Les polynômes en pm infty : le terme qui l’emporte
Activité 4.1 — qui l’emporte ?
Soit \(P(x) = x^{2} - 100 x\). Lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\), le terme \(x^{2}\) est proche de \(+\infty\), mais le terme \(-100x\) est proche de \(-\infty\) : l’un tire vers le haut, l’autre vers le bas. En les regardant séparément, on ne peut pas conclure : c’est à nouveau un cas d’indétermination.
Complète le tableau.
\(x\) \(10\) \(100\) \(1000\) \(10 \, 000\) \(x^{2}\) \(100\) \(10 \, 000\) \(1 \, 000 \, 000\) \(100 \, 000 \, 000\) \(-100x\) \(-1000\) \(-10 \, 000\) \(-100 \, 000\) \(-1 \, 000 \, 000\) \(P(x)\) \(-900\) \(0\) \(900 \, 000\) \(99 \, 000 \, 000\) Quel terme finit par l’emporter ? Que vaut, selon toi, \(\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)\) ? \(x^{2}\) ; la limite vaut \(+\infty\)
Pour le justifier, on met en évidence le terme de plus haut degré : \(P(x) = x^{2} (1 - \frac{100}{x})\). Lorsque \(x\) est proche de \(+\infty\), \(\frac{100}{x}\) est proche de \(0\), donc la parenthèse est proche de \(1\), et \(P(x)\) se comporte comme \(x^{2}\).
Propriété 4.1 — polynôme en \(\pm \infty\)
La limite d’une fonction polynomiale en \(+\infty\) (ou en \(-\infty\)) est égale à la limite de son terme de plus haut degré : si \(a x^{n}\) est ce terme, alors
\[ \lim\limits_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} a x^{n}. \]
Remarque 4.1
Pour calculer \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} a x^{n}\), on combine le signe de \(a\) avec celui de \(x^{n}\) : en \(+\infty\), \(x^{n}\) est proche de \(+\infty\) ; en \(-\infty\), \(x^{n}\) est proche de \(+\infty\) si \(n\) est pair et de \(-\infty\) si \(n\) est impair. Par exemple, en \(-\infty\), \(x^{3}\) est proche de \(-\infty\), donc \(-2x^{3}\) est proche de \(+\infty\).
Exemple 4.1
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} (x^{3} + x - 1) = \lim\limits_{x \to -\infty} x^{3} = \class{rep}{-\infty}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{3} + x - 1) = \class{rep}{+\infty}\).
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} (3x - 2x^{4}) = \lim\limits_{x \to -\infty} (-2x^{4}) = \class{rep}{-\infty}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} (3x - 2x^{4}) = \class{rep}{-\infty}\).