S’autoévaluer

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Rappels

Opérations sur les fonctions

Reconnaître une composée

Recherche algébrique du domaine d’une fonction

Asymptotes : premier contact

Décrire un graphique sans le montrer

Un point qui se déplace sur un graphique

Un trou dans le graphique

Définition

Quand une limite a-t-elle un sens ?

Limites à gauche et à droite

Les limites des fonctions de référence

Exercices

Pourquoi calculer ?

Les fonctions rationnelles

En un point du domaine : rien à chercher

En une valeur interdite : point creux ou asymptote verticale ?

Les polynômes en \(\pm \infty\) : le terme qui l’emporte

Les fonctions rationnelles en \(\pm \infty\) : asymptote horizontale ?

Asymptote oblique

On ne calcule pas avec l’infini

Synthèse

Identifier dans l’expression analytique d’une fonction donnée les fonctions usuelles, les opérations et leur hiérarchie.

Donner un exemple de limite de fonction illustrant un cas d’indétermination.

Énoncer la procédure à suivre pour calculer une limite selon les cas rencontrés.

Interpréter et représenter graphiquement le résultat d’une limite.

Déterminer, à partir de l’expression analytique d’une fonction (rationnelle), son domaine et les limites qui apportent des informations sur son graphique.

Calculer des limites (de fonctions rationnelles) et les interpréter graphiquement.

Apparier des graphiques et des informations sur les limites et les asymptotes d’une fonction.

Traduire en termes de limites les comportements asymptotiques d’une fonction, à partir de son graphique.

Rechercher les équations des asymptotes au graphique d’une fonction (rationnelle).

Utiliser le comportement asymptotique d’une fonction pour approcher sa valeur en un point.

Esquisser le graphique d’une fonction vérifiant certaines conditions sur les limites et les asymptotes.

Rechercher l’expression analytique d’une fonction répondant à certaines conditions relatives à ses limites et à ses asymptotes.

Relier l’expression analytique d’une fonction à son graphique et justifier le choix posé par calcul.

Chapitre 1 : Fonctions

Douze questions tirées au hasard sur tout le chapitre 1 : rappels, opérations, composée, domaine, asymptotes.

Ce que dit une limite

Lire une limite, sur une écriture ou sur un graphique, et dire si elle a un sens.

Point creux ou asymptote verticale ?

En une valeur interdite : calculer, simplifier, conclure.

Asymptotes horizontales et obliques

Limites en \(\pm \infty\), A.H., A.O. et estimation d’une valeur.

Les bases, pour démarrer

Dix questions de niveau ★ sur tout le cours.

Révision des limites

Quinze questions tirées au hasard sur les trois chapitres consacrés aux limites (chapitres 2 à 4).

Soit \(f(x) = (x - 2)(x + 3)\). Quelles sont les racines de \(f\) ?

\(2\) et \(-3\)

Oui. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(x - 2 = 0\) donne \(x = 2\), et \(x + 3 = 0\) donne \(x = -3\).

\(-2\) et \(3\)

Erreur de signe : tu as recopié les nombres qui apparaissent dans les parenthèses. Vérifie : \(f(-2) = (-4) \cdot 1 = -4 \neq 0\). Il faut résoudre \(x - 2 = 0\) et \(x + 3 = 0\).

\(-6\)

\(-6\), c’est \(f(0) = (-2) \cdot 3\) : l’ordonnée à l’origine. Les racines sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\).

\(0\)

\(0\) n’est pas une racine : \(f(0) = -6 \neq 0\). Une racine est une valeur de \(x\) qui annule \(f(x)\), pas la valeur \(x = 0\).

Soit \(f(x) = \frac{x + 4}{x - 2}\). Quelle est l’ordonnée à l’origine du graphique de \(f\) ?

\(-2\)

Oui : l’ordonnée à l’origine est \(f(0) = \frac{0 + 4}{0 - 2} = \frac{4}{-2} = -2\).

\(-4\)

\(-4\) est la racine de \(f\) (le numérateur s’annule en \(-4\)) : c’est là que le graphique coupe l’axe horizontal. L’ordonnée à l’origine, c’est \(f(0)\), là où il coupe l’axe vertical.

\(2\)

\(2\) est la valeur interdite de \(f\) (le dénominateur s’annule en \(2\)) : elle n’a pas d’image. L’ordonnée à l’origine, c’est \(f(0)\).

\(-\frac{1}{2}\)

Tu as inversé la fraction : \(f(0) = \frac{4}{-2}\), et non \(\frac{-2}{4}\).

Dresse le tableau de signes de \(f(x) = (x + 2)(x - 4)\).

Racines : \(-2\) et \(4\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(x+2\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x-4\)		\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

Vérification avec une valeur test : \(f(0) = 2 \cdot (-4) = -8 < 0\), ce qui confirme le signe \(-\) entre \(-2\) et \(4\).

J’ai placé les deux racines, \(-2\) et \(4\), dans l’ordre, sur la première ligne.

J’ai écrit \(0\) sous chaque racine, dans la ligne du facteur concerné et dans celle de \(f(x)\).

Les signes de \(x + 2\) et de \(x - 4\) sont corrects.

La ligne de \(f(x)\) applique la règle des signes : \(+\), \(-\), \(+\).

Soit \(f(x) = x^{2}\) et \(g(x) = x - 3\). Que vaut \((f - g)(2)\) ?

\(5\)

Oui : \((f - g)(2) = f(2) - g(2) = 4 - (-1) = 5\).

\(-1\)

Tu as sans doute écrit \(x^{2} - x - 3\) : il manque les parenthèses. \((f - g)(x) = x^{2} - (x - 3) = x^{2} - x + 3\), et en \(2\) : \(4 - 2 + 3 = 5\).

\(3\)

\(g(2) = 2 - 3 = -1\) : soustraire \(-1\), c’est ajouter \(1\). \(f(2) - g(2) = 4 - (-1) = 5\).

\(1\)

Tu as calculé \(f(g(2)) = f(-1) = 1\) : c’est la composée \(f \circ g\), pas la différence. \((f - g)(2) = f(2) - g(2)\).

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. Quel est le domaine de la fonction \(\frac{f}{g}\) ?

Les réels de \(\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g)\) pour lesquels \(g(x) \neq 0\).

Oui : pour calculer \(\frac{f(x)}{g(x)}\), il faut pouvoir calculer \(f(x)\) et \(g(x)\), et il ne faut pas diviser par \(0\).

\(\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g)\)

C’est le domaine de \(f + g\), \(f - g\) et \(f g\). Pour un quotient, il faut en plus que le dénominateur \(g(x)\) ne soit pas nul.

\(\operatorname{dom}(f) \cup \operatorname{dom}(g)\)

La réunion contient des réels où \(f(x)\) ou \(g(x)\) n’existe pas : on ne pourrait pas y calculer \(\frac{f(x)}{g(x)}\). Il faut que les deux existent : c’est l’intersection.

Les réels pour lesquels \(g(x) \neq 0\).

Il manque une condition : \(f(x)\) doit aussi exister. Par exemple, si \(f(x) = \sqrt{x}\), le réel \(-1\) n’est pas dans le domaine de \(\frac{f}{g}\).

Soit \(f(x) = \frac{1}{x}\) et \(g(x) = x - 2\). Quelle est l’expression de \((f g)(x)\) ?

\(\frac{x - 2}{x}\)

Oui : \((f g)(x) = f(x) \cdot g(x) = \frac{1}{x} \cdot (x - 2) = \frac{x - 2}{x}\).

\(\frac{1}{x - 2}\)

C’est \(f(g(x))\) : tu as appliqué \(f\) au résultat de \(g\). C’est la composée \(f \circ g\), pas le produit.

\(\frac{1}{x} + x - 2\)

C’est la somme \(f + g\). Le produit \(f g\) multiplie les images : \(f(x) \cdot g(x)\).

\(\frac{1}{x} - 2\)

C’est \(g(f(x))\) : tu as appliqué \(g\) au résultat de \(f\) (composée \(g \circ f\)). Le produit, c’est \(f(x) \cdot g(x)\).

Soit \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(g(x) = x - 4\). Donne le domaine de \(f + g\) et celui de \(\frac{f}{g}\).

\(\operatorname{dom}(f) = [0 ; +\infty[\) et \(\operatorname{dom}(g) = \mathbb{R}\).

• \(\operatorname{dom}(f + g) = \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) = [0 ; +\infty[\).
• Pour \(\frac{f}{g}\), on retire en plus la racine de \(g\) : \(g(x) = 0\) pour \(x = 4\). Donc \(\operatorname{dom}(\frac{f}{g}) = [0 ; 4[ \cup ]4 ; +\infty[\).

J’ai trouvé \(\operatorname{dom}(f) = [0 ; +\infty[\), crochet fermé en \(0\).

J’ai pris l’intersection des deux domaines pour \(f + g\).

Pour \(\frac{f}{g}\), j’ai retiré \(4\), la racine du dénominateur.

Soit \(f(x) = x^{2}\) et \(g(x) = x + 3\). Que vaut \((f \circ g)(x)\) ?

\((x + 3)^{2}\)

Oui : \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^{2}\). On applique d’abord \(g\), puis \(f\) au résultat.

\(x^{2} + 3\)

C’est \(g(f(x))\) : tu as appliqué \(f\) d’abord. Dans \(f \circ g\), c’est \(g\) qui agit en premier (on lit \(f(g(x))\) de l’intérieur vers l’extérieur).

\(x^{2} (x + 3)\)

C’est le produit \(f g\). La composée applique une fonction au résultat de l’autre.

\(x^{2} + x + 3\)

C’est la somme \(f + g\). La composée applique \(f\) au résultat de \(g\) : \(f(g(x))\).

Comment se construit la fonction \(q(x) = \sqrt{x^{2} - 4}\) ?

On calcule d’abord \(x^{2} - 4\), puis on applique la racine carrée au résultat.

Oui : \(q = s \circ h\) avec \(h(x) = x^{2} - 4\) (d’abord) et \(s(x) = \sqrt{x}\) (ensuite).

On calcule d’abord \(\sqrt{x}\), puis on applique \(x^{2} - 4\) au résultat.

Dans cet ordre, on obtiendrait \((\sqrt{x})^{2} - 4 = x - 4\) (pour \(x \geq 0\)), pas \(q(x)\). Le bloc « intérieur », celui qu’on calcule en premier, est sous la racine.

\(q(x) = \sqrt{x^{2}} - \sqrt{4} = \left|x\right| - 2\) : c’est une différence.

La racine d’une différence n’est pas la différence des racines : \(\sqrt{25 - 16} = 3\), mais \(\sqrt{25} - \sqrt{16} = 1\).

On calcule \(x^{2}\), puis on applique la racine carrée, puis on retire \(4\).

Cet ordre donne \(\sqrt{x^{2}} - 4 = \left|x\right| - 4\) : le \(-4\) serait hors de la racine. Dans \(q\), le \(-4\) est sous la racine : on le retire avant d’appliquer la racine.

Soit \(f(x) = 2x\) et \(g(x) = x + 1\). A-t-on \(f \circ g = g \circ f\) ?

Non : \((f \circ g)(x) = 2x + 2\) et \((g \circ f)(x) = 2x + 1\).

Oui : \(f(g(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2\), alors que \(g(f(x)) = 2x + 1\). La composition n’est pas commutative.

Oui : comme pour la multiplication, l’ordre ne compte pas.

La composition n’est pas une multiplication : l’ordre compte, comme pour « mettre ses chaussettes, puis ses chaussures ». Calcule \(f(g(x))\) et \(g(f(x))\) pour le vérifier.

Oui : les deux valent \(2x + 1\).

\(g(f(x)) = 2x + 1\), c’est juste ; mais \(f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2\) : n’oublie pas les parenthèses.

Non : \((f \circ g)(x) = 2x + 1\) et \((g \circ f)(x) = 2x + 2\).

La conclusion est juste, mais les deux expressions sont inversées. Dans \(f \circ g\), on applique \(g\) d’abord : \(f(g(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2\).

Voici un tableau de valeurs de deux fonctions \(f\) et \(g\). Que vaut \((f \circ g)(1)\) ?

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(3\)	\(2\)	\(0\)	\(1\)
\(g(x)\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(0\)

\(1\)

Oui : \(g(1) = 3\), puis \(f(3) = 1\). Donc \((f \circ g)(1) = f(g(1)) = 1\).

\(2\)

Tu as calculé \(g(f(1)) = g(2) = 2\) : l’ordre est inversé. Dans \(f \circ g\), on lit d’abord \(g\).

\(6\)

Tu as calculé \(f(1) \cdot g(1) = 2 \cdot 3\) : c’est le produit \(f g\), pas la composée.

\(3\)

\(3\), c’est \(g(1)\) : tu t’es arrêté à la première étape. Il faut encore appliquer \(f\) à ce résultat : \(f(3) = 1\).

Décompose la fonction \(r(x) = \sqrt{x^{2} + 1} - 2x\) : décris comment la construire à partir des fonctions de référence et des opérations \(+, -, \cdot, /, \circ\).

• On additionne le bloc \(x^{2}\) et la constante \(1\) : \(h(x) = x^{2} + 1\).
• On applique la racine carrée au résultat : en notant \(s(x) = \sqrt{x}\), on obtient \(s \circ h\).
• On multiplie le bloc \(x\) par la constante \(2\), et on soustrait : \(r = s \circ h - 2x\).

J’ai repéré le bloc intérieur \(x^{2} + 1\) (une somme, pas une composée).

J’ai dit que la racine carrée s’applique après, au résultat de \(x^{2} + 1\).

J’ai placé la soustraction de \(2x\) en dehors de la racine, en dernier.

Quelle condition d’existence faut-il poser pour \(f(x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{2}\) ?

\(3 - x \geq 0\)

Oui : une racine carrée n’existe que pour un nombre positif ou nul. Le dénominateur \(2\) ne s’annule jamais : aucune autre condition.

\(3 - x > 0\)

\(\sqrt{0} = 0\) existe : l’inégalité est large. L’inégalité stricte, c’est pour \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) (on ne divise pas par \(0\)).

\(3 - x \neq 0\)

Cette condition concerne un dénominateur. Ici le dénominateur est \(2\) ; ce qui impose une condition, c’est la racine : \(3 - x \geq 0\).

\(x \geq 0\)

La condition porte sur ce qui est sous la racine, ici \(3 - x\), et pas sur \(x\). Par exemple, \(x = 5\) vérifie \(x \geq 0\), mais \(\sqrt{3 - 5}\) n’existe pas.

Quel est le domaine de \(f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}\) ?

\(\mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}\)

Oui : \(x^{2} - 4 = 0\) pour \(x = 2\) et pour \(x = -2\).

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

\(x^{2} = 4\) a deux solutions : \(2\) et \(-2\), car \((-2)^{2} = 4\) aussi.

\(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\)

\(-1\) annule le numérateur : \(f(-1) = \frac{0}{-3} = 0\) existe. Ce sont les racines du dénominateur qu’on retire.

\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

On cherche les \(x\) pour lesquels le dénominateur \(x^{2} - 4\) vaut \(0\), c’est-à-dire \(x^{2} = 4\) : \(x = 2\) ou \(x = -2\).

Quel est le domaine de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 5}}\) ?

\(]5 ; +\infty[\)

Oui : la racine impose \(x - 5 \geq 0\) et le dénominateur impose \(\sqrt{x - 5} \neq 0\) ; ensemble, \(x - 5 > 0\), soit \(x > 5\).

\([5 ; +\infty[\)

En \(5\), \(\sqrt{5 - 5} = 0\) est au dénominateur : \(f(5)\) n’existe pas. Pour \(\frac{1}{\sqrt{a}}\), la condition est stricte : \(a > 0\).

\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\)

Tu as seulement exclu la valeur qui annule le dénominateur. Mais pour \(x < 5\), \(\sqrt{x - 5}\) n’existe pas : par exemple \(f(1) = \frac{1}{\sqrt{-4}}\).

\(]-\infty ; 5[\)

Erreur de sens : \(x - 5 > 0\) donne \(x > 5\). Vérifie avec \(x = 0\) : \(\sqrt{0 - 5}\) n’existe pas.

Calcule le domaine de \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - x - 6}\).

Conditions d’existence :

• racine : \(x + 1 \geq 0\), donc \(x \geq -1\) ;
• dénominateur : \(x^{2} - x - 6 \neq 0\). Or \(x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\) s’annule en \(3\) et en \(-2\).

On garde les \(x \geq -1\) différents de \(3\) (\(-2\) est déjà exclu, puisque \(-2 < -1\)) :

\[ \operatorname{dom}(f) = [-1 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[. \]

J’ai posé les deux conditions : \(x + 1 \geq 0\) et \(x^{2} - x - 6 \neq 0\).

J’ai trouvé les racines du dénominateur : \(3\) et \(-2\).

J’ai vu que \(-2\) est déjà exclu par la première condition.

Mon domaine est \([-1 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[\), avec le crochet fermé en \(-1\).

Le graphique d’une fonction \(f\) commence en \(x = 2\) (point plein) et s’interrompt en \(x = 5\), où il présente une asymptote verticale. Quelle expression peut être celle de \(f\) ?

\(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 5}\)

Oui : \(\operatorname{dom}(f) = [2 ; 5[ \cup ]5 ; +\infty[\). La racine fait commencer le graphique en \(2\) (crochet fermé : point plein), le dénominateur l’interrompt en \(5\).

\(\frac{\sqrt{x - 5}}{x - 2}\)

Les rôles sont inversés : ici, le domaine serait \([5 ; +\infty[\), et le graphique commencerait en \(5\).

\(\frac{\sqrt{x + 2}}{x + 5}\)

Erreur de signe : \(x + 2 \geq 0\) donne \(x \geq -2\), et \(x + 5 = 0\) pour \(x = -5\). Le graphique commencerait en \(-2\).

\(\frac{1}{\sqrt{x - 2} (x - 5)}\)

Avec la racine au dénominateur, la condition devient \(x - 2 > 0\) : le graphique ne pourrait pas avoir de point plein en \(x = 2\).

Quelles sont les équations des asymptotes du graphique ci-dessous ?

\(x = -2\) et \(y = 1\)

Oui. La droite verticale est formée des points d’abscisse \(-2\) : son équation est \(x = -2\). La droite horizontale est formée des points d’ordonnée \(1\) : \(y = 1\).

\(x = 1\) et \(y = -2\)

\(x\) et \(y\) sont inversés. Une droite verticale a tous ses points à la même abscisse : son équation est \(x = …\).

\(x = 2\) et \(y = 1\)

Erreur de lecture : la droite verticale passe par \(-2\), à gauche de l’axe vertical.

\(y = -2\) et \(y = 1\)

Une droite verticale ne s’écrit pas \(y = …\) : tous ses points ont la même abscisse. Son équation est \(x = -2\).

Une asymptote a pour équation \(y = 2x - 1\). De quel type d’asymptote s’agit-il ?

Oblique

Oui : \(y = 2x - 1\) est l’équation d’une droite de pente \(2\), ni horizontale ni verticale.

Horizontale

Une asymptote horizontale a une équation \(y = b\), avec \(b\) un nombre : \(y\) ne dépend pas de \(x\). Ici, \(y\) dépend de \(x\) : la droite monte.

Verticale

La présence de \(x\) ne rend pas la droite verticale. Une verticale s’écrit \(x = a\) ; ici on a \(y = 2x - 1\), une droite de pente \(2\).

Ce n’est pas une asymptote possible : une asymptote est horizontale ou verticale.

Il existe trois types d’asymptotes : verticale, horizontale et oblique (voir les exemples de la section « Asymptotes : premier contact »).

Combien d’asymptotes le graphique de \(f(x) = -\frac{x}{x^{2} - 1}\) possède-t-il ?

Trois : \(x = -1\), \(x = 1\) et \(y = 0\).

Oui : deux asymptotes verticales (\(x = -1\) et \(x = 1\)) et une horizontale, l’axe horizontal lui-même, d’équation \(y = 0\).

Deux : \(x = -1\) et \(x = 1\).

Tu as oublié l’axe horizontal : loin à gauche et loin à droite, le graphique s’en rapproche. La droite \(y = 0\) est une asymptote horizontale, même si elle est confondue avec un axe.

Quatre : \(x = -1\), \(x = 1\), et \(y = 0\) à gauche et à droite.

La droite \(y = 0\) est une seule droite, même si le graphique s’en rapproche des deux côtés : on la compte une fois.

Une : \(y = 0\).

Près de \(x = -1\) et de \(x = 1\), le graphique monte ou descend sans fin le long de deux droites verticales : ce sont aussi des asymptotes.

Esquisse le graphique d’une fonction qui a une asymptote verticale d’équation \(x = -1\) et une asymptote horizontale d’équation \(y = 2\). Si tu le peux, propose une expression analytique.

Par exemple, le graphique de \(f(x) = 2 + \frac{1}{x + 1}\) (le graphique de \(\frac{1}{x}\) décalé de \(1\) vers la gauche et de \(2\) vers le haut) :

Beaucoup d’autres réponses sont correctes : ce qui compte, c’est le comportement près des deux droites.

J’ai tracé en pointillés les droites \(x = -1\) (verticale) et \(y = 2\) (horizontale).

Près de \(x = -1\), mon graphique monte ou descend sans fin le long de la droite verticale, sans la traverser.

Loin à gauche ou loin à droite, mon graphique se rapproche de la droite \(y = 2\).

Mon graphique est bien celui d’une fonction (une seule image par \(x\)).

Soit \(f\) une fonction telle que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 3\). Que signifie cette écriture ?

Lorsque \(x\) est négatif et devient aussi grand qu’on veut en valeur absolue, \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(3\).

Oui. Le point \(M(x ; f(x))\) file vers le bord gauche du cadre, à la hauteur \(3\) : il se dirige vers le point \((-\infty ; 3)\). Loin à gauche, le graphique se rapproche de la droite horizontale \(y = 3\).

Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\) en restant négatif, \(f(x)\) se rapproche de \(3\).

\(-\infty\) n’est pas « juste à gauche de \(0\) » : \(x \to -\infty\) veut dire que \(x\) prend les valeurs \(-10\), \(-100\), \(-1000\)… Relis la remarque qui suit la définition. Ta phrase s’écrirait \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = 3\).

\(f(-\infty) = 3\) : on obtient \(3\) en remplaçant \(x\) par \(-\infty\) dans l’expression de \(f\).

\(-\infty\) n’est pas un nombre : on ne peut pas le mettre à la place de \(x\). La limite ne dit pas ce que « vaut » \(f\) en \(-\infty\), mais vers où se dirige le point \(M\) lorsque \(x\) devient de plus en plus négatif.

Lorsque \(x\) devient très négatif, \(f(x)\) reste inférieur à \(3\) sans jamais l’atteindre.

La limite ne dit rien du côté par lequel \(f(x)\) s’approche de \(3\), ni s’il l’atteint : \(f(x)\) peut être au-dessus, en dessous, ou même égal à \(3\). La fonction constante \(f(x) = 3\) a aussi cette limite.

Voici le graphique d’une fonction \(f\) de domaine \(\mathbb{R}\) : la droite a un point creux en \((2 ; 2)\), et \(f(2) = -1\) (point plein). Que vaut \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\) ?

Elle n’existe pas.

Oui. Lorsque \(x\) se rapproche de \(2\) sans l’atteindre, \(f(x)\) se rapproche de \(2\) ; mais \(2\) est dans le domaine, donc \(x\) peut aussi valoir \(2\), et \(f(2) = -1\) n’est pas proche de \(2\). Les limites à gauche et à droite valent \(2\) mais diffèrent de \(f(2)\) : la limite n’existe pas (limites à gauche et à droite).

\(2\)

Tu as regardé les points autour du point creux, mais oublié le point plein. Comme \(2\) est dans le domaine, \(x\) peut valoir \(2\) : le point \(M\) passe alors par \((2 ; -1)\), qui n’est pas proche de \((2 ; 2)\). Relis la définition et la remarque sur \(x = a\).

\(-1\)

\(-1\), c’est \(f(2)\) : la valeur de \(f\) en \(2\). Mais les points dont l’abscisse est proche de \(2\) (sans valoir \(2\)) sont proches de \((2 ; 2)\), pas de \((2 ; -1)\).

Elle n’a pas de sens.

« Pas de sens » est réservé au cas où \(2\) ne colle pas au domaine. Ici \(2\) appartient au domaine (\(f(2) = -1\) existe) : la question a un sens, et la limite existe ou n’existe pas.

Soit \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}\). Écris le domaine de \(f\) comme une union d’intervalles et donne ses bornes. Indique ensuite, pour chaque valeur de \(a\), si la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) a un sens (sans la calculer) :

\[ a \in \{-5 ; -2 ; 3 ; -\infty ; +\infty\}. \]

Conditions : \(x + 2 \geq 0\) (racine carrée) et \(x - 3 \neq 0\) (dénominateur), donc \(x \geq -2\) et \(x \neq 3\).

\(\operatorname{dom}(f) = [-2 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[\) ; bornes : \(-2\), \(3\) et \(+\infty\).

• \(a = -5\) : pas de sens (\(-5\) n’est ni dans le domaine, ni une borne : aucun point du graphique n’a une abscisse proche de \(-5\)) ;
• \(a = -2\) : a un sens (\(-2\) est dans le domaine ; \(x\) ne peut s’en approcher que par la droite) ;
• \(a = 3\) : a un sens (\(3\) est une borne du domaine, c’est une valeur interdite) ;
• \(a = -\infty\) : pas de sens (le domaine ne s’étend pas vers la gauche au-delà de \(-2\)) ;
• \(a = +\infty\) : a un sens (\(+\infty\) est une borne du domaine).

J’ai écrit les deux conditions : \(x + 2 \geq 0\) et \(x - 3 \neq 0\).

Mon domaine est \([-2 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[\), avec le crochet fermé en \(-2\).

J’ai donné les trois bornes, y compris \(+\infty\).

J’ai répondu « a un sens » pour \(-2\), \(3\) et \(+\infty\), et « pas de sens » pour \(-5\) et \(-\infty\).

J’ai justifié chaque réponse par « colle au domaine » (dans le domaine, ou borne), sans calculer de limite.

Voici le graphique d’une fonction \(f\) (les droites en pointillés ne font pas partie du graphique). Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) ?

\(2\)

Oui : lorsque \(x\) devient aussi grand qu’on veut, le point \(M\) file vers la droite en se rapprochant de la hauteur \(2\) : il se dirige vers \((+\infty ; 2)\).

\(+\infty\)

\(x \to +\infty\) dit que \(x\) devient très grand, pas \(f(x)\). Regarde la hauteur du graphique loin à droite : elle se rapproche de \(2\).

\(0\)

Loin à droite, le graphique ne se rapproche pas de l’axe horizontal, mais de la droite \(y = 2\). (Ce serait \(0\) pour \(\frac{1}{x}\), pas pour cette fonction.)

\(-1\)

\(-1\) est l’abscisse de la droite verticale en pointillés : c’est une information sur \(x\), près de laquelle le graphique monte ou descend. La limite en \(+\infty\) se lit loin à droite, sur la hauteur du graphique.

Voici le graphique d’une fonction \(f\). Que vaut \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} f(x)\) ?

\(-\infty\)

Oui : juste à droite de \(-1\), le graphique descend sans fin le long de la droite verticale : \(M\) se dirige vers \((-1 ; -\infty)\).

\(+\infty\)

C’est ce qui se passe à gauche de \(-1\). « À droite » : \(x\) est plus grand que \(-1\) (\(-0{,}9\), \(-0{,}99\)…). Regarde la branche de droite.

\(2\)

\(2\) est la limite en \(+\infty\) (loin à droite). Ici, \(x\) se rapproche de \(-1\) : regarde le graphique près de la droite verticale.

Elle n’existe pas.

C’est \(\lim\limits_{x \to -1} f(x)\) qui n’existe pas (la gauche et la droite ne vont pas au même endroit). La limite à droite, elle, existe : on ne regarde qu’un côté.

Soit \(f(x) = \sqrt{4 - x}\), de domaine \(]-\infty ; 4]\). Que peut-on dire de \(\lim\limits_{x \to 6} f(x)\) ?

Elle n’a pas de sens.

Oui : \(6\) n’est ni dans le domaine, ni une borne du domaine ; il ne colle pas au domaine. Aucun point du graphique n’a une abscisse proche de \(6\) : il n’y a rien à décrire.

Elle n’existe pas.

« N’existe pas » suppose qu’on puisse s’approcher de \(6\) en restant dans le domaine, et que les points ne se dirigent pas vers un seul point. Ici, on ne peut même pas s’approcher de \(6\) : la limite n’a pas de sens (trois réponses possibles).

Elle vaut \(0\).

\(0 = f(4)\) : tu as pris le point du graphique le plus proche. Mais \(x = 4\) n’est pas « aussi proche qu’on veut » de \(6\) : la limite en \(6\) n’a pas de sens.

Elle vaut \(\sqrt{2}\).

\(\sqrt{6 - 4}\) : erreur dans l’ordre de la soustraction. \(f(6) = \sqrt{4 - 6} = \sqrt{-2}\) n’existe pas, et \(6\) ne colle pas au domaine : la limite n’a pas de sens.

On sait que \(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = +\infty\). Que peut-on en déduire sur le graphique de \(f\) ?

Lorsque \(x\) se rapproche de \(3\), les points du graphique montent aussi haut qu’on veut : ils se dirigent vers le point \((3 ; +\infty)\) du bord supérieur du cadre.

Oui. La limite décrit vers où va le point \(M\) quand \(x\) se rapproche de \(3\), des deux côtés.

Le graphique a un point creux en \(x = 3\).

Un point creux correspond à une limite réelle : le graphique se rapproche d’un point précis \((3 ; r)\). Ici, il monte sans fin.

\(f(3) = +\infty\).

\(+\infty\) n’est pas un nombre : ce n’est pas une valeur de \(f\). La limite décrit où va \(M\) lorsque \(x\) se rapproche de \(3\).

Lorsque \(x\) devient très grand, \(f(x)\) se rapproche de \(3\).

Tu as inversé les rôles : cette phrase s’écrirait \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3\). Ce qui est sous « lim » (\(x \to 3\)) décrit \(x\).

On sait que \(2 \notin \operatorname{dom}(f)\), que \(f\) est définie à gauche et à droite de \(2\), et que \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = \lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = 5\). Que vaut \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\) ?

\(5\)

Oui : les deux côtés vont vers le même point \((2 ; 5)\), et \(x\) ne peut pas valoir \(2\). La limite vaut \(5\) (le graphique a un point creux en \((2 ; 5)\)). Voir la propriété des limites à gauche et à droite.

Elle n’existe pas, car \(f(2)\) n’existe pas.

Une limite n’a pas besoin que \(f(a)\) existe : pense à \(\frac{x^{2} - 1}{x - 1}\) en \(1\), dont la limite vaut \(2\). C’est seulement si \(f(2)\) existe et diffère de \(5\) que la limite n’existe pas.

Elle n’a pas de sens, car \(2\) n’est pas dans le domaine.

\(2\) est une borne du domaine (on peut s’en approcher des deux côtés) : il colle au domaine, et la limite a un sens.

On ne peut pas savoir sans l’expression de \(f\).

La propriété du cours suffit : si les limites à gauche et à droite sont égales et que \(f(2)\) n’existe pas, la limite existe et vaut leur valeur commune.

Esquisse le graphique d’une fonction \(f\) qui vérifie :

\[ \operatorname{dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}, \quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 1, \quad \lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = -\infty, \quad \lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = +\infty, \quad \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1. \]

Par exemple, le graphique de \(1 + \frac{1}{x - 2}\) :

Loin à gauche et loin à droite, le graphique se rapproche de la hauteur \(1\) ; juste à gauche de \(2\), il descend sans fin ; juste à droite, il monte sans fin. Aucun point d’abscisse \(2\).

Loin à gauche, mon graphique se rapproche de la hauteur \(1\).

Juste à gauche de \(2\), il descend sans fin ; juste à droite, il monte sans fin.

Loin à droite, il se rapproche de la hauteur \(1\).

Mon graphique n’a aucun point d’abscisse \(2\).

Laquelle de ces fonctions est une fonction rationnelle ?

\(\frac{3x^{2} - 1}{x + 5}\)

Oui : c’est un quotient de deux polynômes (définition).

\(\frac{\sqrt{x}}{x + 1}\)

\(\sqrt{x}\) n’est pas un polynôme : un quotient ne suffit pas, il faut que le numérateur et le dénominateur soient des polynômes.

\(\frac{x^{2} + \left|x\right|}{x^{2} + 1}\)

\(\left|x\right|\) n’est pas un polynôme : le numérateur n’est donc pas un polynôme.

\(x^{3} + \sqrt[3]{x}\)

\(\sqrt[3]{x}\) n’est pas un polynôme. (Un polynôme seul, comme \(x^{3} + 1\), est bien une fonction rationnelle : c’est un quotient par \(1\).)

Que vaut \(\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^{2} + 3}{x - 1}\) ?

\(-2\)

Oui : \(-1\) est dans le domaine, donc on remplace \(x\) par \(-1\) : \(\frac{(-1)^{2} + 3}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2\) (limite en un point du domaine).

\(-1\)

\((-1)^{2} = 1\), pas \(-1\) : avec les parenthèses, le signe est aussi élevé au carré. Le numérateur vaut \(1 + 3 = 4\).

\(2\)

Erreur de signe au dénominateur : \(-1 - 1 = -2\). Donc \(\frac{4}{-2} = -2\).

On ne peut pas remplacer \(x\) par \(-1\) : il faut étudier la limite à gauche et à droite.

\(-1\) est dans le domaine (le dénominateur y vaut \(-2 \neq 0\)) : pour une fonction rationnelle, la limite vaut simplement \(f(-1)\). Les limites à gauche et à droite servent aux valeurs interdites.

Soit \(f(x) = \frac{3}{x - 4}\). Que vaut \(\lim\limits_{\substack{x \to 4 \\ x < 4}} f(x)\) ?

\(-\infty\)

Oui : juste à gauche de \(4\), \(x - 4\) est négatif et proche de \(0\) ; on divise \(3\) par un nombre négatif très petit : le résultat est négatif et très grand en valeur absolue.

\(+\infty\)

Attention au signe : à gauche de \(4\), \(x < 4\), donc \(x - 4 < 0\) (par exemple \(3{,}99 - 4 = -0{,}01\)). Un tableau de signes local aide.

\(0\)

Diviser par un nombre proche de \(0\) ne donne pas \(0\) : \(3 / 0{,}01 = 300\), \(3 / 0{,}001 = 3000\)… Le quotient devient très grand en valeur absolue.

Elle n’existe pas.

C’est \(\lim\limits_{x \to 4} f(x)\) qui n’existe pas (gauche et droite différentes). La limite à gauche ne regarde qu’un côté : elle existe et vaut \(-\infty\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}\) ?

\(6\)

Oui : \(3\) annule le numérateur et le dénominateur ; on factorise et on simplifie : \(\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3\) pour \(x \neq 3\). En \(3\) : \(3 + 3 = 6\). Le graphique a un point creux en \((3 ; 6)\).

Elle n’existe pas, car on ne peut pas diviser par \(0\).

On ne divise jamais par \(0\) : \(x\) se rapproche de \(3\). Quand le numérateur s’annule aussi, c’est un cas d’indétermination : il faut simplifier avant de conclure.

\(0\)

Le numérateur s’annule en \(3\), mais le dénominateur aussi : regarder le numérateur seul ne suffit pas. Simplifie par \((x - 3)\).

\(+\infty\)

Le dénominateur s’annule, mais le numérateur aussi : on n’est pas dans le cas d’une A.V. Simplifie par \((x - 3)\) (démarche en une valeur interdite).

Soit \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) une fonction rationnelle et \(a\) une valeur interdite (\(Q(a) = 0\)). On calcule \(P(a) = 5\). Que peut-on conclure ?

La droite d’équation \(x = a\) est une asymptote verticale.

Oui : près de \(a\), on divise un nombre proche de \(5\) par un nombre proche de \(0\) (propriété). Le signe à gauche et à droite dira s’il s’agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\).

Le graphique a un point creux en \((a ; 5)\).

Un point creux n’apparaît que si le numérateur s’annule aussi en \(a\) (et qu’après simplification le dénominateur ne s’annule plus). Ici \(P(a) = 5 \neq 0\) : c’est une A.V.

Il faut simplifier la fraction par \((x - a)\).

On ne peut simplifier par \((x - a)\) que si \(a\) est racine du numérateur et du dénominateur. Ici \(P(a) \neq 0\) : \(P(x)\) ne contient pas le facteur \((x - a)\).

La limite en \(a\) vaut \(5\).

\(5\) est la valeur du numérateur, pas celle de la fraction : on divise \(5\) par un nombre proche de \(0\), le résultat devient très grand en valeur absolue.

Soit \(f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 2x + 1}\). Que présente son graphique en \(x = -1\) ?

Une asymptote verticale d’équation \(x = -1\).

Oui : \(\frac{x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x + 1}\) pour \(x \neq -1\). Après simplification, le dénominateur s’annule encore en \(-1\), mais plus le numérateur : c’est une A.V.

Un point creux, car le numérateur et le dénominateur s’annulent en \(-1\).

Le fait que les deux s’annulent dit seulement qu’il faut simplifier. Après simplification, on obtient \(\frac{1}{x + 1}\) : le dénominateur s’annule encore, pas le numérateur. Ce n’est donc pas un point creux.

Rien de particulier : la limite vaut \(0\), car le numérateur s’annule.

Le numérateur s’annule, mais le dénominateur aussi : regarder un seul morceau ne permet pas de conclure. Simplifie d’abord.

Une asymptote verticale d’équation \(y = -1\).

La conclusion est juste, mais une droite verticale s’écrit \(x = …\) : tous ses points ont l’abscisse \(-1\).

Lequel de ces calculs de limite est un cas d’indétermination ?

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}\)

Oui : en \(2\), le numérateur et le dénominateur s’annulent ; regarder chaque morceau séparément ne permet pas de conclure. Il faut simplifier (la limite vaut \(4\)).

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 4}{x - 2}\)

En \(2\), le numérateur vaut \(6 \neq 0\) : on sait conclure directement, c’est une A.V. Pas d’indétermination.

\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}\)

\(0\) est dans le domaine : on remplace \(x\) par \(0\) et on obtient \(\frac{-4}{-2} = 2\). Rien d’indéterminé.

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x - 2}{x + 2}\)

En \(2\), seul le numérateur s’annule ; le dénominateur vaut \(4\). \(2\) est dans le domaine et la limite vaut \(\frac{0}{4} = 0\).

Laquelle de ces rédactions du calcul de \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2x}{x - 2}\) est correcte ?

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2x}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} x = 2\)

Oui : tant qu’on n’a pas remplacé \(x\) par \(2\), on garde « \(\lim\limits_{x \to 2}\) » devant l’expression (démarche).

\(\frac{x^{2} - 2x}{x - 2} = x = 2\)

« \(x = 2\) » affirme que \(x\) vaut \(2\) : c’est faux en général. Sans « \(\lim\limits_{x \to 2}\) », l’égalité \(\frac{x^{2}-2x}{x-2} = 2\) n’a pas de sens (elle serait fausse pour \(x = 5\)).

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2x}{x - 2} = x = 2\)

Le « \(\lim\limits_{x \to 2}\) » a disparu au milieu du calcul : « \(= x\) » dirait que la limite vaut \(x\), une lettre. Il faut écrire \(\lim\limits_{x \to 2} x\), puis remplacer.

\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2x}{x - 2}\) n’existe pas, car on ne peut pas diviser par \(0\).

\(x\) se rapproche de \(2\) sans valoir \(2\) (qui est hors du domaine) : on ne divise jamais par \(0\). Comme le numérateur s’annule aussi, on simplifie par \((x - 2)\).

Invente l’expression analytique d’une fonction rationnelle dont le graphique a un point creux en \((1 ; 3)\) et une asymptote verticale d’équation \(x = -2\). Vérifie ta réponse par un calcul.

Il faut un facteur \((x - 1)\) au numérateur et au dénominateur (pour le point creux), et un facteur \((x + 2)\) au dénominateur seulement (pour l’A.V.). Il reste à régler la hauteur du point creux. Par exemple :

\[ f(x) = \frac{9(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}. \]

Vérification. En \(1\) : on simplifie, \(f(x) = \frac{9}{x + 2}\) pour \(x \neq 1\), et \(\frac{9}{1 + 2} = 3\) : point creux en \((1 ; 3)\). En \(-2\) : le numérateur de la fraction simplifiée vaut \(9 \neq 0\) : A.V. d’équation \(x = -2\).

Ma fonction a un facteur \((x - 1)\) au numérateur et au dénominateur.

Son dénominateur s’annule en \(-2\), et pas son numérateur.

Après simplification par \((x - 1)\), la fraction vaut \(3\) en \(x = 1\).

J’ai vérifié les deux caractéristiques par un calcul.

Soit \(f(x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4}\). Calcule les limites de \(f\) aux valeurs interdites et interprète graphiquement tes résultats.

Valeurs interdites : \(x^{2} - 4 = 0\) pour \(x = 2\) et \(x = -2\).

En \(2\). Le numérateur vaut \(4 - 2 - 2 = 0\) : on simplifie. \(x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\) et \(x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)\), donc \(f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}\) pour \(x \neq 2\).

\[ \lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4} : \]

point creux en \((2 ; \frac{3}{4})\).

En \(-2\). Dans la fraction simplifiée, le numérateur vaut \(-1 \neq 0\) : A.V. d’équation \(x = -2\). Tableau de signes local :

\(x\)	juste à gauche	\(-2\)	juste à droite
\(x+1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(x+2\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(+\)	\(\Vert\)	\(-\)

D’où \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x < -2}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = -\infty\).

J’ai trouvé les deux valeurs interdites, \(2\) et \(-2\).

En \(2\), j’ai vu que le numérateur s’annule, j’ai factorisé et simplifié, et trouvé le point creux \((2 ; \frac{3}{4})\).

En \(-2\), j’ai conclu à une A.V. car le numérateur (simplifié) ne s’annule pas.

J’ai trouvé \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x < -2}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = -\infty\) avec un tableau de signes local.

Tant que \(x\) n’était pas remplacé, j’ai gardé « \(\lim\limits_{x \to 2}\) » devant l’expression.

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} (2x^{3} - 5x^{2} + 1)\) ?

\(+\infty\)

Oui : en \(\pm \infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, ici \(2x^{3}\), qui est proche de \(+\infty\) en \(+\infty\).

\(-\infty\)

Ce n’est pas le plus grand coefficient qui l’emporte (\(5 > 2\)), mais le plus haut degré : \(x^{3}\) finit par dépasser \(x^{2}\) (pour \(x = 1000\) : \(2 \cdot 10^{9}\) contre \(5 \cdot 10^{6}\)).

\(2\)

\(2\) est le coefficient du terme dominant, pas la limite. \(2x^{3}\) devient aussi grand qu’on veut quand \(x\) est proche de \(+\infty\).

On ne peut pas conclure : \(2x^{3}\) et \(-5x^{2}\) tirent en sens opposés.

C’est bien un cas d’indétermination si on regarde les termes séparément ; mais le cours donne l’outil pour conclure : le terme de plus haut degré l’emporte.

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3x^{2} - 1}{6x^{2} + x}\) ?

\(\frac{1}{2}\)

Oui : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3x^{2}}{6x^{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (quotient des termes de plus haut degré).

\(2\)

Tu as inversé le quotient : c’est le terme du numérateur divisé par celui du dénominateur : \(\frac{3x^{2}}{6x^{2}} = \frac{1}{2}\).

\(0\)

Le quotient ne devient pas petit : le numérateur et le dénominateur grandissent « à la même vitesse » (même degré). On compare \(3x^{2}\) et \(6x^{2}\).

\(+\infty\), car le numérateur et le dénominateur sont proches de \(+\infty\).

On ne calcule pas avec l’infini : « \(+\infty\) divisé par \(+\infty\) » ne donne aucune règle. Il faut analyser : le quotient des termes dominants vaut \(\frac{1}{2}\).

Quelle est l’équation de l’asymptote horizontale du graphique de \(f(x) = \frac{4x - 1}{2x + 3}\) ?

\(y = 2\)

Oui : les degrés sont égaux, et \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{4x}{2x} = 2\) (A.H. d’une fonction rationnelle).

\(y = -\frac{1}{3}\)

\(-\frac{1}{3} = f(0)\) : ce sont les termes constants. Loin à gauche et à droite, ce sont les termes de plus haut degré qui comptent : \(\frac{4x}{2x} = 2\).

\(x = -\frac{3}{2}\)

\(x = -\frac{3}{2}\) est l’asymptote verticale (racine du dénominateur). L’A.H. vient des limites en \(\pm \infty\).

\(y = \frac{1}{2}\)

Le quotient est inversé : numérateur sur dénominateur, \(\frac{4x}{2x} = 2\).

Quelle est l’équation de l’asymptote oblique du graphique de \(f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}\) ?

\(y = x + 1\)

Oui : la division euclidienne donne \(x^{2} + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2\), donc \(f(x) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}\), et \(\frac{2}{x - 1}\) est proche de \(0\) en \(\pm \infty\).

\(y = x\)

\(\frac{x^{2}}{x} = x\) donne la direction de l’asymptote, pas son équation complète : la droite \(y = x\) reste à distance \(1\) du graphique. Il faut la division euclidienne.

\(y = 2\)

\(2\) est le reste de la division : il donne l’écart \(\frac{2}{x - 1}\) entre le graphique et l’asymptote, pas l’asymptote. C’est le quotient \(x + 1\) qui donne l’équation.

Il n’y en a pas, car \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Une limite infinie empêche une A.H., pas une A.O. Comme le degré du numérateur dépasse de exactement \(1\) celui du dénominateur, il y a une A.O.

Le graphique de \(f(x) = x^{2}\) a-t-il une asymptote oblique ?

Non : l’écart entre la parabole et n’importe quelle droite ne se rapproche pas de \(0\).

Oui : pour toute droite \(y = m x + p\), l’écart \(x^{2} - m x - p\) est proche de \(+\infty\) en \(\pm \infty\) (le terme \(x^{2}\) l’emporte).

Oui, car \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2} = +\infty\).

Une limite infinie ne suffit pas : il faut que l’écart entre le graphique et une droite devienne aussi petit qu’on veut (définition de l’A.O.).

Oui : la droite \(y = 2x\), car la parabole part vers le haut comme cette droite.

« Partir dans la même direction » ne suffit pas : l’écart \(x^{2} - 2x\) est proche de \(+\infty\). La parabole s’éloigne de plus en plus de cette droite.

Non, car une asymptote ne peut jamais couper le graphique.

La conclusion est juste, mais la raison est fausse : une asymptote horizontale ou oblique peut couper le graphique. La vraie raison : l’écart ne se rapproche pas de \(0\).

Laquelle de ces fonctions a une asymptote oblique ?

\(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 4}\)

Oui : le degré du numérateur (\(3\)) vaut celui du dénominateur (\(2\)) plus \(1\).

\(\frac{x^{3} + 1}{x - 4}\)

Ici le degré du numérateur dépasse de \(2\) celui du dénominateur : le quotient de la division est du second degré. Pas d’A.O. (ni d’A.H.).

\(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\)

Degrés égaux : A.H. d’équation \(y = 1\), pas d’A.O.

\(\frac{x + 1}{x^{2} - 4}\)

Le degré du numérateur est plus petit : A.H. d’équation \(y = 0\).

Soit \(f(x) = \frac{3x^{2} + 2}{x - 1}\). La division euclidienne donne \(3x^{2} + 2 = (x - 1)(3x + 3) + 5\). Quelle est la meilleure estimation de \(f(1000)\) ?

\(3003\)

Oui : l’A.O. a pour équation \(y = 3x + 3\), et loin à droite le graphique s’en rapproche : \(f(1000) \approx 3 \cdot 1000 + 3 = 3003\). (Valeur exacte : \(\frac{5}{999}\) de plus, environ \(3003{,}005\).)

\(3000\)

\(3x\) ne donne que la direction : tu as oublié le « \(+ 3\) » de l’asymptote \(y = 3x + 3\).

\(3008\)

Le reste \(5\) n’est pas ajouté tel quel : il donne l’écart \(\frac{5}{x - 1}\), qui vaut presque \(0\) pour \(x = 1000\).

\(3\)

\(3\) serait l’A.H. si les degrés étaient égaux. Ici le degré du numérateur dépasse de \(1\) : le graphique longe une droite oblique, et \(f(1000)\) est très grand.

Quelle expression correspond au graphique ci-dessous ?

\(\frac{-2x + 3}{x - 1}\)

Oui : A.V. \(x = 1\) (le numérateur vaut \(1 \neq 0\) en \(1\)) et A.H. \(y = \frac{-2x}{x} = -2\).

\(\frac{x - 1}{-2x + 3}\)

Le quotient est inversé : cette fonction a une A.V. en \(x = \frac{3}{2}\) et une A.H. \(y = -\frac{1}{2}\).

\(\frac{-2x + 3}{x + 1}\)

Erreur de signe : \(x + 1 = 0\) pour \(x = -1\). L’A.V. serait en \(x = -1\).

\(\frac{3x - 2}{x - 1}\)

L’A.H. de cette fonction est \(y = \frac{3x}{x} = 3\), pas \(y = -2\). On regarde les termes de plus haut degré, pas les termes constants.

Le graphique ci-dessous a une A.V. d’équation \(x = 2\) et une A.O. d’équation \(y = x + 1\). Quelle est son expression ? Justifie par un calcul avant de répondre.

\(\frac{x^{2} - x + 1}{x - 2}\)

Oui : \(x^{2} - x + 1 = (x - 2)(x + 1) + 3\), donc A.O. \(y = x + 1\) ; en \(2\), le numérateur vaut \(3 \neq 0\) : A.V. \(x = 2\).

\(\frac{x^{2} + x + 1}{x - 2}\)

La division donne \(x^{2} + x + 1 = (x - 2)(x + 3) + 7\) : l’A.O. serait \(y = x + 3\). L’A.V. seule ne suffit pas à choisir.

\(\frac{x^{2} - x + 1}{x + 2}\)

\(x + 2 = 0\) pour \(x = -2\) : l’A.V. serait en \(x = -2\) (et l’A.O. \(y = x - 3\)).

\(\frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4}\)

Degrés égaux : le graphique aurait une A.H. \(y = 1\), et deux A.V. (\(x = -2\) et \(x = 2\)), pas d’A.O.

Pourquoi le calcul de \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{2} - 5x)\) est-il un cas d’indétermination ?

Parce que \(x^{2}\) est proche de \(+\infty\) et \(-5x\) de \(-\infty\) : regardés séparément, les deux termes tirent en sens opposés, et on ne peut pas conclure sans analyser l’expression.

Oui. « Cas d’indétermination » est un signal : il faut analyser (ici, chercher le terme qui l’emporte, \(x^{2}\) ; la limite vaut \(+\infty\)).

Parce que « l’infini moins l’infini » vaut \(0\).

On ne calcule pas avec l’infini : \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres. D’ailleurs, la limite vaut \(+\infty\), pas \(0\) (voir l’activité « trois soustractions de très grands nombres »).

Parce que la limite vaut \(+\infty\).

La valeur de la limite n’est pas la raison : \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2} = +\infty\) n’a rien d’indéterminé. L’indétermination vient des deux termes qui tirent en sens opposés.

Parce qu’on ne peut pas remplacer \(x\) par \(+\infty\), donc la limite n’existe pas.

On ne remplace jamais \(x\) par \(+\infty\), et la limite existe (elle vaut \(+\infty\)). L’indétermination dit seulement qu’il faut analyser l’expression.

Le degré du numérateur d’une fonction rationnelle dépasse de \(1\) celui du dénominateur. Comment trouve-t-on l’équation de son asymptote oblique ?

On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : le quotient donne l’équation.

Oui : \(f(x) = q(x) + \frac{r(x)}{Q(x)}\), et la fraction restante est proche de \(0\) en \(\pm \infty\) ; l’A.O. est \(y = q(x)\).

On divise les termes de plus haut degré : leur quotient donne l’équation.

Ce quotient donne seulement la pente (\(m x\)), pas l’ordonnée à l’origine \(p\). Par exemple, pour \(\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\), on trouverait \(y = x\) au lieu de \(y = x + 1\).

On calcule la limite en \(+\infty\) : sa valeur donne l’équation.

Cela, c’est pour une A.H. Ici, la limite en \(+\infty\) est infinie : elle ne donne pas la droite.

On cherche les racines du dénominateur.

Les racines du dénominateur donnent les valeurs interdites, donc les éventuelles A.V. L’A.O. se cherche en \(\pm \infty\).

Soit \(f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 4}{x - 2}\). Détermine ses asymptotes (équations, et limites à gauche et à droite en la valeur interdite).

Valeur interdite : \(2\). Le numérateur y vaut \(4 - 6 + 4 = 2 \neq 0\) : A.V. d’équation \(x = 2\). Près de \(2\), le numérateur est positif ; \(x - 2\) est négatif à gauche et positif à droite. Donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = +\infty\).

En \(\pm \infty\) : le degré du numérateur dépasse de \(1\) celui du dénominateur : A.O. Division euclidienne : \(x^{2} - 3x + 4 = (x - 2)(x - 1) + 2\), donc

\[ f(x) = x - 1 + \frac{2}{x - 2}, \]

et \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x - 2} = 0\) : la droite \(y = x - 1\) est une A.O. des deux côtés.

J’ai trouvé l’A.V. \(x = 2\) en vérifiant que le numérateur ne s’annule pas en \(2\).

J’ai trouvé \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = +\infty\).

J’ai justifié l’existence d’une A.O. par les degrés (\(2 = 1 + 1\)).

J’ai effectué la division euclidienne et trouvé \(y = x - 1\).

J’ai montré que l’écart \(\frac{2}{x - 2}\) se rapproche de \(0\) en \(\pm \infty\).

Trouve l’expression analytique d’une fonction rationnelle dont le graphique a une A.V. d’équation \(x = 3\) et une A.H. d’équation \(y = -1\). Écris-la sous la forme d’un seul quotient.

Par exemple \(f(x) = -1 + \frac{1}{x - 3} = \frac{-(x - 3) + 1}{x - 3} = \frac{-x + 4}{x - 3}\).

Vérification : en \(3\), le numérateur vaut \(1 \neq 0\) : A.V. \(x = 3\) ; degrés égaux et \(\frac{-x}{x} = -1\) : A.H. \(y = -1\).

Le dénominateur de ma fonction s’annule en \(3\), mais pas le numérateur.

Le numérateur et le dénominateur ont le même degré, et le quotient des termes de plus haut degré vaut \(-1\).

Ma fonction est écrite sous la forme d’un seul quotient.