Pourquoi calculer ?

Jusqu’ici, nous avons lu les limites sur des graphiques. Mais un graphique ne montre jamais qu’une partie de la fonction, et il peut tromper.

Activité 3.1 — un graphique trompeur

Voici une partie du graphique de \(f(x) = 10 \cdot \frac{\sin x}{x}\) (\(x\) en radians).

D’après ce graphique, on pourrait conjecturer que la droite \(x = 0\) est une asymptote verticale, avec \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \class{rep}{+\infty}\), et que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \class{rep}{-\infty}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \class{rep}{-\infty}\).

Voici maintenant le graphique complet, sur une fenêtre beaucoup plus large et plus haute.

Que penses-tu maintenant de ces conjectures ?

Elles étaient toutes fausses. Près de \(0\), le graphique ne monte pas sans fin : il se rapproche du point \((0 ; 10)\), qui manque (un point creux) ; il n’y a pas d’asymptote verticale. Loin de \(0\), le graphique oscille de moins en moins autour de l’axe horizontal : les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) valent \(0\).

Un graphique permet de conjecturer une limite ; seul un calcul à partir de l’expression analytique permet de l’établir avec certitude. Rappelons-nous le but : trouver les points creux et les asymptotes du graphique. D’après le chapitre précédent, il faut les chercher aux bornes du domaine :

• en une valeur interdite : c’est là que peuvent se trouver un point creux ou une asymptote verticale (ce chapitre) ;
• en \(+\infty\) et en \(-\infty\) : c’est là que peuvent se trouver une asymptote horizontale ou oblique (chapitre suivant).