Définition
Définition 2.1 — limite d’une fonction
Soit \(f\) une fonction, et \(a\) et \(b\) deux nombres réels ou \(\pm \infty\). On dit que la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) si, lorsque \(x\) (pris dans le domaine de \(f\)) se rapproche autant qu’on veut de \(a\), \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(b\).
Graphiquement : lorsque le point \(M(x ; f(x))\) se déplace sur le graphique avec une abscisse qui se rapproche autant qu’on veut de \(a\), il se rapproche autant qu’on veut du point \((a ; b)\).
Ceci se note
\[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = b. \]
Remarque 2.1
Dans la définition précédente, \(a\) et \(b\) peuvent être infinis :
- « \(x\) se rapproche autant qu’on veut de \(+\infty\) » signifie que \(x\) devient aussi grand qu’on veut (\(10\), \(100\), \(1000\)…) : le point \(M\) file vers le bord droit du cadre ;
- « \(x\) se rapproche autant qu’on veut de \(-\infty\) » signifie que \(x\) est négatif et devient aussi grand qu’on veut en valeur absolue (\(-10\), \(-100\), \(-1000\)…) : le point \(M\) file vers le bord gauche. Attention, cela ne veut pas dire que \(x\) se rapproche de \(0\) ;
- de même, « \(f(x)\) se rapproche autant qu’on veut de \(+\infty\) » (ou de \(-\infty\)) signifie que le point \(M\) file vers le bord supérieur (ou inférieur) du cadre.
Au lieu de dire « \(x\) se rapproche de \(a\) », on dit aussi « \(x\) tend vers \(a\) » ; et on lit \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b\) « la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) vaut \(b\) ».
Ainsi, les deux activités précédentes donnent
\[ \lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}, \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2. \]
Activité 2.4 — chaque symbole a un rôle
Considère l’expression \(x^{2} + t\), qui contient deux lettres. Calcule
\[ \lim\limits_{x \to 2} (x^{2} + t) = \class{rep}{4 + t} \quad \text{et} \quad \lim\limits_{t \to 2} (x^{2} + t) = \class{rep}{x^{2} + 2}. \]
Pourquoi les résultats sont-ils différents ?
La lettre écrite sous « lim » est celle qui bouge ; l’autre reste fixe. Dans le premier cas, c’est \(x\) qui se rapproche de \(2\) et \(t\) ne change pas ; dans le second, c’est l’inverse.
Chacune des écritures suivantes est incomplète ou incorrecte. Explique ce qui manque ou ce qui ne va pas, et quelle question elle laisse sans réponse.
Écriture Ce qui ne va pas \(\lim\limits f(x) = 3\) On ne sait pas vers quoi va \(x\). \(\lim\limits_{x \to 2} = 3\) On ne sait pas de quoi on prend la limite. \(\lim\limits_{x \to 1} x^{2} - \frac{1}{x-1}\) Sans parenthèses, la limite porte sur \(x^{2} - \frac{1}{x-1}\), pas sur \(\frac{x^{2}-1}{x-1}\). \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{t}\) La variable qui bouge (\(x\)) n’apparaît pas dans l’expression : le résultat serait \(\frac{1}{t}\), sans intérêt. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^{3} = \infty\) Lequel : \(+\infty\) ou \(-\infty\) ? Le signe fait partie de la réponse.
Remarque 2.2
Dans l’écriture \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b\), chaque élément a un rôle, et aucun ne peut être omis :
- la variable \(x\), écrite sous « lim » : c’est elle qui bouge, et c’est la variable indépendante de la fonction ;
- la valeur \(a\) vers laquelle se rapproche \(x\) ;
- l’expression \(f(x)\) dont on étudie le comportement (avec des parenthèses si c’est une somme ou une différence) ;
- le résultat \(b\), avec son signe s’il est infini.
Remarque 2.3
Dans la définition, rien n’interdit à \(x\) de valoir \(a\) lorsque \(a\) est dans le domaine : rester en \(a\) est une façon (immobile) de se rapprocher de \(a\) autant qu’on veut, puisque la distance à \(a\) vaut alors \(0\). Si la limite en \(a\) existe, \(f(a)\) doit donc lui aussi être aussi proche qu’on veut de \(b\) — autrement dit, \(b = f(a)\).
Pour la fonction \(h\) de l’activité précédente : lorsque \(x\) se rapproche de \(1\) sans l’atteindre, \(h(x)\) se rapproche de \(2\) ; mais pour \(x = 1\), \(h(1) = 4\), qui ne se rapproche pas de \(2\). La limite de \(h(x)\) quand \(x\) tend vers \(1\) n’existe donc pas. Pour \(g\), en revanche, \(1\) n’est pas dans le domaine : rien ne gêne, et la limite vaut \(2\).