En une valeur interdite : point creux ou asymptote verticale ?
Activité 3.2 — à toi d’inventer
- Invente une fonction rationnelle dont le graphique a un point creux en \((2 ; 5)\). Explique comment tu t’y es pris.
- Invente une fonction rationnelle dont le graphique a une asymptote verticale d’équation \(x = 3\).
- Compare tes deux fonctions en leur valeur interdite : qu’est-ce qui, dans l’expression analytique, fait la différence entre un point creux et une asymptote verticale ? Compare avec les fonctions de tes voisins.
Par exemple \(\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}\) : pour \(x \neq 2\), elle vaut \(x + 3\), qui vaut \(5\) en \(2\). Et \(\frac{1}{x-3}\). Différence : pour le point creux, la valeur interdite annule aussi le numérateur (on peut simplifier) ; pour l’A.V., le numérateur ne s’annule pas.
L’activité suivante vérifie, sur un tableau de valeurs, la conjecture que tu viens de formuler.
Activité 3.3 — deux valeurs interdites, deux graphiques
On compare \(g(x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}\), déjà rencontrée, et \(k(x) = \frac{x + 1}{x - 1}\). Pour ces deux fonctions, \(1\) est une valeur interdite.
Complète le tableau.
\(x\) \(0{,}9\) \(0{,}99\) \(0{,}999\) \(1{,}001\) \(1{,}01\) \(1{,}1\) \(g(x)\) \(1{,}9\) \(1{,}99\) \(1{,}999\) \(2{,}001\) \(2{,}01\) \(2{,}1\) \(k(x)\) \(-19\) \(-199\) \(-1999\) \(2001\) \(201\) \(21\) Que devient \(k(x)\) lorsque \(x\) est proche de \(1\) ? Il devient très grand en valeur absolue : \(-\infty\) à gauche, \(+\infty\) à droite.
\(g(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}\) : un point creux
\(k(x) = \frac{x+1}{x-1}\) : une A.V.
Calcule la valeur du numérateur de chaque fonction en \(x = 1\).
Numérateur de \(g\) : \(1^{2} - 1 = 0\) Numérateur de \(k\) : \(1 + 1 = 2\)Pour \(k\), lorsque \(x\) est proche de \(1\), on divise un nombre proche de \(2\) par un nombre très proche de \(0\). Pourquoi le résultat devient-il très grand en valeur absolue ?
Diviser par un nombre très petit, c’est multiplier par un nombre très grand : \(2 / 0{,}01 = 200\), \(2 / 0{,}001 = 2000\)…
L’activité fait apparaître les deux situations possibles en une valeur interdite, et les deux caractéristiques graphiques que nous cherchons.
Définition 3.2 — asymptote verticale, point creux
Soit \(f\) une fonction et \(a\) un réel qui colle au domaine de \(f\).
- La droite d’équation \(x = a\) est une asymptote verticale (A.V.) du graphique de \(f\) si la limite à gauche ou la limite à droite de \(f(x)\) en \(a\) vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\).
- Le graphique de \(f\) présente un point creux en \((a ; r)\) si \(a \notin \operatorname{dom}(f)\) et \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = r\), avec \(r\) réel.
Premier cas : le numérateur ne s’annule pas en \(a\)
Propriété 3.2 — valeur interdite qui n’annule pas le numérateur
Soit \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) une fonction rationnelle et \(a\) une valeur interdite (\(Q(a) = 0\)). Si \(P(a) \neq 0\), alors, de chaque côté de \(a\), \(f(x)\) devient très grand en valeur absolue : les limites à gauche et à droite en \(a\) valent \(+\infty\) ou \(-\infty\), et la droite d’équation \(x = a\) est une asymptote verticale. Pour savoir s’il s’agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), il suffit de connaître le signe de \(f(x)\) juste à gauche et juste à droite de \(a\).
Inutile pour cela de dresser le tableau de signes complet de \(f\). Près de \(a\), le numérateur est proche de \(P(a) \neq 0\) : il a donc le signe de \(P(a)\). Il suffit d’étudier le signe du dénominateur juste à gauche et juste à droite de \(a\) : un facteur \((x - a)\) change de signe en \(a\), un facteur \((x - a)^{2}\) n’en change pas, et les autres facteurs gardent le signe de leur valeur en \(a\). On résume cela dans un tableau de signes local.
Exemple 3.2
Soit \(f(x) = \frac{1}{x+2}\), de domaine \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Le numérateur vaut \(1 \neq 0\) : la droite d’équation \(x = -2\) est une A.V. Pour savoir de quel côté le graphique monte ou descend, on dresse le tableau de signes local en \(-2\).
| \(x\) | juste à gauche | \(-2\) | juste à droite |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\) | \(\Vert\) | \(+\) |
On en déduit \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x < -2}} f(x) = \class{rep}{-\infty}\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = \class{rep}{+\infty}\). En particulier, \(\lim\limits_{x \to -2} f(x)\) n’existe pas.
Exemple 3.3
Soit \(f(x) = \frac{-1}{(x-1)^{2}}\), de domaine \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Le numérateur vaut \(-1 \neq 0\) : la droite d’équation \(x = 1\) est une A.V.
| \(x\) | juste à gauche | \(1\) | juste à droite |
|---|---|---|---|
| \(-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \((x-1)^{2}\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\) | \(\Vert\) | \(-\) |
On en déduit \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \class{rep}{-\infty}\). Cette fois, la limite existe : \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \class{rep}{-\infty}\). Une asymptote verticale n’empêche donc pas la limite d’exister.
Second cas : le numérateur s’annule aussi en \(a\)
Si \(a\) est une racine du numérateur et du dénominateur, on ne peut rien conclure directement : lorsque \(x\) est proche de \(a\), on divise un nombre proche de \(0\) par un autre nombre proche de \(0\), et le résultat peut être n’importe quoi. On parle de cas d’indétermination. Mais \(a\) étant racine des deux polynômes, chacun d’eux se factorise par \((x - a)\) : on peut simplifier la fraction.
Exemple 3.4
Soit \(f(x) = \frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1}\), de domaine \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). En \(x = -1\), le numérateur vaut \(0\) et le dénominateur aussi. On factorise et on simplifie par \((x+1)\) :
\[ \frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac{x+1}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{1}{x^{2}+1} \quad \text{pour} x \neq -1. \]
On remplace maintenant \(x\) par \(-1\) dans la fraction simplifiée : \(\frac{1}{(-1)^{2}+1} = \class{rep}{\frac{1}{2}}\).
Ainsi \(\lim\limits_{x \to -1} f(x) = \class{rep}{\frac{1}{2}}\) : comme \(-1 \notin \operatorname{dom}(f)\), le graphique de \(f\) présente un point creux en \((-1 ; \frac{1}{2})\).
Remarque 3.2
Rédiger un calcul de limite. Tant que \(x\) n’a pas été remplacé par \(a\), on garde « \(\lim\limits_{x \to a}\) » devant l’expression :
\[ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \lim\limits_{x \to -1} \frac{1}{x^{2}+1} = \frac{1}{(-1)^{2}+1} = \frac{1}{2}. \]
Écrire \(\frac{x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac{1}{x^{2}+1} = \frac{1}{2}\) serait faux : l’égalité \(\frac{1}{x^{2}+1} = \frac{1}{2}\) n’est vraie que pour \(x = \pm 1\).
Exemple 3.5
Soit \(f(x) = \frac{x+2}{x^{2}+4x+4}\), de domaine \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Le numérateur et le dénominateur s’annulent en \(-2\) ; on simplifie par \((x+2)\) :
\[ \frac{x+2}{x^{2}+4x+4} = \frac{x+2}{(x+2)^{2}} = \frac{1}{x+2} \quad \text{pour} x \neq -2. \]
Après simplification, le dénominateur s’annule encore en \(-2\), mais plus le numérateur : on est ramené au premier cas. Le graphique de \(f\) est celui de \(\frac{1}{x+2}\) : une A.V. d’équation \(x = -2\), sans point creux.
Démarche en une valeur interdite \(a\) d’une fonction rationnelle.
Remplace \(x\) par \(a\) dans le numérateur.
S’il ne s’annule pas : la droite \(x = a\) est une A.V. ; un tableau de signes local (signe du numérateur en \(a\), signe du dénominateur juste à gauche et juste à droite de \(a\)) donne les limites à gauche et à droite (\(+\infty\) ou \(-\infty\)).
S’il s’annule aussi : factorise et simplifie la fraction par \((x - a)\), puis remplace à nouveau \(x\) par \(a\) dans la fraction simplifiée.
- Si le dénominateur ne s’annule plus : on obtient un nombre \(r\), c’est la limite ; le graphique a un point creux en \((a ; r)\).
- Si le dénominateur s’annule encore mais plus le numérateur : on est ramené à l’étape 2, c’est une A.V.
- Si les deux s’annulent encore : simplifie encore par \((x - a)\).