Un point qui se déplace sur un graphique
Activité 2.2 — vers où va le point ?
Soit \(f(x) = \frac{1}{x}\). Un point \(M\) se déplace sur le graphique de \(f\) : ses coordonnées sont toujours \((x ; f(x))\). Le repère est entouré d’un cadre en pointillés, sur lequel nous placerons les points « à l’infini ».
Lorsque \(x\) se rapproche de \(2\), vers quel point le point \(M\) se dirige-t-il ? \((2 ; \frac{1}{2})\)
Complète le tableau.
\(x\) \(10\) \(100\) \(1000\) \(10 \, 000\) \(f(x)\) \(0{,}1\) \(0{,}01\) \(0{,}001\) \(0{,}0001\) Lorsque \(x\) devient de plus en plus grand, \(M\) sort du repère par la droite, mais sa hauteur se rapproche de \(0\). Le point \(M\) se dirige donc vers le point du bord droit du cadre situé à la hauteur \(0\) : on le note \((+\infty ; 0)\).
Complète le tableau.
\(x\) \(1\) \(0{,}1\) \(0{,}01\) \(0{,}001\) \(f(x)\) \(1\) \(10\) \(100\) \(1000\) Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\) en restant positif, vers quel point \(M\) se dirige-t-il ? \((0 ; +\infty)\)
Et lorsque \(x\) se rapproche de \(0\) en restant négatif ? \((0 ; -\infty)\)
Et lorsque \(x\) est négatif et devient de plus en plus grand en valeur absolue (\(-10\), \(-100\), \(-1000\)…) ? \((-\infty ; 0)\)
On ne peut pas dessiner l’infini, mais on peut le représenter : c’est le rôle du cadre en pointillés. Son bord droit rassemble les points d’abscisse \(+\infty\), son bord gauche ceux d’abscisse \(-\infty\), son bord supérieur ceux d’ordonnée \(+\infty\) et son bord inférieur ceux d’ordonnée \(-\infty\). Ce ne sont pas de vrais points du plan : ce sont des repères commodes pour dire vers où le graphique s’échappe lorsqu’il sort de la feuille.
Dans chaque question de l’activité, on s’est demandé vers quel point se dirige \(M\) lorsque \(x\) se rapproche d’une valeur donnée. La réponse donne une information sur le graphique : près de \(x = 0\), il monte ou descend sans fin le long de l’axe vertical ; loin à droite et à gauche, il se rapproche de l’axe horizontal.