Exercices

✎ Exercice 3.1 C3 ★☆☆

Voici quatre rédactions du calcul de \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}\). Une seule est correcte : laquelle ? Pour chacune des autres, explique l’erreur et corrige-la.

  1. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = (x+1) = 2\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2\)
  3. \(\frac{x^{2}-1}{x-1} = x + 1 = 2\)
  4. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}\) n’existe pas, car on ne peut pas diviser par \(0\).

Dans chaque ligne, tant que \(x\) n’est pas remplacé par \(1\), l’écriture « \(\lim\limits_{x \to 1}\) » est-elle bien présente ? Chaque signe « \(=\) » est-il vrai ?

Rédaction 3 : l’égalité \(x + 1 = 2\) est-elle vraie pour tous les \(x\) ?

La rédaction 2 est correcte.

  1. « \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = (x+1) = 2\) » : le « \(\lim\limits_{x \to 1}\) » a disparu alors que \(x\) n’est pas encore remplacé. Correction : \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2\).
  2. Correcte.
  3. Pas de « lim » du tout : \(x + 1 = 2\) n’est vrai que pour \(x = 1\), qui n’est pas dans le domaine. Correction : celle de la ligne 2.
  4. Faux : \(1\) annule aussi le numérateur. C’est un cas d’indétermination, pas une impossibilité : on simplifie par \((x - 1)\), et la limite vaut \(2\) (point creux en \((1 ; 2)\)).
  • Croire que « lim » est une décoration qu’on peut laisser tomber.
  • Conclure « n’existe pas » dès que le dénominateur s’annule.

✎ Exercice 3.2 C1 ★☆☆

Parmi les expressions suivantes, lesquelles représentent des fonctions rationnelles ? \(x\) \(3x^{3}+6x+\sqrt{x}\) \(\frac{x^{2}+\left|2x\right|}{x^{2}+1}\) \(\frac{1}{x}\) \(\frac{1}{x^{2}+1}\) \(\frac{x^{2}+3x+1}{x^{5}+2 \sqrt[3]{x}}\)

Relis la définition d’une fonction rationnelle : un quotient de deux polynômes.

Dans chaque expression, y a-t-il une racine, une valeur absolue ou autre chose qu’un polynôme ?

\(x\) s’écrit \(\frac{x}{1}\) : est-ce un quotient de deux polynômes ?

Fonctions rationnelles :

  • \(x\) (c’est \(\frac{x}{1}\)) ;
  • \(\frac{1}{x}\) ;
  • \(\frac{1}{x^{2}+1}\).

Pas rationnelles :

  • \(3x^{3} + 6x + \sqrt{x}\) : une racine ;
  • \(\frac{x^{2} + \left|2x\right|}{x^{2}+1}\) : une valeur absolue ;
  • \(\frac{x^{2}+3x+1}{x^{5}+2 \sqrt[3]{x}}\) : une racine cubique.
  • Exclure \(x\) parce qu’il n’y a pas de trait de fraction : un polynôme est une fonction rationnelle.
  • Accepter la dernière parce qu’elle « ressemble » à une fraction de polynômes.

✎ Exercice 3.3 A2 ★☆☆

Soit \(f(x) = \frac{1}{(x+1)(x^{2}-4)}\). Calcule les limites de \(f(x)\) en \(-2\), en \(-1\), en \(2\) et en \(0\). Interprète graphiquement tes résultats.

Quelles sont les valeurs interdites ? En chacune, le numérateur s’annule-t-il ?

\(f(x) = \frac{1}{(x+1)(x-2)(x+2)}\) : valeurs interdites \(-2\), \(-1\) et \(2\) ; le numérateur vaut \(1 \neq 0\) : trois A.V. Pour chaque côté, dresse un tableau de signes local du dénominateur.

\(x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)\), donc \(\operatorname{dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; -1 ; 2\}\). Le numérateur vaut \(1 \neq 0\) : en chaque valeur interdite, A.V.

  • En \(-2\) : \(x + 1 \approx -1\) (\(-\)), \(x - 2 \approx -4\) (\(-\)), \(x + 2\) change de signe. Dénominateur : \(-\) à gauche, \(+\) à droite. \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x < -2}} f(x) = -\infty\), \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = +\infty\) : A.V. \(x = -2\).
  • En \(-1\) : \(x + 2 \approx 1\) (\(+\)), \(x - 2 \approx -3\) (\(-\)), \(x + 1\) change de signe. Dénominateur : \(+\) à gauche, \(-\) à droite. \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x < -1}} f(x) = +\infty\), \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} f(x) = -\infty\) : A.V. \(x = -1\).
  • En \(2\) : \(x + 1 \approx 3\) (\(+\)), \(x + 2 \approx 4\) (\(+\)), \(x - 2\) change de signe. \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = -\infty\), \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = +\infty\) : A.V. \(x = 2\).
  • En \(0\) (dans le domaine) : \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = \frac{1}{1 \cdot (-4)} = -\frac{1}{4}\) ; le graphique passe par \((0 ; -\frac{1}{4})\).
  • Oublier la valeur interdite \(-2\) (ou \(2\)) cachée dans \(x^{2} - 4\).
  • Se tromper de signe en oubliant les facteurs qui ne changent pas de signe.
  • Chercher une asymptote en \(0\) : \(0\) est dans le domaine.

✎ Exercice 3.4 ⟵ à faire à la maison A2 ★☆☆

Soit \(f(x) = \frac{x-2}{-x^{2}+4x}\). Calcule les limites de \(f(x)\) en \(0\) et en \(4\). Interprète graphiquement tes résultats.

Factorise le dénominateur \(-x^{2} + 4x\). Quelles sont les valeurs interdites ? Le numérateur s’y annule-t-il ?

\(-x^{2} + 4x = x(4 - x)\) : valeurs interdites \(0\) et \(4\). Le numérateur vaut \(-2\) en \(0\) et \(2\) en \(4\) : deux A.V. Il reste les signes de chaque côté.

  • En \(0\) : numérateur \(-2\) (\(-\)) ; \(4 - x \approx 4\) (\(+\)) ; \(x\) : \(-\) à gauche, \(+\) à droite. \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = -\infty\) : A.V. \(x = 0\).
  • En \(4\) : numérateur \(2\) (\(+\)) ; \(x \approx 4\) (\(+\)) ; \(4 - x\) : \(+\) à gauche, \(-\) à droite. \(\lim\limits_{\substack{x \to 4 \\ x < 4}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 4 \\ x > 4}} f(x) = -\infty\) : A.V. \(x = 4\).
  • Se tromper de signe avec \(4 - x\) : il est positif à gauche de \(4\).
  • Oublier le signe du numérateur (\(-2\) en \(0\)).

✎ Exercice 3.5 C3 ★★☆

Soit \(f(x) = \frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+2)}\).

  1. Écris la démarche à appliquer pour calculer les limites de \(f\) aux valeurs interdites.
  2. Applique ta démarche et interprète graphiquement ton résultat.

Relis la démarche en une valeur interdite (encadré à la fin de la section).

Quelles sont les valeurs interdites ? En chacune, le numérateur s’annule-t-il ?

En \(1\), numérateur et dénominateur s’annulent : simplifie par \((x - 1)\). En \(-2\), seul le dénominateur s’annule.

  1. Démarche :

    1. chercher les valeurs interdites ;
    2. en chacune, remplacer \(x\) par \(a\) dans le numérateur ;
    3. s’il ne s’annule pas : A.V., et tableau de signes local pour les limites à gauche et à droite ;
    4. s’il s’annule : simplifier par \((x - a)\) et recommencer avec la fraction simplifiée.

  2. Valeurs interdites : \(1\) et \(-2\).

    • En \(1\) : le numérateur vaut \(0\). Pour \(x \neq 1\), \(f(x) = \frac{x-1}{x+2}\), et \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} \frac{x-1}{x+2} = \frac{0}{3} = 0\) : point creux en \((1 ; 0)\).
    • En \(-2\) : le numérateur vaut \(9 \neq 0\) : A.V. \(x = -2\). Dans la fraction simplifiée, le numérateur vaut \(-3\) (\(-\)) et \(x + 2\) passe de \(-\) à \(+\) : \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x < -2}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = -\infty\).
  • Simplifier \(\frac{(x-1)^{2}}{x-1}\) en \(\frac{1}{x-1}\) : il reste un facteur \((x - 1)\) au numérateur.
  • Conclure à une A.V. en \(1\) parce que le dénominateur s’y annule.

✎ Exercice 3.6 A2 ★★☆

Soit \(f(x) = \frac{2x^{2}-x-3}{x^{3}+2x^{2}+x}\). Calcule les limites de \(f\) aux valeurs interdites et interprète graphiquement tes résultats. Attention : après une première simplification, regarde bien ce qu’il reste.

Relis la démarche en une valeur interdite, en particulier le cas « le dénominateur s’annule encore ».

Factorise le dénominateur \(x^{3} + 2x^{2} + x\) (mets \(x\) en évidence). Quelles sont les valeurs interdites ?

\(x^{3} + 2x^{2} + x = x(x+1)^{2}\) et \(2x^{2} - x - 3 = (x+1)(2x-3)\). Simplifie par \((x + 1)\) : reste-t-il un \((x + 1)\) au dénominateur ?

\(\operatorname{dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 0\}\). Pour \(x \neq -1\) : \(f(x) = \frac{(x+1)(2x-3)}{x(x+1)^{2}} = \frac{2x-3}{x(x+1)}\).

  • En \(-1\) : après simplification, le numérateur vaut \(-5 \neq 0\) et le dénominateur s’annule encore : A.V. \(x = -1\) (pas un point creux). \(x \approx -1\) (\(-\)), \(x + 1\) passe de \(-\) à \(+\) : le dénominateur passe de \(+\) à \(-\). \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x < -1}} f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} f(x) = +\infty\).
  • En \(0\) : le numérateur vaut \(-3 \neq 0\) : A.V. \(x = 0\). \(x + 1 \approx 1\) (\(+\)), \(x\) passe de \(-\) à \(+\). \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = -\infty\).
  • Conclure à un point creux en \(-1\) dès que le numérateur s’y annule : après simplification, il faut regarder à nouveau.
  • Oublier que \((x+1)^{2}\) ne se simplifie qu’une fois avec \((x+1)\).

✎ Exercice 3.7 C2 ★★☆

Invente une fonction rationnelle et une valeur interdite \(a\) pour lesquelles le calcul de \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) est un cas d’indétermination. Explique pourquoi regarder séparément le numérateur et le dénominateur ne permet pas de conclure, puis calcule cette limite et interprète-la graphiquement. (Un second exemple, en \(+\infty\), sera demandé au chapitre suivant.)

Relis le paragraphe « Second cas : le numérateur s’annule aussi en \(a\) » et la remarque sur les cas d’indétermination.

Que faut-il pour que, près de \(a\), le numérateur et le dénominateur soient tous deux proches de \(0\) ?

Mets le même facteur \((x - a)\) au numérateur et au dénominateur, par exemple \((x-2)(x+2)\) au-dessus et \((x-2)\) en dessous.

Par exemple \(f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}\) en \(a = 2\). Près de \(2\), le numérateur et le dénominateur sont tous deux proches de \(0\) : un nombre proche de \(0\) divisé par un nombre proche de \(0\) peut donner n’importe quoi, on ne peut pas conclure en les regardant séparément. On simplifie : \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (x+2) = 4\). Le graphique a un point creux en \((2 ; 4)\).

  • Proposer \(\frac{1}{x-2}\) : seul le dénominateur s’annule, ce n’est pas un cas d’indétermination.
  • Écrire « \(\frac{0}{0}\) » comme si c’était un nombre.

✎ Exercice 3.8 ⟵ à faire à la maison C3 ★★☆

Voici la résolution complète d’un élève. Tous les calculs sont justes. Explique, pour chaque étape, pourquoi elle est permise ou nécessaire.

Soit \(f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 2}\).

  1. Le dénominateur s’annule en \(-2\) et en \(1\) : \(\operatorname{dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 1\}\).
  2. En \(-2\), le numérateur vaut \((-2)^{2} - 4 = 0\). On factorise : \(f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x-2}{x-1}\) pour \(x \neq -2\).
  3. En remplaçant \(x\) par \(-2\) dans la fraction simplifiée : \(\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}\). Donc \(\lim\limits_{x \to -2} f(x) = \frac{4}{3}\) et le graphique a un point creux en \((-2 ; \frac{4}{3})\).
  4. En \(1\), le numérateur de la fraction simplifiée vaut \(1 - 2 = -1\) : la droite \(x = 1\) est une A.V.
  5. Juste à gauche de \(1\), \(x - 1 < 0\) ; juste à droite, \(x - 1 > 0\). Donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = -\infty\).

Pour chaque étape, demande-toi : quelle propriété ou quelle définition du cours l’élève utilise-t-il ?

Étape 2 : pourquoi a-t-on le droit de simplifier par \((x + 2)\) ? Pense au domaine : \(x + 2\) peut-il valoir \(0\) ?

  1. Les valeurs interdites sont les racines du dénominateur (\(x^{2} + x - 2 = (x+2)(x-1)\)).
  2. En \(-2\), numérateur et dénominateur s’annulent : cas d’indétermination, il faut simplifier. On peut diviser par \(x + 2\) car, pour \(x \neq -2\), \(x + 2 \neq 0\).
  3. La fraction simplifiée est égale à \(f(x)\) pour tout \(x \neq -2\) proche de \(-2\) ; c’est une rationnelle définie en \(-2\), donc sa limite est sa valeur. Comme \(-2 \notin \operatorname{dom}(f)\), c’est un point creux.
  4. En \(1\), le numérateur (de la fraction simplifiée) ne s’annule pas : c’est la propriété « valeur interdite qui n’annule pas le numérateur » : A.V.
  5. Le numérateur vaut \(-1\) (\(-\)) près de \(1\) : le signe de \(f\) est l’opposé de celui de \(x - 1\).
  • Justifier l’étape 3 par « on remplace \(x\) par \(-2\) » sans dire que la fraction simplifiée est définie en \(-2\).
  • Oublier le signe du numérateur à l’étape 5.

✎ Exercice 3.9 T2 ★★★

Invente l’expression analytique d’une fonction rationnelle

  1. qui a une A.V. d’équation \(x = -1\) ;
  2. qui a un point creux en \((2 ; 1)\) ;
  3. qui a à la fois une A.V. d’équation \(x = -1\) et un point creux en \((2 ; 1)\).

Qu’est-ce qui, dans l’expression, produit une A.V. en \(-1\) ? un point creux en \(2\) ? Comment régler la hauteur du point creux ?

Point creux en \(2\) : un facteur \((x - 2)\) en haut et en bas. Ensuite, la fraction simplifiée doit valoir \(1\) en \(x = 2\).

  1. \(f(x) = \frac{1}{x+1}\).
  2. \(f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{x-2}\) : pour \(x \neq 2\), \(f(x) = x - 1\), qui vaut \(1\) en \(2\).
  3. \(f(x) = \frac{3(x-2)}{(x+1)(x-2)}\) : pour \(x \neq 2\), \(f(x) = \frac{3}{x+1}\), qui vaut \(\frac{3}{3} = 1\) en \(2\) ; et en \(-1\), le numérateur vaut \(3 \neq 0\) : A.V.
  • Obtenir un point creux à la mauvaise hauteur : vérifie la valeur de la fraction simplifiée en \(2\).
  • Mettre \((x-2)^{2}\) au dénominateur : après simplification, il reste un \((x-2)\), c’est une A.V.