Reconnaître une composée
Activité 1.3 — des blocs de base
En 4e, tu as appris à reconnaître et à tracer un petit nombre de fonctions de référence : \(x\), \(x^{2}\), \(x^{3}\), \(\frac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), \(\sqrt[3]{x}\), \(\left|x\right|\), et les fonctions constantes. La plupart des fonctions que tu rencontreras cette année ne sont pas nouvelles : ce sont ces quelques blocs de base, assemblés soit par les opérations \(+, -, \cdot, /\) que tu viens de voir, soit par une nouvelle opération, la composition — qui consiste à appliquer un bloc, puis un autre bloc, au résultat du premier. (Attention : une expression comme \(x^{2}+1\) n’est pas une composition — c’est la somme du bloc \(x^{2}\) et de la fonction constante \(1\), une opération que tu connais déjà.)
Compare les deux graphiques suivants.
fonction de référence \(x^{2}\)
\(p(x) = \frac{1}{x^{2}}\)
- Le graphique de \(p\) n’est pas un simple décalage ou un agrandissement de celui de \(x^{2}\) : c’est une toute autre forme. Sais-tu pourquoi ? Quel bloc de référence obtiens-tu si tu calcules \(x^{2}\) d’abord ? \(x^{2}\) Et à quel autre bloc appliques-tu ensuite ce résultat ? \(\frac{1}{x}\)
Définition 1.3
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. La fonction composée de \(f\) après \(g\), notée \(f \circ g\), est définie par l’équation
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Exemple 1.1 — identifier les deux composantes
Soit \(p(x) = \frac{1}{x^{2}}\), vue ci-dessus. Calcule les images suivantes :
- \(p(1) =\) \(1\)
- \(p(2) =\) \(\frac{1}{4}\)
- \(p(-1) =\) \(1\)
- \(p(0) =\) non défini (\(0\) n’est pas dans le domaine de \(p\))
Quelles sont les différentes étapes que tu as appliquées pour calculer ces images ? Une de ces images pose un problème particulier : lequel, et pourquoi ?
Élever au carré, puis inverser. \(p(0)\) pose problème : \(0^{2} = 0\), et \(\frac{1}{0}\) n’existe pas.
La fonction \(p\) est construite à partir de deux autres fonctions. Peux-tu les identifier, et dans quel ordre elles s’appliquent ?
\(x^{2}\) d’abord, puis \(\frac{1}{x}\) : \(p = (\frac{1}{x}) \circ (x^{2})\).
Exemple 1.2 — une composition qui redonne un bloc connu
Soit \(j(x) = \sqrt{x^{2}}\). Calcule les images suivantes :
- \(j(3) =\) \(3\)
- \(j(-3) =\) \(3\)
- \(j(0) =\) \(0\)
La fonction \(j\) est construite à partir de deux autres fonctions. Peux-tu les identifier ?
\(x^{2}\) d’abord, puis \(\sqrt{\cdot}\) : en notant \(s(x) = \sqrt{x}\), \(j = s \circ (x^{2})\).
fonction de référence \(x^{2}\)
\(j(x) = \sqrt{x^{2}}\)
Reconnais-tu le graphique de \(j\) ? À quelle fonction de référence, déjà connue, est-il identique ? Est-ce cohérent avec le résultat de \(j(-3)\) calculé ci-dessus ?
C’est le graphique de \(\left|x\right|\). Cohérent : \(j(-3) = 3 = \left|-3\right|\), alors que \(-3 \neq -3\) si on avait juste “simplifié” \(\sqrt{x^{2}}\) en \(x\).
Remarque 1.2
La composition de deux fonctions n’est pas commutative : en général les fonctions \(f \circ g\) et \(g \circ f\) sont différentes.
✎ Exercice 1.4 ⟵ à faire à la maison
Dans les cas suivants, donne une expression analytique de \(f \circ g\) puis de \(g \circ f\).
- \(f(x) = x^{2} - 1\) et \(g(x) = 3x + 5\)
- \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(g(x) = x^{2} - 1\)
Relis la définition de la composée : \((f \circ g)(x) = f(g(x))\).
Dans \(f(g(x))\), quelle fonction est appliquée en premier ? Par quoi remplace-t-on \(x\) dans l’expression de \(f\) ?
Cas 1 : \((f \circ g)(x) = f(3x+5)\) : dans \(x^{2} - 1\), remplace \(x\) par \((3x+5)\), avec les parenthèses.
- \((f \circ g)(x) = (3x+5)^{2} - 1 = 9x^{2} + 30x + 24\) et \((g \circ f)(x) = 3(x^{2}-1) + 5 = 3x^{2} + 2\).
- \((f \circ g)(x) = \sqrt{x^{2} - 1}\) et \((g \circ f)(x) = (\sqrt{x})^{2} - 1 = x - 1\) (pour \(x \geq 0\)).
Les deux composées sont différentes : la composition n’est pas commutative.
- Oublier les parenthèses : \(3x + 5^{2} - 1\) au lieu de \((3x+5)^{2} - 1\).
- Confondre \(f \circ g\) et \(f \cdot g\) (produit).
- Développer \((3x+5)^{2}\) en \(9x^{2} + 25\) : il manque le double produit \(30x\).
✎ Exercice 1.5
Voici le graphique de deux fonctions \(f\) et \(g\).
Trait plein : \(f\). Trait pointillé : \(g\).
Calcule, à l’aide du graphique :
- \(g(f(2))\)
- \((f \circ g)(-2)\)
- \(f(g(0))\)
- \(g(f(0))\)
- \((g \circ f)(-3)\)
Relis la définition de la composée : \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) ; on calcule d’abord l’image par la fonction de droite.
Pour \(g(f(2))\) : que vaut d’abord \(f(2)\) (trait plein) ? Puis, quelle est l’image de ce nombre par \(g\) (trait pointillé) ?
\(f(2) = 0\). Regarde maintenant le graphique de \(g\) en \(x = 0\) : que remarques-tu ?
- \(g(f(2)) = g(0)\) : en \(x = 0\), le graphique de \(g\) a un point creux, \(g(0)\) n’existe pas. Donc \(g(f(2))\) n’existe pas.
- \((f \circ g)(-2) = f(g(-2)) = f(2) = 0\).
- \(f(g(0))\) : \(g(0)\) n’existe pas, donc \(f(g(0))\) n’existe pas.
- \(g(f(0)) = g(-2) = 2\).
- \((g \circ f)(-3) = g(f(-3)) = g(1) = 0\).
- Commencer par la fonction de gauche : dans \(f(g(x))\), c’est \(g\) qui agit en premier.
- Lire la hauteur du point creux comme si c’était une image : un point creux n’appartient pas au graphique.
Exemple 1.3 — décomposer une fonction
Décomposer une fonction, c’est décrire comment la construire à partir des opérations et de fonctions simples. Dans ce cours, les opérations seront
\[ +, -, \cdot, /, \circ \]
et les fonctions simples seront les fonctions de référence :
\[ x, x^{2}, x^{3}, x^{n}, \frac{1}{x}, \sqrt{x}, \sqrt[3]{x}, \left|x\right|, k. \]
Soit \(f(x) = \sqrt{x^{3} + \frac{1}{x}}\). Décomposons \(f\).
\(x^{3}\) et \(\frac{1}{x}\) sont deux blocs de référence ; on les additionne : \(h(x) = x^{3} + \frac{1}{x}\).
On applique ensuite le bloc \(\sqrt{\cdot}\) au résultat : en notant \(s(x) = \sqrt{x}\), \(f = s \circ h\).
✎ Exercice 1.6 ⟵ à faire à la maison
Décompose les fonctions suivantes :
- \(h(x) = \frac{1}{x-3}\)
- \(r(x) = \sqrt{1+x^{2}} + x\)
Relis l’exemple « décomposer une fonction » : blocs de référence, opérations \(+, -, \cdot, /\) et composition.
Si tu calculais \(h(5)\) à la main, quelles opérations ferais-tu, et dans quel ordre ?
Pour \(h(x) = \frac{1}{x-3}\) : on calcule d’abord \(x - 3\) (le bloc \(x\) moins la constante \(3\)), puis on applique le bloc \(\frac{1}{x}\) au résultat.
- \(h = i \circ u\) avec \(u(x) = x - 3\) (différence du bloc \(x\) et de la constante \(3\)) et \(i(x) = \frac{1}{x}\).
- \(r(x) = \sqrt{1 + x^{2}} + x\) : \(v(x) = 1 + x^{2}\) (somme de la constante \(1\) et du bloc \(x^{2}\)), puis \(s \circ v\) avec \(s(x) = \sqrt{x}\), et enfin on ajoute le bloc \(x\) : \(r = s \circ v + x\).
- Voir une composition dans \(1 + x^{2}\) : c’est une somme.
- Oublier le dernier « \(+ x\) » de \(r\), qui n’est pas sous la racine.