Les limites des fonctions de référence
Activité 2.7 — lire les limites des fonctions de référence
Voici les graphiques des fonctions de référence. Complète ensuite le tableau. Si une limite n’existe pas, justifie-le ; si elle n’a pas de sens, écris « pas de sens ».
\(f(x) = k\) (\(k = 2\) ; \(0\) ; \(-1\))
\(f(x) = x\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \left|x\right|\)
\(f(x) = x^{2}\)
\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f(x) = x^{3}\)
\(f(x) = \sqrt[3]{x}\)
| \(\lim\limits_{x \to -2} f(x)\) | \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\) | \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) \(a \in \operatorname{dom}(f)\) | |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = k\) | \(k\) | \(k\) | \(k\) |
| \(f(x) = x\) | \(-2\) | \(0\) | \(a\) |
| \(f(x) = \frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{2}\) | n’existe pas | \(\frac{1}{a}\) |
| \(f(x) = \left\|x\right\|\) | \(2\) | \(0\) | \(\left\|a\right\|\) |
| \(f(x) = x^{2}\) | \(4\) | \(0\) | \(a^{2}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | pas de sens | \(0\) | \(\sqrt{a}\) |
| \(f(x) = x^{3}\) | \(-8\) | \(0\) | \(a^{3}\) |
| \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) | \(-\sqrt[3]{2}\) | \(0\) | \(\sqrt[3]{a}\) |
Observe la colonne « \(a \in \operatorname{dom}(f)\) ». Que remarques-tu ?
Pour chacune de ces fonctions, la limite en un point \(a\) du domaine existe et vaut \(f(a)\) : il suffit de remplacer \(x\) par \(a\). Avec notre définition, c’est forcé : si la limite existe en un point du domaine, elle vaut \(f(a)\).
Remarque 2.5
En un point du domaine qui n’en est pas une borne, la limite n’apprend généralement rien de neuf : on verra qu’elle vaut simplement \(f(a)\). Les limites qui nous intéresseront dans la suite sont donc celles aux bornes du domaine : en une borne réelle qui n’appartient pas au domaine (une valeur interdite, comme \(0\) pour \(\frac{1}{x}\) ou \(1\) pour \(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)), le graphique peut présenter une asymptote verticale ou un point creux ; en \(+\infty\) ou \(-\infty\), une asymptote horizontale ou oblique.