Synthèse

Rechercher les caractéristiques graphiques d’une fonction rationnelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\).

1. Domaine. Cherche les racines de \(Q\) : ce sont les valeurs interdites. Écris le domaine et ses bornes.

2. Aux valeurs interdites. Applique la démarche vue au chapitre précédent : point creux ou A.V. (avec les limites à gauche et à droite).

3. En \(\pm \infty\). Compare les degrés \(n\) de \(P\) et \(m\) de \(Q\) :

   • \(n < m\) : A.H. \(y = 0\) ;
   • \(n = m\) : A.H. \(y = \frac{a}{b}\) ;
   • \(n = m + 1\) : A.O., dont l’équation s’obtient par division euclidienne ;
   • \(n > m + 1\) : ni A.H. ni A.O.

4. Esquisse le graphique à partir de ces informations, et vérifie-la avec une calculatrice graphique.

Exemple 4.4 — une étude complète

Soit \(f(x) = \frac{x^{2} + 2x - 3}{x^{2} - 1}\).

1. Domaine. \(x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)\) s’annule en \(1\) et en \(-1\) : \(\operatorname{dom}(f) = ]-\infty ; -1[ \cup ]-1 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[\), de bornes \(-\infty\), \(-1\), \(1\) et \(+\infty\).

2. En \(1\). Le numérateur vaut \(1 + 2 - 3 = 0\) : on simplifie. \(x^{2} + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\), donc \(f(x) = \frac{x+3}{x+1}\) pour \(x \neq 1\). En \(1\) : \(\frac{1+3}{1+1} = \class{rep}{2}\), donc point creux en \((1 ; 2)\).

3. En \(-1\). Dans la fraction simplifiée, le numérateur vaut \(-1 + 3 = 2 \neq 0\) : A.V. d’équation \(x = -1\). Un tableau de signes local suffirait pour les limites ; on dresse ici le tableau complet, parce qu’il aidera aussi à esquisser le graphique (au-dessus ou en dessous de l’axe horizontal).

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(-1\)		\(+\infty\)
   \(x+3\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
   \(x+1\)		\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
   \(f(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(\Vert\)	\(+\)

   D’où \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x < -1}} f(x) = \class{rep}{-\infty}\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} f(x) = \class{rep}{+\infty}\).

4. En \(\pm \infty\). Les degrés sont égaux : \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} = \class{rep}{1}\), donc A.H. d’équation \(y = 1\).

\(f(x) = \frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-1}\)

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