\(f(x) = -\frac{x^{3}-2x^{2}-43x-40}{40}\)
Complète le tableau : d’abord une valeur lue sur le graphique (une estimation), puis la valeur calculée à partir de l’expression analytique.
| \(x\) | \(f(x)\), lu sur le graphique | \(f(x)\), calculé |
|---|---|---|
| \(-6\) | \(\approx 2\) | \(1{,}75\) |
| \(-5\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(3\) | \(4\) | \(4\) |
| \(8\) | \(0\) | \(0\) |
Quel est le domaine de \(f\) ? \(\mathbb{R}\) Quelle est l’ordonnée à l’origine de \(f\) ? \(1\) Quelles sont les racines de \(f\) ? \(-5\), \(-1\) et \(8\)
Définition 1.1
Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle inclus dans \(\operatorname{dom}(f)\).
- \(f\) est strictement positive sur \(I\) si \(\forall x \in I, f(x) > 0\).
- \(f\) est strictement négative sur \(I\) si \(\forall x \in I, f(x) < 0\).
Le signe d’une fonction change uniquement en une racine ou en une valeur interdite. Connaître les racines de \(f\) suffit donc, avec un test dans chaque intervalle, à construire son tableau de signes.
✎ Exercice 1.1
Soit \(f\) la fonction de l’activité précédente, de racines \(-5\), \(-1\) et \(8\).
- Construis le tableau de signes de \(f\), à l’aide du graphique.
- Vérifie un des signes du tableau par un calcul, en choisissant une valeur test dans un des intervalles.
Relis la définition du signe d’une fonction et la phrase qui la suit : le signe ne peut changer qu’en une racine (ou en une valeur interdite).
Les racines \(-5\), \(-1\) et \(8\) découpent l’axe des \(x\) en quatre intervalles. Sur chacun d’eux, le graphique est-il au-dessus ou en dessous de l’axe horizontal ?
Dresse la première ligne du tableau : \(-\infty\), \(-5\), \(-1\), \(8\), \(+\infty\). Sous chaque racine, écris \(0\). Il reste à remplir les quatre cases entre les racines.
En lisant le graphique :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(-1\) | \(8\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Vérification par un calcul, par exemple en \(x = 0\) (dans l’intervalle \(]-1 ; 8[\)) : \(f(0) = -\frac{0 - 0 - 0 - 40}{40} = 1 > 0\). Le signe \(+\) du tableau est confirmé.
- Écrire le signe de \(x\) au lieu du signe de \(f(x)\) : on regarde la hauteur du graphique.
- Oublier les \(0\) sous les racines.
- Choisir une valeur test qui est une racine (\(x = -1\) par exemple) : elle ne dit rien sur le signe de l’intervalle.