Un trou dans le graphique

Activité 2.3 — une valeur interdite, un point creux

Soit \(g(x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}\).

1. Peut-on calculer \(g(1)\) ? Pourquoi ? Non : le dénominateur vaut \(0\), donc \(1 \notin \operatorname{dom}(g)\).

2. Complète le tableau.

   \(x\)	\(0{,}9\)	\(0{,}99\)	\(0{,}999\)	\(1{,}001\)	\(1{,}01\)	\(1{,}1\)
   \(g(x)\)	\(1{,}9\)	\(1{,}99\)	\(1{,}999\)	\(2{,}001\)	\(2{,}01\)	\(2{,}1\)

   Lorsque \(x\) est proche de \(1\), \(g(x)\) est proche de \(2\). Vers quel point se dirige le point \(M(x ; g(x))\) ? \((1 ; 2)\)

3. Voici le graphique de \(g\) (à gauche). Il ressemble à la droite \(y = x + 1\), à un point près : lequel ? le point \((1 ; 2)\), qui manque : c’est un point creux

\(g(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}\)

\(h\)

4. On fabrique une fonction \(h\) (à droite) en « bouchant » autrement le trou : \(h(x) = g(x)\) si \(x \neq 1\), et \(h(1) = 4\). Les points du graphique de \(h\) dont l’abscisse est proche de \(1\) sont-ils tous proches de \((1 ; 2)\) ?

   Non : le point \((1 ; 4)\) a une abscisse proche de \(1\) (elle vaut exactement \(1\)), mais il n’est pas proche de \((1 ; 2)\).