Limites à gauche et à droite
Revenons à \(f(x) = \frac{1}{x}\) au voisinage de \(0\) : dans l’activité « vers où va le point ? », les points du graphique d’abscisse proche de \(0\) ne sont pas proches d’un seul point. Ils sont proches de \((0 ; +\infty)\) si \(x > 0\), et de \((0 ; -\infty)\) si \(x < 0\). La limite n’existe donc pas, mais chaque côté, pris séparément, donne une information précise sur le graphique.
Activité 2.6 — un saut
Soit \(s(x) = \frac{\left|x\right|}{x}\).
Quel est le domaine de \(s\) ? \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
Calcule \(s(3)\), \(s(0{,}1)\), \(s(-2)\) et \(s(-0{,}01)\). Que vaut \(s(x)\) lorsque \(x > 0\) ? Et lorsque \(x < 0\) ?
\(s(3) = s(0{,}1) = 1\) et \(s(-2) = s(-0{,}01) = -1\). Si \(x > 0\), \(s(x) = 1\) ; si \(x < 0\), \(s(x) = -1\).
- Lorsque \(x\) est proche de \(0\) et positif, de quel point \(M\) est-il proche ? \((0 ; 1)\) Et lorsque \(x\) est proche de \(0\) et négatif ? \((0 ; -1)\)
Définition 2.3 — limites à gauche et à droite
Soit \(f\) une fonction, \(a \in \mathbb{R}\) et \(b\) un nombre réel ou \(\pm \infty\).
On dit que la limite à gauche de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) si, lorsque \(x\) (pris dans le domaine de \(f\) et strictement inférieur à \(a\)) se rapproche autant qu’on veut de \(a\), \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(b\). Ceci se note
\[ \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = b. \]
On dit que la limite à droite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) si, lorsque \(x\) (pris dans le domaine de \(f\) et strictement supérieur à \(a\)) se rapproche autant qu’on veut de \(a\), \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(b\). Ceci se note
\[ \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = b. \]
L’intérêt de ces deux notions est la propriété suivante.
Propriété 2.2
Soit \(f\) une fonction définie à gauche et à droite de \(a \in \mathbb{R}\), et \(b\) un nombre réel ou \(\pm \infty\). Alors \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b\) si et seulement si
\[ \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = b \quad \text{et} \quad \lim\limits_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = b, \]
et, si \(f(a)\) existe, \(f(a) = b\).
Remarque 2.4
En pratique, cette propriété fournit une stratégie pour démontrer qu’une limite n’existe pas : si les limites à gauche et à droite sont différentes, ou si elles sont égales mais différentes de \(f(a)\), alors la limite n’existe pas. On écrit alors « \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) n’existe pas ».
Même dans ce cas, les limites à gauche et à droite restent utiles : ce sont elles qui décrivent le graphique de part et d’autre de \(a\).
Exemple 2.2
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\) n’existe pas car \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \frac{1}{x} = \class{rep}{-\infty} \neq \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \frac{1}{x} = \class{rep}{+\infty}\) ;
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\left|x\right|}{x}\) n’existe pas car \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \frac{\left|x\right|}{x} = \class{rep}{-1} \neq \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \frac{\left|x\right|}{x} = \class{rep}{1}\) ;
- pour la fonction \(h\) de l’activité « une valeur interdite, un point creux », \(\lim\limits_{x \to 1} h(x)\) n’existe pas car \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} h(x) = \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} h(x) = \class{rep}{2}\), mais \(h(1) = \class{rep}{4}\).